銣原子D1線真空壓縮光場(chǎng)的產(chǎn)生及態(tài)重構(gòu)?

李淑靜 張娜娜 閆紅梅 徐忠孝 王海

1)(山西大學(xué)光電研究所,量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

2)(山西大學(xué),極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

1 引 言

壓縮態(tài)光場(chǎng)是一類重要的連續(xù)變量非經(jīng)典光源,在精密測(cè)量[1?3]、量子信息處理[4,5]方面有廣泛的應(yīng)用.量子態(tài)存儲(chǔ)是量子中繼、遠(yuǎn)距離量子通信[6,7]的基礎(chǔ),而堿金屬原子由于具有長(zhǎng)的基態(tài)相干時(shí)間,是理想的量子態(tài)存儲(chǔ)介質(zhì)[8?12].隨著原子介質(zhì)中量子存儲(chǔ)技術(shù)的快速發(fā)展,產(chǎn)生與堿金屬原子共振的壓縮態(tài)光場(chǎng)成為近年來量子信息領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn).

產(chǎn)生壓縮態(tài)的方法主要有光學(xué)參量振蕩[13?17],原子系綜中的偏振自旋轉(zhuǎn)[18?21]以及四波混頻[22?24],其中光學(xué)參量振蕩是最成熟和有效的方法.近年來,對(duì)于堿金屬原子吸收波段壓縮態(tài)光場(chǎng)產(chǎn)生方面的研究進(jìn)展非?？?2006年,Tanimura等[25]在795 nm波段(銣原子D1線)產(chǎn)生了?2.75 dB的真空壓縮;2007年,Takeno等[16]在860 nm波段(接近于銫原子D2線852 nm)得到了?9 dB的真空壓縮;2007年,Hétet等[26]將795 nm波段的真空壓縮度提高到?5.2 dB;2009年,Burks等[17]在852 nm波段(銫原子D2線)50 kHz邊帶處獲得?3 dB的壓縮;2016年,Han等[15]將795 nm波段的真空壓縮度進(jìn)一步提高到?5.6 dB.在上述報(bào)道中,大多只關(guān)注光場(chǎng)的壓縮度,而沒有對(duì)其進(jìn)行態(tài)重構(gòu).所謂態(tài)重構(gòu)就是利用量子層析術(shù)對(duì)量子態(tài)特征進(jìn)行刻畫,從中得到密度矩陣和相空間的Wigner函數(shù),重現(xiàn)該量子態(tài)的全部信息.傳統(tǒng)的用逆Randon變換方法進(jìn)行量子層析[27?29],這種方法首先需要通過光場(chǎng)不同相位角下的噪聲分布計(jì)算出邊緣分布,然后才能得到相空間的Wigner準(zhǔn)概率分布函數(shù).近年來發(fā)展起來的極大似然估計(jì)法[30,31]在量子態(tài)層析過程中不僅可以繞開邊緣分布,而且預(yù)先對(duì)密度矩陣進(jìn)行了正定、厄米、歸一化的限制,重構(gòu)結(jié)果更符合物理實(shí)際.

本文采用周期極化磷酸氧鈦(periodically poled KTiOPO4,PPKTP)晶體作為非線性介質(zhì),通過光學(xué)參量振蕩過程產(chǎn)生了795 nm真空壓縮光場(chǎng).通過一束本振光構(gòu)成平衡零拍測(cè)量系統(tǒng)對(duì)產(chǎn)生的壓縮光場(chǎng)進(jìn)行探測(cè),在抽運(yùn)功率45 mW時(shí)獲得?3 dB的壓縮和5.8 dB的反壓縮.在示波器上對(duì)平衡零拍測(cè)量系統(tǒng)的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行采集,得到壓縮態(tài)光場(chǎng)不同相位角下的噪聲分布;然后利用極大似然估計(jì)法對(duì)壓縮態(tài)光場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu),得到了密度矩陣及光子數(shù)分布,通過密度矩陣計(jì)算了相空間的Wigner函數(shù).理論上我們計(jì)算了壓縮真空態(tài)的光子數(shù)分布和Wigner函數(shù),并對(duì)理論和實(shí)驗(yàn)重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行了分析和比較.

2 795 nm真空壓縮態(tài)的產(chǎn)生

795 nm真空壓縮態(tài)光場(chǎng)產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示.連續(xù)鈦寶石激光器(M Square Lasers,SolsTis)輸出的光波長(zhǎng)為795 nm,對(duì)應(yīng)于銣原子的吸收線.電光調(diào)制器對(duì)光場(chǎng)進(jìn)行相位調(diào)制,用于對(duì)倍頻腔和光學(xué)參量振蕩腔(optical parametric oscillator,OPO)進(jìn)行邊帶鎖定[32].鈦寶石激光器輸出的大部分光進(jìn)入倍頻腔,對(duì)795 nm的光進(jìn)行倍頻,產(chǎn)生397.5 nm的紫光,作為OPO的抽運(yùn)光.倍頻腔為四鏡環(huán)形腔,由兩個(gè)凹面鏡和兩個(gè)平面鏡組成,其中平面鏡PT1的透過率為10%@795 nm,作為倍頻腔的輸入鏡,其余腔鏡均對(duì)795 nm的紅外高反.兩個(gè)凹面鏡的曲率半徑均為100 mm,晶體處的腰斑半徑為20μm.選用一塊10 mm長(zhǎng)的I類PPKTP晶體用于倍頻產(chǎn)生,注入200 mW的795 nm紅外光可產(chǎn)生60 mW的397.5 nm紫光.OPO腔也是四鏡環(huán)形腔,包含兩個(gè)凹面鏡和兩個(gè)平面鏡.平面鏡PT2的透過率是10%@795 nm,用作OPO腔的輸出鏡,其余腔鏡均對(duì)795 nm的光高反.OPO腔往返腔長(zhǎng)480 mm,選用一塊10 mm長(zhǎng)的I類PPKTP晶體進(jìn)行參量下轉(zhuǎn)換.凹面鏡的曲率半徑是50 mm,晶體處的腰斑半徑是10μm,估算OPO腔的閾值約為160 mW.

從鈦寶石激光器輸出的一部分光通過單模光纖后作為OPO腔的探針光、鎖定光以及平衡零拍探測(cè)(balanced homodyne detector,BHD)的本振光.探針光從高反平面鏡M1注入OPO腔,用來測(cè)量OPO腔的經(jīng)典參量增益,探針光從OPO腔輸出后進(jìn)入探測(cè)器PD1進(jìn)行探測(cè).鎖定光也從平面鏡M1注入OPO腔,鎖定光和探針光在腔內(nèi)反向傳播,鎖定光從OPO腔輸出后用探測(cè)器PD2探測(cè),從測(cè)量信號(hào)提取誤差信號(hào)對(duì)OPO腔鎖定.本振光經(jīng)過模清潔器后與OPO腔輸出光場(chǎng)在50/50分束器上干涉,干涉信號(hào)進(jìn)入一對(duì)光電探測(cè)器,構(gòu)成BHD系統(tǒng).

探測(cè)器的光電管選用Hamamatsu Photonics公司生產(chǎn)的S3883,量子效率為94%.兩個(gè)探測(cè)器的信號(hào)之差作為BHD的輸出,將產(chǎn)生的交流信號(hào)輸入頻譜分析儀對(duì)OPO輸出光場(chǎng)的噪聲進(jìn)行測(cè)量.在抽運(yùn)功率45 mW時(shí),掃描本振光相位,測(cè)量了產(chǎn)生壓縮光場(chǎng)的噪聲曲線(圖2曲線a),獲得?3 dB的壓縮和5.8 dB的反壓縮,圖2曲線b為散粒噪聲基準(zhǔn),測(cè)量頻率為2 MHz.

OPO輸出光場(chǎng)的噪聲方差可以表示為[25]

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖(Ti:sapphire,鈦寶石激光器;EOM,電光調(diào)制器;SHG,二次諧波產(chǎn)生;OPO,光學(xué)參量振蕩腔;MC,模清潔器;F,可翻轉(zhuǎn)反射鏡;HBS,50:50分束器;PD1,PD2,光電探測(cè)器;SMF,單模光纖;BHD,平衡零拍探測(cè))Fig.1.Experimental setup(Ti:sapphire,Ti:sapphire laser;EOM,electro-optic modulator;SHG,second harmonic generation;OPO,optical parametric oscillator;MC,mode-cleaner cavity;F, flipper mirror;HBS,50:50 beam splitter;PD1,PD2,photo detectors;SMF,single-mode fiber;BHD,balanced homodyne detector).

圖2 (a)掃描本振光相位時(shí),壓縮態(tài)光場(chǎng)的噪聲曲線;(b)散粒噪聲基準(zhǔn);譜儀的測(cè)量頻率2 MHz,分辨帶寬100 kHz,視頻帶寬30 HzFig.2.(a)Measured quantum noise levels of squeezed light when the local oscillator beam phase is scanned;(b)shotnoise level.The settings of the spectrum analyzer are zerospan mode at 2 MHz,resolution bandwidth of 100 kHz,and video bandwidth of 30 Hz.

式中,?為壓縮光和本振光之間的相對(duì)相位;β=η?2ζ為總的探測(cè)效率,η是BHD的量子效率,?是BHD系統(tǒng)中信號(hào)光和本振光的干涉對(duì)比度,ζ是光路傳輸效率,實(shí)驗(yàn)中η=0.94,?=0.97,ζ=0.99,因此β=0.876;υ=T/(T+L)是OPO腔的逃逸效率,其中T是輸出耦合鏡的透過率,L是內(nèi)腔損耗,實(shí)驗(yàn)中L=1.5%,υ=0.87;為歸一化的抽運(yùn)參數(shù),Ppump為抽運(yùn)功率,Pth為振蕩閾值,G為參量增益,實(shí)驗(yàn)中45 mW抽運(yùn)功率下,增益為4,對(duì)應(yīng)的抽運(yùn)參數(shù)κ=0.5;?=2πf/γ為失諧參數(shù),f是測(cè)量頻率,γ=c(T+L)/d是腔的衰減率,c是光速,d是往返腔長(zhǎng),實(shí)驗(yàn)中失諧參數(shù)?=0.2.利用(1)式,計(jì)算得到光場(chǎng)的壓縮度和反壓縮度分別為?4.34 dB和6.73 dB.壓縮度和反壓縮度的測(cè)量結(jié)果均小于理論計(jì)算值,原因主要是當(dāng)397.5 nm紫光抽運(yùn)OPO腔時(shí),由于“灰跡”效應(yīng)導(dǎo)致PPKTP晶體對(duì)紅外的吸收增加[33],使OPO內(nèi)腔損耗增加,逃逸效率降低.與文獻(xiàn)[15,26]相比,在本文實(shí)驗(yàn)中內(nèi)腔損耗(無抽運(yùn)光時(shí))偏大,主要因?yàn)镻PKTP晶體通光面鍍膜質(zhì)量不高,通過改善晶體鍍膜質(zhì)量,壓縮度可進(jìn)一步提高.

3 利用極大似然估計(jì)重構(gòu)量子態(tài)

極大似然估計(jì)是近年來發(fā)展起來的一種量子層析術(shù),首先對(duì)光場(chǎng)做大量的投影測(cè)量,得到各投影基下的概率分布;然后建立似然函數(shù),利用重復(fù)迭代計(jì)算出最可能的密度矩陣使測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)的概率最大.與傳統(tǒng)的逆拉登變換方法相比,極大似然估計(jì)可以更好地保持量子態(tài)的物理特性,而且在重構(gòu)過程中可以繞開正交分量的邊緣分布[30,31].我們利用極大似然估計(jì)重構(gòu)了壓縮態(tài)光場(chǎng)的密度矩陣,得到了光子數(shù)分布,并通過密度矩陣計(jì)算了相空間的Wigner函數(shù).實(shí)驗(yàn)中,將BHD輸出信號(hào)輸入數(shù)字存儲(chǔ)示波器,掃描本振光的相位,在時(shí)域上得到壓縮光場(chǎng)不同相位角下的噪聲分布.提取2 MHz頻率處的信號(hào)進(jìn)行處理,提取信號(hào)的原理圖如圖3所示.將平衡零拍信號(hào)與2 MHz射頻進(jìn)行混頻,通過低通濾波,將目標(biāo)信號(hào)搬移到低頻.然后利用低噪聲放大器對(duì)信號(hào)進(jìn)行放大,在示波器上進(jìn)行觀察.示波器上測(cè)量到的時(shí)域噪聲信號(hào)如圖4所示,兩條紅虛線之間的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的相位在0—π之間,利用這些數(shù)據(jù)重構(gòu)密度矩陣.

圖3 提取2 MHz處平衡零拍探測(cè)信號(hào)示意圖(Mixer,混頻器;LF,低通濾波器;Ampli fier,低噪聲放大器;Oscilloscope,數(shù)字存儲(chǔ)示波器)Fig.3.Schematic diagram of extracting the signals of balanced homodyne detector at 2 MHz.Mixer,frequency mixer;LF,low-pass filter;Ampli fier,low noise ampli fier;Oscilloscope,digital storage oscilloscope.

圖4 壓縮態(tài)噪聲的時(shí)域測(cè)量結(jié)果(兩條虛線中間數(shù)據(jù)的相位范圍為0—π)Fig.4.Noise of squeezed state measured in time domain(the phase range of the data between the two dashed lines is 0–π).

若量子態(tài)的密度矩陣為,在相位θ下對(duì)正交分量進(jìn)行測(cè)量,正交分量x值出現(xiàn)的概率為:是投影算符.由于測(cè)量得到的正交分量值是連續(xù)的,不能直接做迭代算法,而首先需要將其離散化.離散化后每一份內(nèi)最多只包含一個(gè)正交分量測(cè)量點(diǎn),這種情況下,數(shù)據(jù)集{(θi,xi)}的似然函數(shù)為:通過迭代算法對(duì)密度矩陣進(jìn)行計(jì)算,其中迭代函數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加似然函數(shù)值單調(diào)遞增,計(jì)算得到的密度矩陣就越接近于制備態(tài)的真實(shí)密度矩陣.重構(gòu)過程在光子數(shù)態(tài)基下進(jìn)行,在計(jì)算中不能包含所有的數(shù)態(tài),需要對(duì)數(shù)態(tài)基做截?cái)嗵幚?大于某個(gè)值的光子數(shù)態(tài)被排除在分析之外.在重構(gòu)過程中,只考慮光子數(shù)為0—10的態(tài).選擇單位矩陣作為初始密度矩陣,重復(fù)迭代1000次,得到密度矩陣:

密度矩陣的對(duì)角元為光子數(shù)概率,圖5給出了光子數(shù)概率的直方圖(左列黑色).理想情況下由下轉(zhuǎn)化過程產(chǎn)生的壓縮態(tài)光場(chǎng)為偶光子數(shù)態(tài),因?yàn)橄罗D(zhuǎn)換光子總是成對(duì)產(chǎn)生.但是本文的實(shí)驗(yàn)重構(gòu)結(jié)果中不僅有偶光子數(shù)態(tài),還包含了奇光子數(shù)態(tài),這主要來源于系統(tǒng)損耗和不完美的探測(cè)器量子效率.壓縮態(tài)產(chǎn)生系統(tǒng)中的損耗和不完美體現(xiàn)在壓縮度的測(cè)量結(jié)果上,就會(huì)使反壓縮度的絕對(duì)值大于壓縮度的絕對(duì)值,這與本文壓縮度的測(cè)量結(jié)果相符.

為了將利用極大似然估計(jì)得到的態(tài)重構(gòu)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,我們理論計(jì)算了真空壓縮態(tài)的光子數(shù)分布和Wigner函數(shù).單模真空壓縮態(tài)的Wely特征函數(shù)為

其中A和B為光場(chǎng)的正交分量方差.從Wely特征函數(shù)可以推導(dǎo)出光場(chǎng)的密度矩陣=進(jìn)而得到光場(chǎng)的光子數(shù)分布:

圖5 極大似然估計(jì)重構(gòu)(黑色直方圖)和理論計(jì)算(紅色直方圖)得到的真空壓縮態(tài)光子數(shù)分布(內(nèi)插圖是光子數(shù)分布的局部放大圖,ρnn取值范圍在0—0.2之間)Fig.5.Photon number distribution of the vacuum squeezed state obtained by maximum likelihood estimation(black histogram)and theoretical calculation(red histogram).The inset is the partial enlarged detail of photon number distribution,the value range of ρnnis 0–0.2.

Wigner函數(shù)是量子態(tài)在相空間的一種準(zhǔn)概率分布函數(shù).Wigner函數(shù)與密度矩陣之間的關(guān)系為

其中為Wigner算符,a+和a為光場(chǎng)的產(chǎn)生和湮滅算符,將極大似然重構(gòu)得到的密度矩陣代入(4)式,計(jì)算出對(duì)應(yīng)的Wigner函數(shù),如圖6(a1)所示,Wigner函數(shù)最大值為0.309.Wigner函數(shù)最大值決定于壓縮場(chǎng)的偶數(shù)態(tài)和奇數(shù)態(tài)光子概率:

式中Peven和Podd分別是偶數(shù)態(tài)和奇數(shù)態(tài)光子概率.極大似然重構(gòu)得到偶數(shù)態(tài)的概率為0.974,偶數(shù)態(tài)的概率為0.026,由關(guān)系式(5)可得Wmax=0.302,與Wigner函數(shù)最大值基本一致.圖6(a2)是極大似然重構(gòu)Wigner函數(shù)對(duì)應(yīng)的等高線圖,其中黑實(shí)線為峰值處的等高線,表示產(chǎn)生壓縮態(tài)的噪聲起伏范圍;黑虛線為真空態(tài)的噪聲起伏范圍.從圖6(a2)可以看到q分量噪聲被壓縮,其標(biāo)準(zhǔn)差約為真空態(tài)的64.4%,對(duì)應(yīng)?3.8 dB的壓縮;而p分量噪聲被放大,其標(biāo)準(zhǔn)差約為真空態(tài)的1.64倍,對(duì)應(yīng)4.3 dB的反壓縮.

理論上光場(chǎng)的Wigner函數(shù)和Wely特征函數(shù)的關(guān)系可用下式描述:

將單模真空壓縮場(chǎng)的Wely特征函數(shù)(2)代入(6)式得到Wigner函數(shù):

將A=0.5和B=3.8代入(7)式,得到理論重構(gòu)真空壓縮態(tài)的Wigner函數(shù),如圖6(b1)所示,Wigner函數(shù)最大值為0.231.極大似然重構(gòu)得到的Wigner函數(shù)最大值大于理論計(jì)算結(jié)果,起源于極大似然偶數(shù)光子態(tài)概率(0.974)大于理論計(jì)算值(0.863).圖6(b2)是理論計(jì)算Wigner函數(shù)對(duì)應(yīng)的等高線圖,黑實(shí)線為峰值處的等高線;理論計(jì)算得到噪聲范圍的短軸和長(zhǎng)軸均大于極大似然重構(gòu)結(jié)果.極大似然估計(jì)重構(gòu)得到的光子分布和Wigner函數(shù)與理論計(jì)算結(jié)果之間的差異,可能原因有以下三方面:1)正交分量的測(cè)量過程中,相位掃描不均勻;2)數(shù)據(jù)采集過程中低頻電子學(xué)噪聲沒有完全過濾掉;3)正交分量測(cè)量點(diǎn)數(shù)不夠多.

圖6 (a1),(a2)分別為從極大似然估計(jì)重構(gòu)得到的壓縮態(tài)Wigner函數(shù)和等高線圖;(b1),(b2)分別為從理論計(jì)算得到的壓縮態(tài)Wigner函數(shù)和等高線圖Fig.6.(a1)and(a2)are the Wigner function and the contour plot of the squeezed state obtained by maximum likelihood estimation,respectively;(b1)and(b2)are the Wigner function and the contour plot of the squeezed state obtained by theoretical calculation,respectively.

4 結(jié) 論

利用基于PPKTP晶體的OPO,產(chǎn)生了795 nm的真空壓縮光場(chǎng),波長(zhǎng)與銣原子D1躍遷線相對(duì)應(yīng).實(shí)驗(yàn)上觀察到?3 dB的壓縮,通過改善PPKTP晶體的通光面鍍膜,壓縮度可進(jìn)一步提高.利用極大似然估計(jì)法對(duì)壓縮態(tài)的密度矩陣進(jìn)行了重構(gòu),得到了壓縮態(tài)的光子數(shù)分布以及相空間的Wigner函數(shù).理論上計(jì)算了真空壓縮態(tài)的光子數(shù)分布和Wigner函數(shù),并將理論計(jì)算結(jié)果和極大似然重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行了分析和比較.下一步將降低OPO腔內(nèi)損耗,提高壓縮態(tài)純度,在此基礎(chǔ)上開展貓態(tài)產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)研究.

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