不同邊界條件下高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼的行波共振特性研究

王 宇，于曉光，羅 忠，解志文

(1.遼寧科技大學 機械工程與自動化學院，遼寧 鞍山 114051； 2.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

在航空發(fā)動機和汽輪機等動力旋轉(zhuǎn)機械中，廣泛使用著薄壁短圓柱殼構(gòu)件，通常是指軸向半波數(shù)等于1，而且壁厚與其它最小特征尺寸(直徑和長度)之比在1/80和 1/5 之間的圓柱殼體[1]。在許多實際薄壁殼體結(jié)構(gòu)上, 還經(jīng)常帶有幾何尺寸相對較小的周向篦齒結(jié)構(gòu), 例如航空發(fā)動機鼓筒上的封嚴篦齒環(huán)，很多情況下人們對其振動特性的研究需參考帶加強肋的薄壁殼體研究。在此類結(jié)構(gòu)服役過程中，很多振動疲勞損傷故障是由于外部復雜的工況和環(huán)境條件引起的共振造成的，對高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼的行波共振特性進行研究，判斷構(gòu)件發(fā)生共振時的轉(zhuǎn)速、頻率和振型之間的關系，具有重要的工程參考價值。

對于旋轉(zhuǎn)態(tài)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動問題，近年來具有代表性的研究成果如下：Sun等[2-3]基于Sanders殼體理論，采用波傳播方法和傅里葉級數(shù)展開法，研究了轉(zhuǎn)動薄壁圓柱殼的振動特性。李文達等[4]基于Sanders薄殼理論和Rayleigh-Ritz法，分析了彈性約束邊界下旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動的行波特性。劉彥琦等[5]基于Love殼體理論和Galerkin方法，研究了不同邊界條件下旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼的固有頻率特性。在許多旋轉(zhuǎn)圓柱殼構(gòu)件上，經(jīng)常帶有周向篦齒結(jié)構(gòu)，例如航空發(fā)動機鼓筒上的封嚴篦齒環(huán)，相關的研究結(jié)果主要有：Liu等[6]采用Rayleigh-Ritz方法，對任意邊界條件下旋轉(zhuǎn)態(tài)環(huán)加強圓柱殼的自由振動特性進行了分析。曾亮等[7]利用彈性力學和接觸力學理論，采用動柔度法研究了靜止時篦齒封嚴裝置的振動特性。韓清凱等[8-9]利用傳遞矩陣法研究了旋轉(zhuǎn)態(tài)薄壁圓柱殼及其帶有篦齒結(jié)構(gòu)時的固有振動特性。王洪玉等[10]針對航空發(fā)動機中鼓筒篦齒封嚴結(jié)構(gòu)，采用數(shù)值方法對其流場進行了仿真分析，研究了旋轉(zhuǎn)速度等因素的影響。相關的研究還可參閱李罡[11]、梁斌[12]、曹雷[13]和李輝[14]等學者的研究成果。對于高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒結(jié)構(gòu)薄壁短圓柱殼構(gòu)件的行波共振特性，目前的研究相對較少，相關內(nèi)容可參閱以下研究成果：王宇等[15-16]針對旋轉(zhuǎn)態(tài)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)，對其共振特性和振動響應進行了分析。李波波等[17]采用有限元法分析了多轉(zhuǎn)子串聯(lián)軸系扭轉(zhuǎn)振動的 Campbell 圖以及臨界轉(zhuǎn)速等特性。田野等[18]采用有限元法研究了整體式轉(zhuǎn)子和焊接式轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，討論了支撐和裝配方式對臨界轉(zhuǎn)速的影響。王嬌[19]研究了葉輪旋轉(zhuǎn)機械中高速旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)的共振特性。

因此，對于不同邊界條件下高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼構(gòu)件的行波共振特性，探討結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時的轉(zhuǎn)速、頻率和振型之間的關系，以避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，尚缺少相應的研究。本文基于Love殼體理論，在簡支-簡支、固支-固支、固支-簡支、固支-自由和簡支-自由五種邊界條件下，采用傳遞矩陣法[20]對高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼的振動特性進行求解，對不同激振作用下的行波共振特性進行分析，為控制和避免動力旋轉(zhuǎn)機械的共振問題具有實際意義。

1 旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼模型

旋轉(zhuǎn)態(tài)帶篦齒薄壁短圓柱殼的模型和斷面形狀如圖1所示。在柱坐標系Oxθz中，原點O為端面上的圓心，圓柱殼以角速度Ω繞x軸轉(zhuǎn)動，u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和w(x,θ,t)分別為中面上任意一點在縱向、切向和徑向三個方向上的位移，L,H和R分別為薄壁圓柱殼的長度、壁厚和中面半徑；取篦齒斷面為矩形，沿著軸向有2個篦齒，篦齒的高度為Hr、寬度為Lr、以間距Br等距離分布。

(a) 帶篦齒薄壁圓柱殼模型

(b) 截面示意圖圖1 旋轉(zhuǎn)態(tài)帶篦齒薄壁短圓柱殼模型Fig.1 A model of rotating thin short cylindrical shell with two sealing teeth

2 不同邊界條件下共振特性分析的傳遞矩陣法

如圖1所示的帶篦齒旋轉(zhuǎn)態(tài)薄壁圓柱殼構(gòu)件，可以沿著篦齒位置分成厚度相等的n0個區(qū)段(本文取n0=5)，把每一個區(qū)段的圓柱殼視為一段光滑薄壁圓柱殼，且厚度相等。根據(jù)Love殼體理論[21]，對于每一區(qū)段i(即：i=1, 2，…，n)的旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼，在縱向、切向與徑向上的動力學微分方程為

(1a)

(1b)

(1c)

等效Kirchhoff面內(nèi)切力Vx和橫向剪力sx為

(2a)

(2b)

中面法線繞x軸的轉(zhuǎn)角φx、內(nèi)力Nx和內(nèi)力矩Mx的表達式為

(3a)

(3b)

(3c)

令m表示軸向半波數(shù)，n表示周向波數(shù)，ω表示旋轉(zhuǎn)圓柱殼的簡諧振動圓頻率，定義位移解的形式為

(4a)

(4b)

(4c)

式中：“+”和“-”分別表示轉(zhuǎn)動坐標系中科氏力引起的后行波和前行波。

對于每一區(qū)段的圓柱殼，可以沿薄壁圓柱殼的縱向分為n0個子段，共n0+1個截面，任一截面上的狀態(tài)向量為

(5)

在橫斷面上狀態(tài)向量中的位移、轉(zhuǎn)角、內(nèi)力和內(nèi)力矩表示為

(6)

(7)

將帶篦齒薄壁圓柱殼構(gòu)件分成n0個區(qū)段，對于某一區(qū)段的兩個相鄰截面，從一個端面至另一個端面的傳遞關系為

(8)

其中，對于每一區(qū)段薄壁圓柱殼的相鄰兩個截面，對應的傳遞矩陣關系為

(9)

在簡支-簡支、固支-固支、固支-簡支、固支-自由簡支-自由五種邊界約束條件下，構(gòu)件的前行波和后行波頻率采用如下方法進行求解，即

(10)

令式(11)的系數(shù)行列式為零，可求得前行波和后行波的頻率值，即

det(T′)=0

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

令fe為激振力頻率，fmn表示軸向半波數(shù)為m和周向波數(shù)為n時的行波頻率，當激振力頻率與行波頻率成如下關系時殼體結(jié)構(gòu)將發(fā)生共振現(xiàn)象，即

fmn=N0·fe,N0=1, 2, 3, …

(16)

可以通過Campbell圖判斷高速旋轉(zhuǎn)的構(gòu)件是否會產(chǎn)生共振，其中射線表示激振頻率，共振點對應的轉(zhuǎn)速表示共振轉(zhuǎn)速Nr，則激振頻率為

fe=K·Nw

(17)

式中：K為諧波系數(shù)；Nw為工作轉(zhuǎn)速，本文取Nw=2.5×104r/min。

當構(gòu)件的轉(zhuǎn)速發(fā)生變化時，在工作轉(zhuǎn)速附近的共振轉(zhuǎn)速比較危險，根據(jù)API標準，共振臨界轉(zhuǎn)速點應避開工作轉(zhuǎn)速的±10%，通常用共振裕度來描述，其表達式為

(18)

3 算例分析

在簡支-簡支、固支-固支、固支-簡支、固支-自由和簡支-自由五種邊界約束條件下，對高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒Ti5Al2.5Sn鈦合金[22]薄壁短圓柱殼的共振特性進行分析，在室溫20℃時光滑薄壁圓柱殼構(gòu)件的幾何參數(shù)和材料參數(shù)如表1所示，取兩個篦齒沿殼體長度方向均勻分布，篦齒的寬度Lr=0.004 m、高度Hr=0.002 m、篦齒間距為Br= 0.05 m，材料參數(shù)不變。

表1 薄壁圓柱殼構(gòu)件的幾何參數(shù)和材料參數(shù)Tab.1 Material and geometric parameters of a thin cylindrical shell

3.1 簡支-簡支邊界條件

在轉(zhuǎn)動坐標系和兩端簡支邊界條件下，當轉(zhuǎn)速為0 r/min時，采用傳遞矩陣法求得的帶篦齒薄壁短圓柱殼的前六階靜頻值如表2所示，并通過有限元程序ANSYS進行求解比較。由表2可知，通過兩種方法得到的固有特性變化規(guī)律一致，最大頻率誤差為0.021%，第1階固有頻率對應(1,4)模態(tài)，隨著靜頻值的增加，第2階～第6階對應的模態(tài)振型依次為(1,3)、(1,5)、(1,6)、(1,2)和(2,5)，并且以周向模態(tài)的振動為主。

表2 簡支-簡支邊界條件下帶篦齒薄壁短圓柱殼的靜頻值Tab.2 The natural frequencies of the shell with sealing teeth for simple supported-simple supported boundary condition

當轉(zhuǎn)速在0～3×104r/min時，取前六階模態(tài)進行分析，對應的Campbell圖如圖2所示。當帶篦齒薄壁短圓柱殼構(gòu)件的轉(zhuǎn)速逐漸增加時，由于科氏力影響引起了各階模態(tài)對應的行波頻率出現(xiàn)分離現(xiàn)象，并且后行波頻率大于前行波頻率。在3×104r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)和K=1～6倍頻激勵作用下，與前六階模態(tài)存在多個共振轉(zhuǎn)速點，但在實際升速或降速過程中短時間通過時不會建立起共振工況。取工作轉(zhuǎn)速為2.5×104r/min，行波頻率線與激振頻率線K=1和K=3～6的交點均遠離工作轉(zhuǎn)速，但是在工作轉(zhuǎn)速附近容易引起共振的轉(zhuǎn)速點僅有2個，即在K=2倍激振力作用下，與(1,2)階和(1,6)階模態(tài)形成共振，共振點頻率分別為4 948 Hz和5 012 Hz，共振轉(zhuǎn)速分別為23 620 r/min和23 930 r/min，與工作轉(zhuǎn)速的共振裕度分別為5.52%和4.28%，而在其它交點處的共振裕度均大于10%，即殼體構(gòu)件在共振轉(zhuǎn)速下運行時很容易引起(1,2)階和(1,6)階模態(tài)的振動，并且共振裕度值越小越容易發(fā)生共振現(xiàn)象，即最容易引起共振裕度為4.28%的(1,6)階模態(tài)的振動，應采取措施預先調(diào)整構(gòu)件的工作轉(zhuǎn)速、固有頻率或激振頻率，保證在工作轉(zhuǎn)速時構(gòu)件有充分的裕度，避免共振現(xiàn)象的發(fā)生。

圖2 簡支-簡支邊界條件下高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼的Campbell圖Fig.2 A Campbell chart for a high-speed rotating thin short cylindrical shell with sealing teeth under simply supported-simply supported boundary condition

3.2 固支-固支邊界條件

在轉(zhuǎn)動坐標系和固支-固支邊界條件下，帶篦齒薄壁短圓柱殼構(gòu)件的Campbell圖如圖3所示。當轉(zhuǎn)速為0 r/min時，按照靜頻值從小到大的順序，前6階模態(tài)振型依次為(1,4)、(1,5)、(1,3)、(1,6)、(1,2)和(1,7)，均表現(xiàn)為周向模態(tài)的振動。在3×104r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)和K=1～6倍頻激勵作用下，與前六階模態(tài)存在多個共振轉(zhuǎn)速點，但在實際升速或降速等過程中短時間通過時不會建立起共振工況。當工作轉(zhuǎn)速為2.5×104r/min時，行波頻率線與激振頻率線K=1和K=3～6的交點均遠離工作轉(zhuǎn)速2.5×104r/min，但是在工作轉(zhuǎn)速附近容易發(fā)生共振的共振點有4個，即在K=2倍激振力作用下，與(1,2)階和(1,6)階模態(tài)形成共振，共振點頻率分別為4 910 Hz、5 002 Hz、5 341 Hz和5 506 Hz，共振轉(zhuǎn)速分別為23 450 r/min、23 880 r/min、25 500 r/min和26 290 r/min，與工作轉(zhuǎn)速的共振裕度分別為6.2%、4.48%、2%和5.16%，在其它交點處的共振裕度均大于10%，即殼體構(gòu)件在共振轉(zhuǎn)速下運行時容易引起(1,2)階和(1,6)階模態(tài)的振動，共振裕度值越小越容易引起共振，即最容易引起共振裕度為2%的(1,6)階模態(tài)的振動。

3.3 固支-簡支邊界條件

在轉(zhuǎn)動坐標系和固支-簡支邊界條件下，帶篦齒薄壁短圓柱殼構(gòu)件的Campbell圖如圖4所示。

由圖4可知，當轉(zhuǎn)速為0 r/min時，按照靜頻值從小到大的順序，前六階模態(tài)振型依次為(1,4)、(1,3)、(1,5)、(1,6)、(1,2)和(2,5)，以周向模態(tài)的振動為主。在3×104r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)和K=1～6倍頻激勵作用下，與前六階模態(tài)存在多個共振轉(zhuǎn)速點，但在實際升速或降速等過程中短時間通過時不會建立起共振工況。當工作轉(zhuǎn)速為2.5×104r/min時，行波頻率線與激振頻率線K=1和K=3～6的交點均遠離工作轉(zhuǎn)速2.5×104r/min，但是在工作轉(zhuǎn)速附近容易發(fā)生共振的共振點有3個，即在K=2倍激振力作用下，與(1,2)階和(1,6)階模態(tài)發(fā)生共振，共振點頻率分別為5 126 Hz、5 181 Hz和4 831 Hz，共振轉(zhuǎn)速分別為24 650 r/min、24 740 r/min和23 070 r/min，與工作轉(zhuǎn)速的共振裕度分別為1.4%、1.04%和7.72%，即殼體構(gòu)件在共振轉(zhuǎn)速下運行時容易引起(1,2)階和(1,6)階模態(tài)的振動，共振裕度值越小越容易引起共振，最容易引起共振裕度為1.04%的(1,2)階模態(tài)的振動，而在其它交點處的共振裕度均大于10%。

圖3 固支-固支邊界條件下高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼的Campbell圖Fig.3 A Campbell chart for a high-speed rotating thin short cylindrical shell with sealing teeth under clamped-clamped boundary condition

圖4 固支-簡支邊界條件高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼的Campbell圖Fig.4 A Campbell chart for a high-speed rotating thin short cylindrical shell with sealing teeth under clamped-simply supported boundary condition

3.4 固支-自由邊界條件

在轉(zhuǎn)動坐標系和固支-自由邊界條件下，帶篦齒薄壁短圓柱殼構(gòu)件的Campbell圖如圖5所示，當轉(zhuǎn)速為0 r/min時，按照靜頻值從小到大的順序，前六階模態(tài)振型依次為(1,3)、(1,4)、(1,2)、(1,5)、(1,1)和(1,6)，表現(xiàn)為周向模態(tài)的振動。在3×104r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)和K=1～6倍頻激勵作用下，與前六階模態(tài)存在多個共振轉(zhuǎn)速點，在實際構(gòu)件升速或降速等過程中短時間通過時不會建立起共振工況。當工作轉(zhuǎn)速為2.5×104 r/min時，行波頻率線與激振頻率線K=2～6的交點均遠離工作轉(zhuǎn)速，但是在工作轉(zhuǎn)速附近容易發(fā)生共振的共振點有2個，即在K=1倍激振力作用下，與(1,2)階和(1,4)階模態(tài)發(fā)生共振，共振點頻率分別為2 432 Hz和2 547 Hz，共振轉(zhuǎn)速分別為23 220 r/min和24 320 r/min，與工作轉(zhuǎn)速的共振裕度分別為7.12%和2.72%，即殼體構(gòu)件在共振轉(zhuǎn)速下運行時容易引起(1,2)階和(1,4)階模態(tài)的振動，共振裕度值越小越容易引起共振現(xiàn)象，即最容易引起共振裕度為2.72% 的(1,4)階模態(tài)的振動，而在其它交點處的共振裕度均大于10%。

圖5 固支-自由邊界條件高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼的Campbell圖Fig.5 A Campbell chart for a high-speed rotating thin short cylindrical shell with sealing teeth under clamped-free boundary condition

3.5 簡支-自由邊界條件

在轉(zhuǎn)動坐標系和固支-自由邊界條件下，帶篦齒薄壁短圓柱殼構(gòu)件的Campbell圖如圖6所示。當轉(zhuǎn)速為0 r/min時，按照靜頻值從小到大的順序，前六階模態(tài)振型依次為(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,3)、(2,6)和(1,2)，以周向模態(tài)的振動為主。在3×104r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)和K=1～6倍頻激勵作用下，與前六階模態(tài)存在多個共振轉(zhuǎn)速點，在實際構(gòu)件升速或降速等過程中短時間通過時不會建立起共振工況。當工作轉(zhuǎn)速為2.5×104r/min時，行波頻率線與激振頻率線K=1和K=3～6的交點均遠離工作轉(zhuǎn)速，但是在工作轉(zhuǎn)速附近容易發(fā)生共振的共振點有2個，即在K=2倍激振力作用下，與(2,6)階模態(tài)發(fā)生共振，共振點頻率分別為5 108 Hz和5 457 Hz，共振轉(zhuǎn)速分別為24 390 r/min和26 060 r/min，與工作轉(zhuǎn)速的共振裕度分別為2.44%和4.24%，即構(gòu)件在共振轉(zhuǎn)速下運行時容易引起(2,6)階模態(tài)的振動，而在其它交點處的共振裕度均大于10%，不易引起共振現(xiàn)象。

圖6 簡支-自由邊界條件高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒薄壁短圓柱殼的Campbell圖Fig.6 A Campbell chart for a high-speed rotating thin short cylindrical shell with sealing teeth under simply supported -free boundary condition

4 結(jié) 論

本文基于Love薄殼理論和傳遞矩陣方法，在簡支-簡支、固支-固支、固支-簡支、固支-自由和簡支-自由五種邊界條件下，分析了高速旋轉(zhuǎn)帶篦齒鈦合金薄壁短圓柱殼構(gòu)件的行波共振特性，主要結(jié)論如下：

(1) 當構(gòu)件轉(zhuǎn)速為0 r/min時，前六階主要表現(xiàn)為周向模態(tài)的振動，在固支-自由邊界條件下第1階模態(tài)振動發(fā)生在(1,3)階，其它四種邊界條件下第1階模態(tài)振動發(fā)生在(1,4)階，邊界條件不同時前六階模態(tài)振型的分布規(guī)律也不同；在轉(zhuǎn)速為0～3×104r/min范圍內(nèi)，隨著構(gòu)件轉(zhuǎn)速的逐漸增加，由于科氏力作用引起了各階模態(tài)對應的行波頻率值出現(xiàn)分離現(xiàn)象，并且后行波頻率大于前行波頻率。

(2) 在3×104r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)和K=1～6倍頻激勵作用下，激振頻率線與前六階模態(tài)存在多個共振轉(zhuǎn)速點，在實際升速或降速過程中短時間通過時不會引起共振；在工作轉(zhuǎn)速附近出現(xiàn)了共振裕度小于10%的共振轉(zhuǎn)速點，邊界條件不同時行波頻率線與不同的激振頻率線相交，在固支-自由邊界條件下行波頻率線與激振頻率線K=1相交，而在其它四種邊界條件下行波頻率線與激振頻率線K=2相交。

(3) 在五種邊界條件下，在工作轉(zhuǎn)速附近共振裕度小于10%的共振轉(zhuǎn)速點數(shù)量和邊界條件有關，在簡支-簡支、固支-自由和簡支-自由三種邊界條件下均出現(xiàn)2個共振轉(zhuǎn)速點，而在固支-簡支邊界條件下有3個共振轉(zhuǎn)速點，在固支-固支邊界條件下有4個共振轉(zhuǎn)速點，并且共振裕度值越小越容易引起對應階次的共振現(xiàn)象，應采取措施調(diào)整構(gòu)件的工作轉(zhuǎn)速、固有頻率或激振頻率，保證在工作轉(zhuǎn)速時有充分的裕度，避免共振現(xiàn)象的發(fā)生。

參 考 文 獻

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