一類條件可化為“∏x=1”的不等式研究述評(píng)

牛偉強(qiáng) 張麗玉

【摘要】不等式的證明方法靈活多樣，因而證明不等式有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識(shí)和數(shù)學(xué)探究能力.這篇文章首先探討了一類條件可化為“∏x=1”的不等式研究的概況，其后給出了研究的主要結(jié)論，最后文末提出了三個(gè)猜想供有興趣的讀者進(jìn)一步研究.

【關(guān)鍵詞】不等式；∏x=1；述評(píng)

1引言

2003年安振平[1]提出問(wèn)題（數(shù)學(xué)問(wèn)題解答1435）：設(shè)a，b>0，求證：

aa+3b+b3a+b≥1.（1）

這個(gè)問(wèn)題猶如一顆火星，引發(fā)了一系列相關(guān)的研究，見文[2-11].2006年賀中杰[12]提出問(wèn)題（數(shù)學(xué)問(wèn)題解答1613）：設(shè)a，b，c∈R+，λ≥0，求證：

a2+λb2a+b2+λc2b+c2+λa2c≥31+λ.

他用反證法證明了上述不等式并且指出原不等式其實(shí)可以推廣到：設(shè)xi∈R+，∏ni=1xi=1，λ≥0，i=1，2，…，n，n≥2，則：

∑ni=11+λ≥n1+λ.（2）

后來(lái)，蔡曉蘭（2009）[13]又從幾何角度給出了不等式（2）的一個(gè)證明，然而關(guān)于上述兩個(gè)不等式的聯(lián)系目前似乎尚未有人發(fā)現(xiàn).

不等式（1）可以改寫為：設(shè)xi∈R+，x1x2=1，則：

∑2i=1（1+3xi）-12≥21+3-12.

不等式（2）可以改寫為：設(shè)xi∈R+，∏ni=1xi=1，λ≥0，則：∑ni=1（1+λxi）12≥n1+λ12.

觀察可以發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)不等式的形式幾乎一模一樣，這引起了我們對(duì)下列問(wèn)題的深深思考.設(shè)xi∈R+，∏ni=1xi=1，那么λ和k滿足什么樣的條件時(shí)，則有：

∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k.（*）

為了避免重復(fù)的工作，我們首先對(duì)不等式（*）相關(guān)的文獻(xiàn)做了系統(tǒng)的梳理.

2研究概況蔣明斌（2004）[2]最早注意到了不等式（1），他對(duì)這個(gè)不等式進(jìn)行了推廣，得到如下兩個(gè)優(yōu)美的不等式.設(shè)a，b>0，若λ≥3，則：

aa+λb+bλa+b≥21+λ，（3）

若0<λ≤2，則：

aa+λb+bλa+b≤21+λ，（4）

李永利（2005）[3]對(duì)不等式（3）進(jìn)行了研究，得到了一個(gè)指數(shù)推廣的不等式.設(shè)a，b>0，n≥2且n∈N，若λ≥2n-1，則：

naa+λb+nbλa+b≥2n1+λ. （5）

上述不等式岳嶸（2007）[7]、李鳳清（2014）[11]也都給出了證明，并且給出了一個(gè)更加完整的結(jié)果.郭要紅（2006）[4]則對(duì)不等式（4）進(jìn)行了研究，他用微分法證明了a，b>0，0<λ≤3時(shí)：

3aa+λb+3bλa+b≤231+λ.

最后，他還提出了一個(gè)漂亮的猜想：設(shè)a，b>0，n≥2且n∈N，若0<λ≤n，則：

naa+λb+nbλa+b≤2n1+λ. （6）

后來(lái)，不少學(xué)者[5-7，10-11]都證明了這個(gè)猜想的正確性.關(guān)于不等式（6），目前一個(gè)較新的研究結(jié)果屬于尚生陳（2009）[8]，他證明了a，b，c∈R+，當(dāng)0≤λ≤n時(shí)，有：

naa+λb+nbb+λc+ncc+λa≤3n1+λ. （7）

對(duì)于不等式（5），李建潮（2008）[9]則用反證法證明了一個(gè)n元的一般結(jié)論：

設(shè)ai>0（i=1，2，…，n，n≥2且n∈N，an+1=a1），k≥2且k∈N，λ≥nk-1，則：

∑ni=1kaiai+λai+1≥nk1+λ.（8）

事實(shí)上，不等式（8）可改寫為：設(shè)xi∈R+，∏ni=1xi=1，λ≥nk-1，k≥2且k∈N，則：

∑ni=1（1+λxi）-1k≥n（1+λ）-1k.

這個(gè)不等式是極漂亮的，它其實(shí)就是不等式（*）當(dāng)指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)的一種特殊情況，而不等式（1，3，5）則是幾種最簡(jiǎn)單的情況.那么當(dāng)指數(shù)為正數(shù)時(shí)，又會(huì)得到怎樣的結(jié)果呢？根據(jù)與不等式（2）的類比，我們證明了下面的結(jié)論.

3主要結(jié)果

定理設(shè)xi∈R+，∏ni=1xi=1，若k≥0，則當(dāng)λ≥0時(shí)，有：∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k

證明k=0時(shí)是顯然的.當(dāng)k>0時(shí)，由均值不等式可知

∑ni=1（1+λxi）k≥nn∏ni=1（1+λxi）k，

故只需證明

nn∏ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k，

即證明∏ni=1（1+λxi）≥（1+λ）n.

令f（λ）=∏ni=1（1+λxi），g（λ）=（1+λ）n，

因?yàn)閒λ=∏ni=11xi+λ=∑nj=0λj（∑1xi1xi2…xij），其中∑1xi1xi2…xij表示1x1，1x2，…，1xn中任意j個(gè)（共Cjn個(gè)）數(shù)的乘積再求和，gλ=1+λn=∑nj=0λj（Cjn）.

所以只需證明∑1xi1xi2…xij≥Cjn，

再次使用均值不等式得

∑1xi1xi2…xij≥CjnCjn∏1xi1xi2…xij

其中∏1xi1xi2…xij表示1x1，1x2，…，1xn中任意j個(gè)（共Cjn個(gè)）數(shù)的乘積再求積.由于每個(gè)xi都恰好出現(xiàn)Cj-1n-1次，所以∏xi1xi2…xij）=xCj-1n-11xCj-1n-12…xCj-1n-1n=1.

故∑1xi1xi2…xij≥Cjn，等號(hào)成立時(shí)x1=x2=…=xn=1.

于是，fλ≥gλ，所以原不等式成立.

這樣當(dāng)k≥0時(shí)，不等式（*）成立的條件就解決了.當(dāng)k<0時(shí)，還有一些遺留的問(wèn)題需要進(jìn)一步分析.

4遺留問(wèn)題

讀者可能已經(jīng)注意到了不等式（4，6，7）都是反向的，仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)原因在于參數(shù)λ的取值范圍發(fā)生了變化.也就是說(shuō)當(dāng)k<0時(shí)，不等式（*）可能成立也可能反向成立.

甘義寧（2014）[10]證明了下面的命題.設(shè)a，b>0，若α>1，λ≥1α，則：

aa+λbα+bb+λaα≥2（1+λ）α

上面的命題可以改寫為：∑2i=1（1+λxi）-α≥21+λ-α.因?yàn)棣?gt;1，所以-α<-1，也就是說(shuō)當(dāng)指數(shù)k<-1時(shí)，不等式（*）的二元形式是成立的.

尚生陳（2009）[8]給出了一個(gè)三元不等式的證明.設(shè)x，y，z∈R+且xyz=1，0≤β≤1，0≤λβ≤1，則：

11+λxβ+11+λyβ+11+λzβ≤3（1+λ）β

這個(gè)不等式可以改寫為：∑3i=1（1+λxi）-β≤31+λ-β.因?yàn)?≤β≤1，所以-1≤-β≤0，也就是說(shuō)當(dāng)指數(shù)-1≤k≤0時(shí)，不等式（*）的反向三元形式是成立的.最后，通過(guò)對(duì)上述不等式特征的歸納和類比，我們提出幾個(gè)問(wèn)題留給有興趣的讀者進(jìn)一步研究.

猜想1：設(shè)xi∈R+，∏ni=1xi=1，-1≤k<0，0≤λ≤n時(shí)，則有：

∑ni=1（1+λxi）k≤n（1+λ）k.

猜想2：設(shè)xi∈R+，∏ni=1xi=1，-1≤k<0，λ≥n-1k-1時(shí)，則有：

∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k.

猜想3：設(shè)xi∈R+，∏ni=1xi=1，當(dāng)k<-1，λ≥-1k時(shí)，則有：

∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k.

參考文獻(xiàn)

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[3]李永利. 一個(gè)不等式的指數(shù)推廣[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)， 2005（11）：63-64.

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[13]蔡曉蘭. 一個(gè)“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的幾何證明[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)， 2009（5）：61.