基于結(jié)構(gòu)約束條件的相位恢復(fù)算法設(shè)計(jì)

趙一軒，郭澄，孫艷軍

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022；

2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 超精密光電儀器工程研究所，哈爾濱 150001）

相位恢復(fù)是利用易探測(cè)的強(qiáng)度信息重建波函數(shù)的過(guò)程。光的傳播頻率大約為1.6×1014Hz，目前并沒(méi)有任何一種光學(xué)感應(yīng)設(shè)備能夠?qū)崿F(xiàn)光波相位信息的直接測(cè)量，為此，需要引入一些間接測(cè)量方案對(duì)丟失的相位信息進(jìn)行重構(gòu)。目前，相位恢復(fù)技術(shù)可以分為以下兩類(lèi)：干涉測(cè)量法［1，2］和衍射測(cè)量法［3］。干涉測(cè)量法以參考光和照明光疊加的方式記錄透射光波的信息，然后通過(guò)計(jì)算機(jī)處理的方式計(jì)算出目標(biāo)物體的光場(chǎng)信息。雖然干涉法重構(gòu)精度高，但是其重構(gòu)容易被振動(dòng)和熱波動(dòng)所影響，而且難以嚴(yán)格保證參考光和照明光的相干性。因此，干涉法對(duì)實(shí)驗(yàn)提出了極高的要求。

衍射法則通過(guò)樣品的衍射圖樣直接進(jìn)行目標(biāo)重構(gòu)，其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性高等特點(diǎn)。根據(jù)計(jì)算方式不同，它可分為強(qiáng)度傳輸方程計(jì)算法［4］和迭代式相位恢復(fù)算法［5］兩類(lèi)。強(qiáng)度傳輸方程可在傍軸近似下利用亥姆霍茲方程求解而得，通過(guò)該方程可以直接求解目標(biāo)的相位分布信息。該類(lèi)方法無(wú)需迭代、無(wú)需相位解包裹，但是只能針對(duì)相位型物體或者透明樣品。與之相反，迭代式相位恢復(fù)算法通過(guò)對(duì)目標(biāo)光學(xué)系統(tǒng)建立迭代格式，利用迭代計(jì)算的方式進(jìn)行目標(biāo)重建。該類(lèi)方法無(wú)需復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，且適用于各種類(lèi)型的樣品結(jié)構(gòu)，因此近年來(lái)受到了廣泛的關(guān)注。

迭代型相位恢復(fù)算法最早于1972年由Gerchberg等人研究電子顯微鏡的相位重構(gòu)時(shí)所提出［6］，該算法被稱(chēng)為GS算法（Gerchberg-Saxton algorithm）。該方法指出，如果像平面和遠(yuǎn)場(chǎng)衍射平面的強(qiáng)度可知，那像平面的相位可以通過(guò)衍射迭代計(jì)算的方式求出。隨著該算法的提出，迭代型相位恢復(fù)算法現(xiàn)已被成功運(yùn)用到X射線(xiàn)成像、自適應(yīng)光學(xué)、相干衍射成像以及生物成像中［7］。雖然GS算法的提出具有開(kāi)創(chuàng)性意義，但是它也存在著多種不容忽視的問(wèn)題，例如其伴隨的弱收斂性以及對(duì)初始值過(guò)于敏感。為了提高其收斂速度，F(xiàn)ienup基于反饋收斂的思想提出了混合輸入輸出算法（HIO）［8］。我國(guó)學(xué)者楊國(guó)楨和顧本源提出了YG算法，其將GS算法推廣到了任意線(xiàn)性系統(tǒng)［9］。但是，這一系列GS算法的改進(jìn)方案都依賴(lài)于樣品的振幅信息已知，然而這一條件在無(wú)透鏡衍射成像中卻很難實(shí)現(xiàn)。為此，多參數(shù)測(cè)量、多方位測(cè)量的實(shí)施方案被用來(lái)緩解其對(duì)物平面的依賴(lài)，例如，利用精密針孔進(jìn)行重疊掃描成像［10］、多距離衍射成像［11］、多波長(zhǎng)衍射成像［12］等。

本文著眼于多距離衍射成像，為其定義了新的結(jié)構(gòu)約束條件。通過(guò)該約束條件的限制，多距離衍射相位恢復(fù)的收斂速度和收斂精度都得到了極大的改善。

1 多距離相位恢復(fù)理論模型

迭代相位恢復(fù)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是求解一個(gè)病態(tài)方程組的問(wèn)題，其最初的雛形是GS算法。GS算法最初被運(yùn)用到電子顯微鏡中恢復(fù)焦平面的相位圖像。其已知量為聚焦平面的強(qiáng)度圖像g和其遠(yuǎn)場(chǎng)衍射斑I。它是典型的運(yùn)用振幅-振幅信息恢復(fù)輸入平面相位的算法。在GS算法中，傅里葉變換是其傳遞函數(shù)，因此算法中的輸入平面和輸出平面就分別代表著空域和頻域。而GS算法的核心操作就在于分別為空域和頻域中的計(jì)算值施加約束，其目的在于通過(guò)在迭代計(jì)算中不斷施加固有的約束條件從而達(dá)到目標(biāo)收斂的效果。相應(yīng)的空域約束和頻域約束就是分別利用在輸入平面和輸出平面實(shí)際測(cè)量得到振幅，替代每次迭代中所計(jì)算出的振幅、。GS算法計(jì)算步驟可以歸納為：（1）以隨機(jī)相位初始化輸入平面目標(biāo)（平面）；（2）對(duì)輸入平面進(jìn)行傅里葉變換從而得到目標(biāo)的輸出平面（測(cè)量平面）復(fù)振幅分布F；（3）頻域約束，即以I替代 ||F，保持相位θ不變，從而組成新的輸出平面復(fù)振幅F′；（4）對(duì)輸出平面進(jìn)行逆傅里葉變換從而得到輸入平面的復(fù)振幅分布f′；（5）空域約束，即以g替代 ||f′，保持相位φ不變，從而組成新的輸入平面復(fù)振幅f；（6）迭代重復(fù)步驟（2）-（5），直至得到滿(mǎn)足需要的目標(biāo)相位φ。

多距離相位恢復(fù)則是在目標(biāo)后方衍射場(chǎng)測(cè)量多個(gè)距離下的強(qiáng)度圖像，利用這多個(gè)測(cè)量圖像的迭代計(jì)算從而恢復(fù)目標(biāo)圖像。多距離衍射成像是一類(lèi)不借助任何目標(biāo)光場(chǎng)的已知信息（Prior knowledge）而可恢復(fù)出其復(fù)振幅的相位恢復(fù)技術(shù)。

假設(shè)目標(biāo)平面的復(fù)振幅函數(shù)分布為g，第n個(gè)衍射距離Zn下的測(cè)量圖像為 ||In，那么目標(biāo)復(fù)振幅函數(shù)g可通過(guò)以下迭代公式進(jìn)行計(jì)算而得：

其中，k代表迭代次數(shù)，N為測(cè)量平面的個(gè)數(shù)，H和H-1為正向和逆向衍射傳遞函數(shù)。當(dāng)k=1時(shí)，零初始化目標(biāo)平面，即g1=0。而后，通過(guò)不斷循環(huán)計(jì)算公式（1-3）就可以重構(gòu)出目標(biāo)平面的復(fù)振幅函數(shù)g。在菲涅耳衍射條件下，不同距離的衍射傳遞函數(shù)可表示為：

式中，(ξ,η)為頻域坐標(biāo)，λ為光學(xué)系統(tǒng)的通光波長(zhǎng)。

2 基于結(jié)構(gòu)約束條件的相位恢復(fù)算法設(shè)計(jì)

對(duì)于上述的多距離相位恢復(fù)算法，其存在的缺陷就是收斂速度緩慢。為此，本文利用設(shè)置約束條件的方式實(shí)現(xiàn)其加速收斂。Fienup在提出HIO算法的時(shí)候指出，如果在樣品平面設(shè)置支撐約束條件，那么選擇支撐條件的強(qiáng)弱就可以控制算法收斂的快慢。其對(duì)支撐條件的定義如下［8］：計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的邊界，對(duì)邊界內(nèi)的局域進(jìn)行相位恢復(fù)，然后對(duì)邊界外的區(qū)域進(jìn)行衰減或者直接置0。鑒于此，本文利用結(jié)構(gòu)照明的方式定義支撐邊界，然后將該結(jié)構(gòu)支撐約束條件應(yīng)用到多距離衍射成像中。

圖1 基于結(jié)構(gòu)約束條件的相位恢復(fù)算法結(jié)構(gòu)圖

圖2 基于結(jié)構(gòu)約束條件的相位恢復(fù)算法流程圖

圖1為基于結(jié)構(gòu)約束條件的相位恢復(fù)算法結(jié)構(gòu)圖，其在目標(biāo)平面后方選擇不同的衍射距離下設(shè)置測(cè)量平面，通過(guò)上節(jié)所述的迭代計(jì)算就可完成目標(biāo)平面的圖像重構(gòu)。在等間距采集的前提下，設(shè)置多距離相位恢復(fù)的初始距離為Z0，間距為d，那么衍射距離就可表示為Zn=Z0+(n-1)d,n∈[1,N]。傳統(tǒng)的多距離相位恢復(fù)要求使用平面波照明，本文在此基礎(chǔ)上引入結(jié)構(gòu)照明的思想，利用兩個(gè)互補(bǔ)的結(jié)構(gòu)光模式（P和Pˉ）對(duì)目標(biāo)平面進(jìn)行照明。圖2為本文提出的改進(jìn)算法的算法流程圖。對(duì)于第k次迭代，互補(bǔ)的光照模式將分別產(chǎn)生兩個(gè)物函數(shù)的出射波函數(shù)，即Pgk和Pˉgk。將這兩個(gè)出射波函數(shù)帶入迭代公式（1-3）可產(chǎn)生兩個(gè)新的物函數(shù)估計(jì)Gk和Gˉk。毫無(wú)疑問(wèn)，新產(chǎn)生的這兩個(gè)物函數(shù)估計(jì)都只包含目標(biāo)的局部信息。為此，第k+1次的目標(biāo)函數(shù)估計(jì)可以通過(guò)下式合成而得：

公式（5）是改進(jìn)算法的核心公式，其不但完成了圖像的合成，也加強(qiáng)了相位恢復(fù)的約束支撐。而且，結(jié)構(gòu)照明中其光斑模式是已知或可探測(cè)的，故公式（5）可實(shí)現(xiàn)相位恢復(fù)算法的緊支撐約束。

3 仿真分析

3.1 振幅型樣品

利用自由空間相干衍射成像，將多距離相位恢復(fù)算法和其改進(jìn)算法用于恢復(fù)純振幅和純相位型樣品。結(jié)構(gòu)照明作為約束支撐加速收斂的特性將在仿真分析中得到證明。其中，均方誤差函數(shù)（Mean Square Error，MSE）被用來(lái)作為其圖像恢復(fù)精度的評(píng)價(jià)函數(shù)，其定義如下：

式中，M代表圖像的尺寸，f′是真值圖像，f是重構(gòu)圖像。MSE數(shù)值越小則圖像恢復(fù)的精度越高。對(duì)于純振幅型物體，本文選擇分辨率板（圖3（a））和灰度圖像（圖4（a））進(jìn)行仿真分析。仿真參數(shù)如下所示：（1）圖像尺寸為1mm × 1mm（360 × 360）；（2）通光波長(zhǎng)為532nm；（3）照明光束條紋周期為100μm；（4）測(cè)量次數(shù)N=4；（5）衍射平面初始距離Z0=20mm，間距d=2mm。為了保證對(duì)比分析的準(zhǔn)確性，本節(jié)在多距離相位恢復(fù)仿真中的衍射距離分別為20、22、24、26mm。對(duì)于結(jié)構(gòu)照明約束的多距離相位恢復(fù)，每個(gè)衍射距離對(duì)應(yīng)兩幅測(cè)量圖像，因此其衍射距離只需選擇為20mm和22mm?；诖?，在測(cè)量次數(shù)相同的情況下，MSE越小代表收斂速度越快。設(shè)置迭代次數(shù)為120，分辨率板的仿真結(jié)果如圖3所示。通過(guò)對(duì)比圖3（b-d）可知，GS算法和傳統(tǒng)多距離相位恢復(fù)算法的重構(gòu)圖像都出現(xiàn)了模糊和瑕疵，與之對(duì)應(yīng)，施加照明約束的重構(gòu)圖像卻清晰地重構(gòu)出了分辨率板。而且就恢復(fù)精度而言，改進(jìn)算法的MSE數(shù)值在三個(gè)算法中也是最小的。

圖3 二值型目標(biāo)圖像重構(gòu)結(jié)果

灰度型純振幅物體的重構(gòu)結(jié)構(gòu)如圖4所示，它的仿真參數(shù)和圖3一致。通過(guò)圖4（b）和（c）的MSE對(duì)比可知，結(jié)構(gòu)照明約束對(duì)于灰度圖像依然有效。為了形象地描繪其收斂速度的增強(qiáng)，本文繪制了如圖4（d）所示的振幅收斂曲線(xiàn)。其中，取對(duì)數(shù)后的均方誤差（Logarithm of MSE，LMSE）被用來(lái)評(píng)價(jià)其收斂逼近程度。收斂曲線(xiàn)的對(duì)比進(jìn)一步地證明了約束條件對(duì)相位恢復(fù)的加速效應(yīng)。

圖4 灰度型目標(biāo)圖像重構(gòu)結(jié)果.

3.2 相位型樣品

對(duì)純相位物體進(jìn)行仿真分析。振幅型物體對(duì)應(yīng)純振幅樣品或者染色樣品，而相位型物體則對(duì)應(yīng)透明樣品，相位型樣品的透射函數(shù)只改變光場(chǎng)的相位分布，不會(huì)對(duì)光場(chǎng)進(jìn)行強(qiáng)度的調(diào)制，最簡(jiǎn)單的相位型物體就是透鏡。而且，在生命科學(xué)領(lǐng)域，活體測(cè)量因其無(wú)標(biāo)記且不損壞生物樣品內(nèi)部屬性而受到廣泛關(guān)注。在對(duì)活體樣品進(jìn)行測(cè)量時(shí)，其聚焦平面的強(qiáng)度圖像是透明的，無(wú)法通過(guò)強(qiáng)度信息對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，因此需要通過(guò)諸如相位恢復(fù)或者差分干涉相襯等技術(shù)對(duì)其相位信息進(jìn)行重建。為了模擬純相位樣品，本節(jié)利用Matlab中的Peak函數(shù)作為樣品的相位分布函數(shù)，利用一個(gè)全1矩陣作為其振幅分布函數(shù)。其中，圖5（a-c）分別是目標(biāo)圖像的相位分布、傳統(tǒng)多距離相位恢復(fù)算法的重構(gòu)相位以及改進(jìn)算法的重構(gòu)相位。從圖5（b）和（c）可以明顯看出，如果不施加約束條件，傳統(tǒng)的多距離相位恢復(fù)無(wú)法完整重構(gòu)純相位樣品。相反，改進(jìn)算法能完整重建出目標(biāo)圖像的相位分布。但是，圖5（c）的重建相位仍然和目標(biāo)相位有一定的差距。為此，不同測(cè)量次數(shù)下的相位收斂曲線(xiàn)繪制如圖5（d）所示。

圖5 相位型目標(biāo)圖像重構(gòu)結(jié)果.

根據(jù)圖5（d）的收斂曲線(xiàn)可知，測(cè)量次數(shù)的增加可提高重建相位的恢復(fù)精度，這便可以改善圖5（c）中的瑕疵之處。而且，改進(jìn)算法的收斂效果確實(shí)大大優(yōu)于傳統(tǒng)的多距離相位恢復(fù)。因此，結(jié)構(gòu)照明約束的設(shè)置仍然可以加速相位型物體的重建速度。對(duì)于不同結(jié)構(gòu)照明模式的準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)，目前可以通過(guò)以下方案完成：利用空間光調(diào)制器［13］或者 Ronchi［14］光柵進(jìn)行光束調(diào)制，形成明暗條紋，在偶數(shù)倍泰伯距離下放置樣品，可實(shí)現(xiàn)文中P模式照明，在奇數(shù)倍泰伯距離下放置樣品，可實(shí)現(xiàn)文中的Pˉ模式照明。

4 結(jié)論

本文將結(jié)構(gòu)照明運(yùn)用到多距離相位恢復(fù)中，通過(guò)不同的照明模式實(shí)現(xiàn)相位恢復(fù)的緊支撐約束，以此提高了多距離相位恢復(fù)的收斂速度和收斂精度。在相干衍射成像的數(shù)值仿真模型下，本文利用改進(jìn)算法和傳統(tǒng)的多距離相位恢復(fù)算法對(duì)純振幅和純相位型物體進(jìn)行重構(gòu)。通過(guò)重構(gòu)結(jié)果可知，無(wú)論是純振幅或者純相位物體，結(jié)構(gòu)照明約束都大大提高了收斂速度和收斂精度。此外，本文所提出的結(jié)構(gòu)照明約束也可用于其他多參數(shù)相位恢復(fù)算法中。而且，對(duì)于純相位物體，結(jié)構(gòu)照明約束的使用解決了多距離相位恢復(fù)的弱收斂性以及收斂不穩(wěn)定的問(wèn)題，這對(duì)相位恢復(fù)在生物成像中的應(yīng)用推廣有重要的理論指導(dǎo)意義。

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