一種基于射影平面的高維等角緊框架*

朱 皓，唐川雁

（杭州電子科技大學 通信工程學院，浙江 杭州 310018）

0 引 言

在稀疏碼分多址技術（SCMA）中，發(fā)送端稀疏碼本的設計直接決定了可獲得的系統(tǒng)性能增益，同時也決定了接收機設計的復雜程度?？蚣苁且环N類似正交基的序列集合，但是其元素之間是線性相關的，具有一定的冗余性。相比正交基對于元素表示的唯一性，框架的使用更為靈活。近年來，隨著框架理論的研究與發(fā)展，它在量子信息理論、壓縮感知和代數編碼理論等領域得到了廣泛應用[1-4]?？蚣芾碚撝?，等角緊框架（Equiangular Tight Frame，ETF）是一種具有良好相關特性的框架，每個框架元素都有很低的峰均功率比（Peakto-Average Ration，PAR），使框架元素間的互相關度達到了最小，十分適用于SCMA。但是，現有的ETF構造方法十分有限[5]，無法得到滿足SCMA要求的高維碼本。因此，本文闡述等角緊框架的基本概念，介紹了射影和仿射平面的相關知識，提出了一種基于仿射平面的高維等角緊框架構造方法，并用此方法構造了一個19維空間中包含76個向量的復數等角緊框架，解決了實數框架無法實現的難題。

1 框架及等角緊框架

對于 Hilbert空間的一組序列 {φj}j∈J，如果存在常數A和B滿足0＜A,B＜∞，使對于所有f∈H，滿足不等式：

則稱{φj}j∈J為空間H的一個框架，A和B為其上下界。設F是實數或者虛數域，H是F中d維實數或者復數希爾伯特內積空間，{φj}j∈J是H中任意非零單位范數框架，它的合成算子Φ為Fn→Hd，n≥d。若存在a＞0滿足ΦΦ*=aI，則該框架為緊框架。若對于框架中所有向量有||φi||2=r，r＞0，說明這是單位范數框架。若單位范數框架中任意向量間存在|〈φi,φj〉|=w，i≠j，則該框架為等角框架。如果{φj}j∈J即是等角框架又是緊框架，那么該框架為等角緊框架。

{φj}j∈J的最大互相關度可定義為：

當{φj}j∈J為等角緊框架時，框架的最大互相關度滿足Welch界[6]，即式（2）中等號成立。

2 有限射影和仿射平面

在平衡不完全區(qū)組（BIBD）中，有限集V由v個處理組成。B是V的子集，它由b個區(qū)組組成，存在正整數λ、k、r滿足：

（1）每個區(qū)組都包含k個處理；

（2）每個處理恰好存在于r個區(qū)組中；

（3）任意一對處理恰好存在于λ個區(qū)組中。

當滿足：

其中，大小為b×v的矩陣X是一個BIBD關聯矩陣。這里1表示全1向量，J表示全1矩陣。根據v、k、λ，可以得到r、b：

這種關聯結構通常被稱為2-(v,k,λ)，表示為BIBD(v,k,λ)。

當BIBD中λ=1時，可以得到斯坦納等角緊框架，這也意味著兩個不同的處理決定一個唯一的區(qū)組。實際上，這種BIBD典型例子是有限仿射和射影平面，即BIBD(q2,q,1)和BIBD(q2+q+1,q+1,1)，q≥2。當q=2時，可以分別得到以下關聯矩陣X：

定義1[7]：假設X為BIBD(v,k,1)的一個b×v關聯矩陣。對于任意j=1,…,v對應的嵌入（embedding）是Ej:Fr→Fb，即Fr的標準基映射為Fb中r維子空間的標準基。

對于任意BIBD(v,k,1)和幺模單形{sl}r+1l=1，對應的斯坦納等角緊框架就是{Ejsl}vr+1j=1,l=1。這里，v(r+1)個向量組成一個等角緊框架[7-8]，它們的合成算子為：

Φ=[E1S…EvS] （6）

對于一個BIBD(q2,q,1)，如果假設r-k=1，那么任何處理若不存在一個區(qū)組中，那么一定恰好存在于一個不相交區(qū)組中。這意味著如果區(qū)組i和i'不相交，且i'和i''也不相交，那么i與i''相等或者不相交。當兩個區(qū)組不相交或者相等時，這兩個區(qū)組平行，因此平行性是仿射平面上區(qū)組的一個等價關系。這說明任意仿射平面是可解析的，即它的區(qū)組集合B可以表示成不相交的子集集合{Br}r∈R。例如，式（5）中的二階仿射平面就是可解析的，第1、2行，第3、4行，第5、6行分別形成了B的一個子集。正因為仿射平面可解析，所以q階仿射平面均可擴展成q階的射影平面。

射影平面是對稱BIBD，即v=b。通常，BIBD(v,k,λ)是通過交換處理和區(qū)組的角色或者取其關聯矩陣的轉置X的轉置得到的關聯結構。通過式（4）可以推出，同時通過式（3）推出的列是標準正交的。當BIBD對稱時，這個矩陣是方陣且它的行也必定正交，這意味著XXT=(k-λ)I+λJ。因此，對稱BIBD(v,k,1)的對偶是另一種BIBD(v,k,1)。所以，任何射影平面的對偶也是另一種射影平面。

定理1：當q為素數冪時，一定存在q階仿射和射影平面正則構造。

證明：假設Fq是包含q個元素的域，使V=F2q，B為這個向量空間所有仿射線的集合，組成一個仿射平面，即：

其中(d,e)≠(0,0)，f為變量。處理和區(qū)組分別對應Fq3中一維和二維子空間。

使[x,y,z]表示所有非零標量集乘一個非零向量(x,y,z)∈Fq

3。為了形成射影平面，需使V成為所有[x,y,z]的集合，使B成為這種構造的集合：

映射(x,y)?[x,y,1]將正則仿射幾何嵌入到這個射影幾何中：對于任意(d,e)≠(0,0)的[d,e,f ]，式（8）是在此映射條件下對式（7）的映像。這里，將等同為域Fq3的加法群，α為循環(huán)乘法群的生成集合，且使 (x,y,z):=x+yα+zα2,x,y,z∈ Fq。因為每個[x,y,z]包含所有非零標量乘非零向量(x,y,z)，所以這是商群唯一的元素。

3 基于仿射平面構造高維等角緊框架

歸納總結文獻[8-9]中的斯坦納等角緊構造方法，可以得到新的復數等角緊框架構造方法。對于任意e≥1，d維復數希爾伯特空間中n個向量組成的等角緊框架滿足：

q階射影平面上的橢圓是q+2個處理的集合，此時不存在3個處理位于同一公共區(qū)組上，即不存在3個對應的向量線性相關。比如，式（5）中2階射影平面前4個處理（列）是一個橢圓，因為沒有區(qū)組（行）同時包含其中3個處理。橢圓將射影平面分解成其他幾個關聯結構。

引理1：如果一個q階射影平面包含一個橢圓，那它必定有如下相關矩陣：

X1,1是BIBD(q+2,2,1)的關聯矩陣，這里X1,1的列對應橢圓中的處理，q為偶數，且XT2,2是的關聯矩陣。

證明：假設一個BIBD(q+2,2,1)包含u個特殊處理，它們不能3個同時存在于一個區(qū)組中，關聯矩陣X的前u列對應這些特殊的處理。這種特殊的處理-區(qū)組（vertex-block）對的數量為：

同時，每個不同特殊處理的對決定了唯一的區(qū)組，所以：

當u=q+2時，式（13）中等式成立，即所有特殊的處理-區(qū)組對都在包含2個特殊處理的區(qū)組中，也就是說當射影平面包含一個橢圓時，存在處理和區(qū)組的枚舉。所以，X1,1是BIBD(q+2,2,1)的關聯矩陣。通過式（4）可以得到X1,1大小為(q2-1)。由于射影平面的對偶是另一個射影平面，所以XXT=qI+J，那么X,=qI+J，從而推出

2,2的關聯矩陣。

當q為素數的冪時，存在q階射影平面，而當射影平面包含橢圓時，q需要為偶數，那么q=2e，e≥1。對于q=2e階正則射影平面，它的正則橢圓為：

引理2：如果一個q階射影平面包含一個橢圓，那么它的對偶存在關聯矩陣：

其中Y1,1是(q+2,2,1)。將Y中最后q+2行中任意一行和最后q+1列移除，就會產生一個q階仿射平面，它存在關聯矩陣：是BIBD

其中是BIBD(q+1,2,1)的關聯矩陣。

證明：取引理1中給出分解出的轉置式，交換其行和列可以得到式（15）。將Y中單個區(qū)組（行）與它包含的q+1個處理（列）移除，可以得到一個q階仿射平面。選出最后q+2個區(qū)組中的其中一個，移除Y2,2中一行和q+2個列，移除0中的一行，移除Y1,2中q+1個列并保留Y1,1不變，即可得到式（16）。因為Y2,2的列表示q+2行，Z2,2的列表示剩余的q+1行，所以ZT2,2表示BIBD(q+1,2,1)的關聯矩陣。

例如，式（5）中的2階射影平面包含橢圓，因為它形如式（11）。先將其轉置，然后排列行和列，能得到形如式（15）射影平面的7×7的關聯矩陣：個幺模元素，所以||Ejsl||2=||sl||2=q+1。

因為每個Ej都是一個等距且{sl}lq+2是幺模單形，所以|〈Ejsl,Ejsl'〉|=|〈sl,sl'〉|=1，l≠l'；同理，|〈Ejcl,Ejcl'〉|=|〈cl,cl'〉|=1，l≠l'。而當j≠n'時，會出現不同內積：

第二個矩陣是一個形如式（16）仿射平面的關聯矩陣。這是第一個矩陣移除第4行和第2、3、4列得到的。

定理2：對于一個含有橢圓的q階射影平面，假設是由形如式（16）的仿射平面中產生的嵌入，假設和分別為Fq+1的幺模單形和幺模協單形，則有：

在設計的BIBD中任意兩個不同區(qū)組正好有一個共同的處理，這意味著Ej中某一列正好是Ej'的某一列，這時Ej是Fr中兩個標準正交元素的外積，即，有：

同理，可以得到式（19）中另外兩個內積是。因為每個sl和cl的元素都為幺模數，所以這些內積都為單位模量，滿足等角緊框架的構造條件。

這是Fq(q+1)的q2+q-1維子空間中一個由q(q2+q-1)個向量組成的等角緊框架。

證明：當n=q(q2+q-1)，d=q2+q-1時，Welch界

4 實驗結果

根據定義1可知，每個Ej都是一個等距（isometry），即Ej=I。因為每個sl和cl都含q+1

圖1是一個19維空間中包含76個向量的復數等角緊框架，滿足式（10），即n=76，d=19。為了提高可讀性，用字母表的前10個字母分別表示5×6的幺模單形和5×4的幺模協單形的行。

圖1 一個復數等角緊框架

參照引理2，從4階射影平面上的橢圓中分解出一個仿射平面，然后利用這個仿射平面將6個單形和14個協單形插入到C20中去。前36個向量形成了文獻[9]中的C15斯坦納等角緊框架，后40個向量是實數。通過用加法群Fq3=F64=Z2(α)定義，從而構造了一個q=22=4的射影平面，其中α是Z2中多項式β6+β+1的根[10]。射影平面上的處理集合為V= =〈 αα〉//〈αα2211〉?ZZ2211，利用式（14）中的處理 {t+t2α+α2:t∈ F4}∪ {1}∪ {α}，取其對數基α得到橢圓{0,1,2,3,5,14}。這個橢圓提供了形如式（11）的21×21關聯矩陣。置換它的對偶，得到一個形如式（15）的矩陣。去掉該橢圓其中一行及其對應的列，就能得到形如式（16）的20×16仿射平面。最后，驗證可知該框架為等角緊框架。

5 結 語

在SCMA系統(tǒng)中，設計一個好的碼本可以在不增加功率和頻帶利用率的條件下降低系統(tǒng)誤碼率。等角緊框架元素間有最低的互相關度，非常適合組建系統(tǒng)的擴頻碼本。但是，如今構造高維等角緊框架十分困難。因此，本文提出了一種基于射影平面的等角緊框架構造方法，可以有效構造出高維等角緊框架，在實際SCMA擴頻碼本的組建中具有重要價值。

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