基于解耦傳播的波場(chǎng)分解方法在VTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移中的應(yīng)用

周進(jìn)舉，王德利，李博文，李 強(qiáng)，王 睿

吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130026

0 引言

逆時(shí)偏移理論從提出到現(xiàn)在已經(jīng)取得了很多的研究成果。其核心概念是利用模擬的震源波場(chǎng)和觀測(cè)到的檢波點(diǎn)波場(chǎng)對(duì)地下構(gòu)造和界面進(jìn)行成像。與聲波逆時(shí)偏移相比，彈性波逆時(shí)偏移更符合實(shí)際情況，能夠處理多分量數(shù)據(jù)，而且轉(zhuǎn)換波的成像結(jié)果有更高的分辨率。因此，近些年有很多關(guān)于彈性波逆時(shí)偏移的研究[1-6]。還有一些研究涉及到橫向各向同性(VTI)介質(zhì)[7-8]。然而，對(duì)于彈性波逆時(shí)偏移，在源波場(chǎng)和檢波點(diǎn)波場(chǎng)中都存在P波和S波。為了減少成像結(jié)果中的串?dāng)_假象，在逆時(shí)偏移之前進(jìn)行P波和S波分解就變得非常必要。

傳統(tǒng)的波場(chǎng)分解方法，比如Helmholtz分解，以及基于散度和旋度算符的波場(chǎng)分解方法，會(huì)在分解結(jié)果中失去原有的振幅和相位信息。這會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)問(wèn)題：1)不能做到真振幅偏移；2)在轉(zhuǎn)換S波(PS)成像結(jié)果中出現(xiàn)極性反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。雖然有很多研究可以解決這種極性反轉(zhuǎn)現(xiàn)象[1-3, 5]，但是這會(huì)增加很多計(jì)算量。與這些傳統(tǒng)的波場(chǎng)分解方法不同，目前還有3種向量分解方法可以分解P波和S波，并保留向量信息。一種是在頻率-波數(shù)域中實(shí)現(xiàn)的波場(chǎng)分解方法。這種方法可以在各向同性介質(zhì)中，甚至在傾斜橫向各向同性(TTI)介質(zhì)中，實(shí)現(xiàn)P波和S波分解。但是這種方法需要在源波場(chǎng)和檢波點(diǎn)波場(chǎng)外推過(guò)程中的每個(gè)時(shí)間點(diǎn)做一次正反傅里葉變換，會(huì)大大地增加計(jì)算量。另外兩種方法分別基于選擇吸收和解耦傳播。Wang等[9]比較了這兩種算法，并認(rèn)為后一種更有效率?；诮怦顐鞑サ牟▓?chǎng)分解方法有兩種實(shí)現(xiàn)方式，Xiao等[10]利用P波應(yīng)力來(lái)重建解耦的波動(dòng)方程，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)P波和S波分解。他們還推測(cè)這種方法在VTI介質(zhì)中也是有效的。因此，我們主要討論這種方法在各向同性介質(zhì)和VTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移中的實(shí)用效果。

為了研究波場(chǎng)分解方法對(duì)最終成像的影響，我們還需要選擇一個(gè)合適的成像條件。目前，用于逆時(shí)偏移的成像條件主要包括激發(fā)振幅(EA)成像條件、互相關(guān)(CC)成像條件和震源歸一化互相關(guān)(SNC)成像條件。激發(fā)振幅成像條件不僅不需要存儲(chǔ)源波場(chǎng)數(shù)據(jù)，還具有較高的精度。互相關(guān)成像條件和震源歸一化互相關(guān)成像條件都是比較可靠的成像條件，但是需要存儲(chǔ)源波場(chǎng)數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)存要求高。因此，從原理上就不需要保存全部源波場(chǎng)數(shù)據(jù)的激發(fā)振幅成像條件更有利于應(yīng)用到實(shí)際中。2013年，Nguyen等[11]在聲波逆時(shí)偏移中詳細(xì)論述了該激發(fā)振幅成像條件。2015年，Wang等[12]把激發(fā)振幅成像條件推廣到彈性波逆時(shí)偏移(RTM)中，并稱其為基于向量的(VB)成像條件。2017年，Zhou等[13]改進(jìn)了基于向量的成像條件，推導(dǎo)出了基于向量的激發(fā)振幅成像(VEA)條件。該成像條件充分考慮了質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向，可以直接求出含有符號(hào)的角度依賴的反射系數(shù)。

馬德堂等[14]在2003年用偽譜法模擬了基于解耦方程的彈性波波場(chǎng)分解。張智等[15]在2013年針對(duì)彈性波逆時(shí)偏移，提出了穩(wěn)定的激發(fā)振幅成像條件。2016年，李振春等[16]在傳統(tǒng)波場(chǎng)分離基礎(chǔ)上，對(duì)標(biāo)量勢(shì)與矢量勢(shì)分別進(jìn)行梯度和旋度處理，得到矢量縱波與矢量橫波，研究了基于矢量波場(chǎng)分離的彈性波逆時(shí)偏移成像。同年，楊紹偉等[17]對(duì)彈性波逆時(shí)偏移中的子波拉伸現(xiàn)象進(jìn)行了校正，提高了偏移后縱橫波的垂向分辨率。2017年，楊弘宇等[18]基于Poynting矢量研究了地震定向照明分析和成像補(bǔ)償方法。

本文首先推導(dǎo)基于解耦傳播的波場(chǎng)分解方法和基于向量的激發(fā)振幅成像條件在各向同性介質(zhì)和VTI介質(zhì)中的表達(dá)式，然后通過(guò)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)測(cè)試該波場(chǎng)分解方法在各向同性介質(zhì)和VTI介質(zhì)中的波場(chǎng)分解效果，最后通過(guò)逆時(shí)偏移成像結(jié)果分析該波場(chǎng)分解方法對(duì)最終成像的影響。

1 理論

1.1 彈性波波場(chǎng)傳播模擬

基于一階應(yīng)力速度方程的高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法被廣泛用于彈性波正演模擬中。在二維情況下，對(duì)于VTI介質(zhì)，一階應(yīng)力速度方程可以表示成：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：t表示時(shí)間；τxx，τzz和τxz分別代表兩個(gè)正應(yīng)力分量和一個(gè)剪切應(yīng)力分量；vx和vz分別代表質(zhì)點(diǎn)速度的水平和垂直分量；ρ表示介質(zhì)密度；cij表示介質(zhì)彈性參數(shù)(i,j=1, 3, 4)。如果介質(zhì)是各向同性的，則c11=c33=λ+2μ，c13=λ，c44=μ，其中λ和μ是拉梅常數(shù)。為了兼顧計(jì)算效率和計(jì)算精度，模擬時(shí)我們采用2階時(shí)間差分和12階空間差分來(lái)求解上述方程。同時(shí)，我們還采用了基于最小二乘優(yōu)化的差分系數(shù)，完全匹配層(PML)邊界和OpenMP并行算法。

1.2 基于解耦傳播的波場(chǎng)分解方法

對(duì)于各向同性介質(zhì)，基于解耦傳播的波場(chǎng)分解方法可以通過(guò)構(gòu)建一個(gè)額外的P波應(yīng)力來(lái)實(shí)現(xiàn)[10]，也可以通過(guò)分解應(yīng)力速度方程來(lái)實(shí)現(xiàn)[19]。這兩種方法在數(shù)學(xué)上是一致的，而前者的推導(dǎo)更加簡(jiǎn)便。

對(duì)于各向同性介質(zhì)，P波應(yīng)力(τP)是一個(gè)散射場(chǎng)，計(jì)算公式為

(6)

(7)

(8)

最后，從全部波場(chǎng)中減去P波分量就可以得到S波分量，即

(9)

(10)

對(duì)于各向異性介質(zhì)，P波應(yīng)力不再是散射場(chǎng)。P波應(yīng)力的水平和垂直分量可以表示成：

(11)

(12)

(13)

(14)

然后從全部波場(chǎng)中減去P波分量就可以得到S波分量，即與公式(9)、(10)相同。

分解后的P波和S波分量可以用于計(jì)算Poynting矢量、入射角和反射系數(shù)。另外，盡管在逆時(shí)偏移過(guò)程中，速度模型經(jīng)過(guò)了合適的圓滑，為了避免源波場(chǎng)數(shù)據(jù)(成像時(shí)主要利用源波場(chǎng)的P波分量)混入偶然產(chǎn)生的S波分量，不僅要在檢波點(diǎn)波場(chǎng)反傳時(shí)采用波場(chǎng)分解，在源波場(chǎng)正傳時(shí)也要采用波場(chǎng)分解。特別是含有各向異性介質(zhì)的模型，在源波場(chǎng)正傳過(guò)程中肯定會(huì)產(chǎn)生S波，這時(shí)一定要采用波場(chǎng)分解，得到純粹的P波分量。

1.3 彈性波逆時(shí)偏移成像條件

基于向量的激發(fā)振幅成像條件是激發(fā)振幅成像條件在彈性介質(zhì)中的推廣。因此，與聲波介質(zhì)中的激發(fā)振幅成像條件類似，也需要在源波場(chǎng)正傳過(guò)程中先計(jì)算成像時(shí)刻，即

(15)

因?yàn)槟鏁r(shí)偏移中還需要計(jì)算入射角，我們還需要計(jì)算Poynting矢量。對(duì)于VTI介質(zhì)，P波Poynting矢量可以表示成：

(16)

(17)

(18)

(19)

根據(jù)幾何關(guān)系(圖1)，入射角可以表示成

(20)

圖1 入射角和Poynting矢量之間的幾何關(guān)系Fig.1 Geometry relationship between Poynting vectors and incident angle

根據(jù)激發(fā)振幅成像條件，反射系數(shù)可以用檢波點(diǎn)波場(chǎng)除以存儲(chǔ)的源波場(chǎng)最大振幅來(lái)計(jì)算。在彈性介質(zhì)中，我們用向量的內(nèi)積來(lái)代替向量的模，然后用角度余弦來(lái)矯正計(jì)算誤差，即

(21)

(22)

圖2 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和角度之間的幾何關(guān)系Fig.2 Geometry relationship between particle velocity vectors and angles

(23)

2 數(shù)值模擬實(shí)例

2.1 在各向同性介質(zhì)和VTI介質(zhì)中的對(duì)比測(cè)試

首先測(cè)試該波場(chǎng)分解算法在各向同性介質(zhì)中的P波和S波分離效果。我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)兩層模型，水平方向和垂直方向都是2 km，每層的厚度都是1 km。第一層的P波速度、S波速度和密度分別為2 500 m/s、1 500 m/s和2 000 kg/m3；第二層的P波速度、S波速度和密度分別為2 700 m/s、1 600 m/s和2 100 kg/m3。采用的波場(chǎng)分解方法針對(duì)的是各向同性介質(zhì)，即公式(6)—(10)。圖3是0.4 s時(shí)的波場(chǎng)快照，可以明顯看出在各向同性介質(zhì)中，無(wú)論是直達(dá)波、反射波或透射波，都能分解得很好，并且沒(méi)有殘余。為了更清晰地比較波場(chǎng)分解結(jié)果，我們還給出了兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)(x=1.5 km,z=0.5 km)和(x=1.5 km,z=1.5 km)處的部分記錄，分別如圖4和圖5所示。第一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)位于第一層，可以看出，對(duì)于直達(dá)波、反射波和轉(zhuǎn)換波，P波和S波都分解得非常干凈(圖4)。第二個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)位于第二層，可以看出，對(duì)于透射波和轉(zhuǎn)換波，P波和S波也分解得非常干凈(圖5)。

然后我們把第二層介質(zhì)改為VTI介質(zhì)，各向異性參數(shù)ε和δ分別是0.204和0.175，其他介質(zhì)參數(shù)不變。模型大小和波場(chǎng)快照時(shí)間也與上面的各向同性介質(zhì)測(cè)試相同。采用的波場(chǎng)分解方法針對(duì)的是VTI介質(zhì)，即公式(11)—(14)，結(jié)果如圖6所示?？梢?jiàn)：在第一層介質(zhì)中P波和S波的分解結(jié)果依舊很好，說(shuō)明下層介質(zhì)的參數(shù)不會(huì)影響反射波的分解效果；但是第二層介質(zhì)在P波和S波分解結(jié)果中都存在較明顯的殘余(如圖6中的黑箭頭所示)，說(shuō)明解耦傳播的波場(chǎng)分解方法在VTI介質(zhì)中不能將P波和S波完全分開(kāi)。同樣，我們也給出了兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)(x=1.5 km,z=0.5 km)和(x=1.5 km,z=1.5 km)處的部分記錄(圖7、圖8)。從圖7和圖8可以明顯看出，波場(chǎng)在第一層各向同性介質(zhì)中分解得非常徹底(圖7)，在第二層VTI介質(zhì)中存在分解殘余(圖8)。

a.水平分量；b.分解后的P波水平分量；c.分解后的S波水平分量；d.垂直分量；e.分解后的P波垂直分量；f.分解后的S波垂直分量。圖3 各向同性介質(zhì)中的波場(chǎng)快照(T=0.4 s)Fig.3 Snapshots in isotropic media (T=0.4 s)

a.水平分量；b.垂直分量。圖4 各向同性介質(zhì)中檢波點(diǎn)位于x=1.5 km、z=0.5 km處的部分記錄Fig.4 Measurements of the receiver at x=1.5 km and z=0.5 km in isotropic media

a.水平分量；b.垂直分量。圖5 各向同性介質(zhì)中檢波點(diǎn)位于x=1.5 km、z=1.5 km處的部分記錄Fig.5 Measurements of the receiver at x=1.5 km and z=1.5 km in isotropic media

上面的測(cè)試結(jié)果同時(shí)也說(shuō)明針對(duì)VTI介質(zhì)的波場(chǎng)分解方法可以適用于各向同性介質(zhì)。然后我們還是針對(duì)這個(gè)第二層是VTI介質(zhì)的模型，但是采用針對(duì)各向同性介質(zhì)的波場(chǎng)分解方法，即公式(6)—(10)。波場(chǎng)分解結(jié)果如圖9所示?？梢?jiàn)在第二層介質(zhì)中，相比于圖6中的分解結(jié)果，無(wú)論是x分量還是z分量都存在非常強(qiáng)的波場(chǎng)分解殘余(如圖9中黑色箭頭所示)。這說(shuō)明各向同性介質(zhì)的波場(chǎng)分解方法在VTI介質(zhì)中的應(yīng)用效果非常差，不能直接應(yīng)用于VTI介質(zhì)的波場(chǎng)分解。同時(shí)也間接說(shuō)明了VTI介質(zhì)的波場(chǎng)分解方法在VTI介質(zhì)中的必要性。

作為對(duì)比，我們還得到了Helmholtz分解的結(jié)果。圖10是采用Helmholtz分解的波場(chǎng)快照，模型參數(shù)和快照時(shí)間與之前的測(cè)試相同。分解之后的P波和S波分量都失去了原有的振幅和相位信息，只含有一個(gè)分量，即從向量波場(chǎng)變成了散射波場(chǎng)。在各向同性介質(zhì)中分解結(jié)果較好，在VTI介質(zhì)中有很明顯的分解殘余(黑色箭頭所示)。另外，圖10與圖6、圖9中采用的是相同的繪圖參數(shù)，可見(jiàn)圖10中分解之后的波場(chǎng)振幅也有較大改變，這就不能在最終的成像結(jié)果中做到真振幅偏移。

a.水平分量；b.分解后的P波水平分量；c.分解后的S波水平分量；d.垂直分量；e.分解后的P波垂直分量；f.分解后的S波垂直分量。圖6 當(dāng)?shù)诙邮荲TI介質(zhì)時(shí)的波場(chǎng)快照(T=0.4 s)Fig.6 Snapshots when the second layer is VTI media (T= 0.4 s)

a.水平分量；b.垂直分量。圖7 第二層是VTI介質(zhì)時(shí)檢波點(diǎn)位于x=1.5 km、z=0.5 km處的部分記錄Fig.7 Measurements of the receiver at x=1.5 km and z=0.5 km when the second layer is VTI media

a.水平分量；b.分解后的P波水平分量；c.分解后的S波水平分量；d.垂直分量；e.分解后的P波垂直分量；f.分解后的S波垂直分量。圖9 第二層是VTI介質(zhì)時(shí)采用各向同性波場(chǎng)分解方法的波場(chǎng)快照(T=0.4 s)Fig.9 Snapshots with isotropic wavefield decomposition method when the second layer is VTI media (T=0.4 s)

2.2 在簡(jiǎn)單模型逆時(shí)偏移中的應(yīng)用測(cè)試

然后我們?cè)贉y(cè)試基于解耦傳播的波場(chǎng)分解方法和基于向量的激發(fā)振幅成像條件在VTI介質(zhì)中的應(yīng)用效果。此時(shí)，介質(zhì)的各向異性參數(shù)ε和δ如圖11b、c所示，其他參數(shù)與之前的各向同性測(cè)試相同。其單炮逆時(shí)偏移結(jié)果如圖13a、b所示，總體上，PP波和PS波成像結(jié)果也是比較清晰的，只存在微弱的串?dāng)_假象。因此，我們可以認(rèn)為，基于解耦傳播的波場(chǎng)分解方法應(yīng)用于VTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移時(shí)也可以得到比較好的成像結(jié)果。作為對(duì)比，我們還采用Helmholtz波場(chǎng)分解方法和激發(fā)振幅成像條件得到了單炮偏移結(jié)果(圖13c、d)，PP波和PS波成像結(jié)果也比較清晰，但是成像假象更多，而且PS波成像結(jié)果中依然存在相位反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，影響多炮偏移疊加成像效果。

a.水平分量；b.垂直分量；c.分解后的S波分量；d.分解后的P波分量。圖10 第二層是VTI介質(zhì)時(shí)采用Helmholtz分解的波場(chǎng)快照(T=0.4 s)Fig.10 Snapshots with Helmholtz wavefield decomposition method when the second layer is VTI media (T=0.4 s)

圖11 洼陷模型示意圖Fig.11 Sub-sag model

2.3 在復(fù)雜模型逆時(shí)偏移中的應(yīng)用測(cè)試

因?yàn)椴捎肏elmholtz分解的逆時(shí)偏移結(jié)果在PS成像中存在相位反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，在多炮疊加的時(shí)候會(huì)造成疊加結(jié)果不連續(xù)，大大影響成像質(zhì)量，因此這里只測(cè)試了本文方法在復(fù)雜Hess VTI模型中的應(yīng)用效果。模型參數(shù)如圖14所示，S波速度設(shè)為vP/1.7。模型在水平方向和垂直方向分別有1 808和750個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格間距12 m。一共141炮分布于地表x=2.4～19.6 km的范圍內(nèi)，炮間距120 m。每炮含有401個(gè)檢波點(diǎn)，檢波點(diǎn)間距是12 m。采用本文的方法，所有141炮的偏移結(jié)果疊加后的成像結(jié)果如圖15所示。圖15中PP波成像結(jié)果和PS波成像結(jié)果都較清晰，高速鹽丘的邊界和斷層也成像清晰，特別是圖中兩個(gè)低速夾層也得到了較好的成像(如黑色箭頭所示)。另外，相對(duì)于PP波成像結(jié)果，PS成像結(jié)果對(duì)各向異性體的成像更好(圖中灰色箭頭所示)，這說(shuō)明了PS波成像的優(yōu)勢(shì)——可以刻畫一些PP波成像不能刻畫的構(gòu)造。但是，限于高速巖體的影響，鹽丘下面的構(gòu)造成像不清晰，巖體邊緣和兩個(gè)低速夾層的接觸帶也沒(méi)有得到很好的成像，這需要進(jìn)一步研究。

本文方法：a. PP波成像結(jié)果；b. PS波成像結(jié)果。Helmholtz分解：c. PP波成像結(jié)果；d. PS波成像結(jié)果。圖12 各向同性介質(zhì)單炮逆時(shí)偏移結(jié)果Fig.12 Single shot RTM result for isotropic media

本文方法：a. PP波成像結(jié)果；b. PS波成像結(jié)果。Helmholtz分解：c. PP波成像結(jié)果；d. PS波成像結(jié)果。圖13 VTI介質(zhì)的單炮逆時(shí)偏移結(jié)果Fig.13 Single shot RTM result for VTI media

圖14 Hess VTI 模型Fig.14 Hess VTI model

a. PP波成像結(jié)果; b. PS波成像結(jié)果。圖15 Hess VTI模型逆時(shí)偏移結(jié)果Fig.15 Migration results of Hess VTI model

3 結(jié)論

我們把基于解耦傳播的波場(chǎng)分解方法應(yīng)用到彈性波逆時(shí)偏移中，并對(duì)比了其在各向同性介質(zhì)和VTI介質(zhì)中的應(yīng)用效果。通過(guò)數(shù)值模擬可以得到以下結(jié)論：

1)在各向同性介質(zhì)中，直達(dá)波、反射波、轉(zhuǎn)換波和透射波中的P波和S波都能分解得很完全，并保留波場(chǎng)的向量信息。從逆時(shí)偏移結(jié)果來(lái)看，PP波和PS波成像都很清晰，沒(méi)有串?dāng)_假象，也沒(méi)有相位反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

2)在VTI介質(zhì)中，P波和S波的分解結(jié)果中都含有對(duì)方的殘余，說(shuō)明解耦傳播的波場(chǎng)分解方法在VTI介質(zhì)中的推廣不是完全正確的，存在一定的誤差。但是該分解殘余不會(huì)在RTM結(jié)果中產(chǎn)生很明顯的串?dāng)_，說(shuō)明擴(kuò)展后的解耦傳播波場(chǎng)分解方法是可以應(yīng)用于VTI介質(zhì)逆時(shí)偏移的。

3)基于解耦傳播的P波和S波波場(chǎng)分離方法是在時(shí)間空間域?qū)崿F(xiàn)的，可以在波場(chǎng)傳播過(guò)程中直接對(duì)P波和S波進(jìn)行分離。該方法具有應(yīng)用方便，計(jì)算效率高，結(jié)果可靠的優(yōu)點(diǎn)。

4)Hess VTI模型的測(cè)試結(jié)果表明，本文的方法在復(fù)雜介質(zhì)中也有較好的適應(yīng)性，成像結(jié)果清晰，沒(méi)有明顯的串?dāng)_假象。但是，限于高速巖體的影響，鹽丘下面的構(gòu)造成像不清晰，巖體邊緣和兩個(gè)低速夾層的接觸帶也沒(méi)有得到很好的成像，這需要進(jìn)一步研究。

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