基于對(duì)稱壓縮MUSIC的相干源方位估計(jì)方法*

徐 姝，梁仕杰

（江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

0 引 言

在實(shí)際環(huán)境中，相干源的存在是DOA估計(jì)技術(shù)不可避免的問題。當(dāng)前，比較經(jīng)典的MUSIC、ESPRIT等空間譜算法，都是基于信源相互獨(dú)立的前提下提出的。當(dāng)存在相關(guān)或強(qiáng)相干信源時(shí)，對(duì)于相干源的DOA估計(jì)將會(huì)失效。為了能夠獲得相干源的方位信息實(shí)現(xiàn)解相干，學(xué)者們提出了許多解相干算法。其中，最常見的解相干方法包括最大似然法[1]、Toeplitz矩陣重構(gòu)法和空間平滑法[2-6]等。最大似然方法是一種能夠有效解相干的方法，原理是利用概率密度模型對(duì)相干源數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。但是，為了獲得較好的解相干性能，此種算法需要通過多維非線性搜索來獲得DOA估計(jì)。由此可見，此種算法計(jì)算量相當(dāng)大。Toeplitz矩陣重構(gòu)法也是當(dāng)前常用的一種解相干方法，優(yōu)點(diǎn)是不存在孔徑損失，但估計(jì)性能較差，針對(duì)孔徑為代價(jià)來實(shí)現(xiàn)解相干。鑒于以上問題，空間平滑類解相干算法得以大力發(fā)展，成為解相干類算法的一個(gè)重點(diǎn)研究方向。

不過，空間平滑類算法屬于降維算法，本質(zhì)是以犧牲陣列的有效孔徑為代價(jià)。為此，Pillai等對(duì)空間平滑類算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種雙向平滑類算法，即前后平滑法。前后平滑法是將整個(gè)陣列看作一個(gè)子陣進(jìn)行平滑，本質(zhì)上是不存在有效孔徑損失的，但將陣列看作一個(gè)子陣進(jìn)行前后平滑，最多只能分辨2個(gè)相干源信號(hào)。Kundo D[7]將前后平滑運(yùn)用到經(jīng)典的MUSIC算法上，雖然可以得到精度高的分辨能力，但是在對(duì)多個(gè)相關(guān)信源的分辨上，性能大幅下降。Zhang[8]等對(duì)傳統(tǒng)的MUSIC算法加以改進(jìn)，提出了一種特征子空間MUSIC算法（Eigen Space MUSIC，ES-MUSIC），即在原有的MUSIC算法基礎(chǔ)上充分利用信號(hào)子空間，大幅提高了抗噪性能，且相對(duì)于傳統(tǒng)MUSIC算法明顯提升了估計(jì)精度和分辨率，已被許多專家學(xué)者加以改進(jìn)并應(yīng)用[9-12]。上述算法由于數(shù)據(jù)協(xié)方差的處理和譜搜索的運(yùn)算量使得算法復(fù)雜度大幅提高，難以運(yùn)用到實(shí)際工程。為此，有必要提出一種既可以解相干又可以減少計(jì)算量的算法來實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。

本文針對(duì)傳統(tǒng)平滑技術(shù)以損失陣列有效孔徑為代價(jià)獲得解相干能力和空間譜搜索計(jì)算量大的缺點(diǎn)，提出一種新的平滑技術(shù)。此平滑技術(shù)充分利用互協(xié)方差矩陣來構(gòu)建一個(gè)新的協(xié)方差矩陣，然后獲得信號(hào)子空間、噪聲子空間，并引入對(duì)稱壓縮譜（MUSIC Symmetrical Compressed Spectrum，MSCS）思想[13]，利用導(dǎo)向矢量與噪聲子空間的雙重正交性等效添加鏡面輻射源，構(gòu)造對(duì)稱壓縮譜函數(shù)。實(shí)驗(yàn)證明，本文算法大大減少了空間譜搜索計(jì)算量，且在一定程度上提高了算法的抗噪性能和分辨率。

1 MUSIC算法

假設(shè)有M元均勻線陣，陣元間距為d，在遠(yuǎn)場波導(dǎo)條件下有k個(gè)窄帶信號(hào)源以平面波入射，入射角度為 θ，θ={θ1,θ2,…θK}，則其陣列接收信號(hào)的模型可以表示為：

式中X(t)為M×1數(shù)據(jù)矢量，N(t)為M×1階加性高斯白噪聲，S(t)為信號(hào)矢量，即：

A(θ)為陣列流行矩陣，即：

式中，a(θi)稱為信號(hào)的導(dǎo)向矢量：

假設(shè)在每個(gè)陣元的噪聲是零均值的高斯白噪聲，且相互獨(dú)立時(shí)矢量陣接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為R，則R可由式（5）求得：

其中：

理想條件下，信號(hào)子空間與噪聲子空間相互正交。所以，信號(hào)的陣列流型與噪聲子空間也相互正交，即：

然而，在實(shí)際環(huán)境下，由于快拍數(shù)、信噪比等條件限制，使得導(dǎo)向矢量不可能與噪聲子空間絕對(duì)正交。Schmidt利用這個(gè)特性構(gòu)造了經(jīng)典MUSIC算法空間譜：

再對(duì)式（8）進(jìn)行譜搜索，其譜峰位置點(diǎn)處即為其波達(dá)角。

2 本文算法

2.1 互協(xié)方差矩陣的平滑算法

平滑技術(shù)是解相干的一種常見技術(shù)，本文在傳統(tǒng)的前后平滑的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)提出一種最大限度利用數(shù)據(jù)互協(xié)方差矩陣來構(gòu)建新的協(xié)方差矩陣的方法，從而使得算法的抗噪聲性能，以及分辨率得以提升。此方法不需要犧牲陣列有效孔徑便可以獲得較好的解相干能力。

假設(shè)對(duì)式（1）進(jìn)行如下變形：

其中X*(t)表示為X(t)的復(fù)共軛；J為M×M維置換矩陣，其副對(duì)角線上元素均為1，其余各元素均為0，即：

很明顯，J*J=I，I為單位矩陣，進(jìn)而可以求得Y(t)的協(xié)方差矩陣：

以此類推，可以求得Y(t)和X(t)的協(xié)方差矩陣為：

最后，令：

則可求得需要的協(xié)方差矩陣為：

理論上，若只考慮X(t)、Y(t)信號(hào)自協(xié)方差矩陣，會(huì)使那些無用的信號(hào)累加，增加了估計(jì)誤差，降低了算法的估計(jì)性能。用到的互協(xié)方差矩陣?yán)昧藘蓚€(gè)不同的信號(hào)之間的相乘，則這2個(gè)信號(hào)減去均值的信號(hào)存在共性部分和非共性部分。共性部分相乘時(shí)取相同的符號(hào)，使該部分得到了加強(qiáng)而保留下來；非共性部分則是隨機(jī)的，它們的乘積有時(shí)取正有時(shí)取負(fù)，利用數(shù)學(xué)期望進(jìn)行平均運(yùn)算后趨于相互抵消。也就是說，可以利用互協(xié)方差矩陣提取2個(gè)信號(hào)的共性部分，并且抑制掉非共性部分，然后再與X(t)、Y(t)信號(hào)的自協(xié)方差矩陣求平均，得到更具有平均意義的R～。所以，該算法的抗噪聲性能和分辨率得以提升?；谶@個(gè)優(yōu)點(diǎn)，可以將該方法與對(duì)稱壓縮譜相結(jié)合。

2.2 MSCS算法

假設(shè)空間存在一信源P，其到均勻線陣的信號(hào)為窄帶遠(yuǎn)場信號(hào)，設(shè)其到達(dá)角度為θ1。根據(jù)歐拉公式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)導(dǎo)向矢量a(θ1)取共軛，可得：

根據(jù)Schmidt所提的正交性原則，可得：

對(duì)式（18）的左右兩邊進(jìn)行共軛處理，可以得到：

對(duì)式（19）左右兩邊同時(shí)取共軛，可得：

由此可知，信源P的y軸對(duì)稱區(qū)間存在一鏡面信源P'，且兩者入射角度互為相反數(shù)。所以，兩者所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量呈復(fù)共軛關(guān)系。若前者的導(dǎo)向矢量與UN相互正交，則后者的導(dǎo)向矢量與U*N相互正交。根據(jù)此特性，可以將MUSIC算法空間譜進(jìn)行對(duì)稱壓縮，從而構(gòu)建新的空間譜函數(shù)：

對(duì)式（21）在[-90° 0°]或者[0° 90°]進(jìn)行譜搜索，得到譜峰位置后，再將譜峰對(duì)應(yīng)的方位角度代入||aH(θ)UN|| ≈ 0判別是否成立。如果成立，便得到真實(shí)信源；反之，即為鏡面信源。

2.3 本文算法流程

（1）利用互協(xié)方差矩陣構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣式（16）；

（2）對(duì)式（16）求得的協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解，得到 R～=USΛSUSH+UNΛNUNH，求得噪聲子空間；

（3）根據(jù)對(duì)稱壓縮譜原理構(gòu)造空間譜函數(shù)：

（4）在[-90° 0°]或者[0° 90°]進(jìn)行譜峰搜索得到方位信息；

（5）帶入 ||aH(θ)UN|| ≈ 0進(jìn)行判別，成立得到真實(shí)信源，反之即為鏡面信源。對(duì)鏡面信源取反，即可得到全部的波達(dá)角。

3 仿真

3.1 算法性能對(duì)比

將本文算法與MSCS算法進(jìn)行對(duì)比，設(shè)3個(gè)信源的入射角度分別為-10°、30°、60°，其中-10°與30°為相干信源，入射到陣元數(shù)為18陣元間距λ/2的均勻線陣，信噪比為-5 dB，快拍數(shù)為100，搜索步長為1°,搜索范圍為[-90°90°]，仿真圖如圖1所示。由圖1可以看出，原本的MSCS算法解相干源時(shí)已經(jīng)失效，而本文算法在-10°對(duì)應(yīng)的正半軸10°,在30°、60°所對(duì)應(yīng)的負(fù)半軸-30°、-60°也會(huì)形成等幅度的譜峰，說明本算法具有有效性。

圖1 本文算法與MSCS算法空間譜

將本文算法與空間前向平滑算法進(jìn)行對(duì)比，設(shè)3個(gè)信源的入射角度分別為-10°、30°、60°，其中-10°與30°為相干信源，入射到陣元數(shù)為18陣元間距λ/2的均勻線陣，子陣陣元數(shù)為17，子陣個(gè)數(shù)為2，信噪比為-5 dB，快拍數(shù)為100，搜索步長為1°,搜索范圍為[-90° 90°]，仿真實(shí)驗(yàn)圖如圖2所示。圖2中相比于前向平滑算法，本文算法旁瓣壓制得更低，譜峰更加尖銳，說明本文算法的抗噪聲性能更好。同時(shí)可以看出，在實(shí)際的相干源方位估計(jì)應(yīng)用時(shí)，本文算法只需要在[-90° 0°]或者[0° 90°]搜索即可得到完整的方位信息，大大降低了搜索量。

圖2 本文算法與前向平滑算法空間譜

設(shè)3個(gè)信源的入射角度分別為-10°、30°、60°，其中10°與30°為相干信源，入射到陣元數(shù)為18陣元間距λ/2的均勻線陣，子陣陣元數(shù)為17，子陣個(gè)數(shù)為2，信噪比為-5 dB，快拍數(shù)為100，搜索步長為1°，搜索范圍為[0° 90°]，仿真圖如圖3所示。將半譜范圍內(nèi)得到的10°、30°、60°方位信息帶入||aH(θ)UN|| ≈ 0進(jìn)行判別，30°、60°滿足判別公式為真實(shí)信源，10°不滿足判別公式為鏡面信源，取反操作得到10°。完成上述判別操作后，即可得到全部的波達(dá)角為10°、30°、60°。

圖3 本文算法在半譜內(nèi)搜索

3.2 兩種算法成功率對(duì)比

陣元數(shù)為18的均勻線陣，子陣陣元數(shù)為17，子陣個(gè)數(shù)為2，將入射角度設(shè)置為10°、30°、60°，其中10°與30°為相干信源，取信噪比從-10 dB，按照-2 dB的間隔增加至10 dB，快拍數(shù)取20、50、100，進(jìn)行100次獨(dú)立計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)。當(dāng)偏差在0.5°內(nèi)認(rèn)定算法成功，即成功率定義為成果次數(shù)與總實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比值，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 3種快拍下2種算法的成功率

由圖4可知，在信噪比一定時(shí)，2種算法的成功率隨著快拍數(shù)的增加而提高。整體來看，本文所提算法在相同信噪比和快拍數(shù)下，本文算法的成功率優(yōu)于前向平滑算法。

3.3 兩種算法標(biāo)準(zhǔn)差分析

陣元數(shù)為18的均勻線陣，子陣陣元數(shù)為17，子陣個(gè)數(shù)為2，將入射角度設(shè)置為10°、30°、60°，其中10°與30°為相干信源，取信噪比從-10 dB，按照-2 dB的間隔增加至10 dB，快拍數(shù)取20、50、100，進(jìn)行100次獨(dú)立計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)構(gòu)如圖5所示。由圖5可知，在信噪比一定時(shí)，2種算法的標(biāo)準(zhǔn)差隨著快拍數(shù)的增加而降低。從整體來看，本文所提算法在相同信噪比和快拍數(shù)下，本文算法的標(biāo)準(zhǔn)差優(yōu)于前向平滑算法。

圖5 3種快拍下2種算法的標(biāo)準(zhǔn)差

4 結(jié) 語

本文針對(duì)傳統(tǒng)的多重子空間分類算法不適用于相干源條件且譜搜索計(jì)算量大的問題，在傳統(tǒng)的前后平滑算法基礎(chǔ)上，最大限度利用數(shù)據(jù)互協(xié)方差矩陣來構(gòu)建新的協(xié)方差矩陣，提高了算法抗噪性能和分辨率。對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，利用對(duì)稱壓縮譜思想，構(gòu)造一種新的空間譜函數(shù)，即可在半譜范圍內(nèi)進(jìn)行譜搜索得到完整的方位信息，大大減少了空間譜搜索的計(jì)算量。因此，本文算法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

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