高中生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)與態(tài)度

林玉慈，史寧中

(東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

一、引 言

在我國(guó)，由21世紀(jì)初開始的課程與教學(xué)改革的重要標(biāo)志是，課程目標(biāo)由一維轉(zhuǎn)變?yōu)槿S，也就是，由傳統(tǒng)的“知識(shí)技能”的一維目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸R(shí)技能”“過程方法”“情感態(tài)度價(jià)值觀”的三維目標(biāo)。后來，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》提出的“四基”以及新近頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，都是三維目標(biāo)的深化與發(fā)展。

課程目標(biāo)的變化，是要改變傳統(tǒng)的教育理念和教學(xué)方法。如果說，傳統(tǒng)的教育理念是“以知識(shí)為本”，教學(xué)方法更多的是依賴教師的述說、學(xué)生的記憶與訓(xùn)練，那么，提倡的教育理念就是“以人為本”，是為了學(xué)生的發(fā)展，教學(xué)方法更多的是依賴教師的啟發(fā)、學(xué)生的思考與理解。

但是，在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，“情感態(tài)度價(jià)值觀”的目標(biāo)一直形同虛設(shè)，似乎無法在教學(xué)中得到落實(shí)，特別是無法進(jìn)行相應(yīng)的考查。但這個(gè)目標(biāo)是非常重要的，是學(xué)生如何看待和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神方面的出發(fā)點(diǎn)，也是思維品質(zhì)的落腳點(diǎn)。之所以說是落腳點(diǎn)，因?yàn)檫@是三維目標(biāo)的一個(gè)目標(biāo)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要素(高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為：是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn))[1]4。之所以說是出發(fā)點(diǎn)，是因?yàn)椤耙匀藶楸尽苯逃砟畹钠瘘c(diǎn)就是要懂得學(xué)生，不僅要知道學(xué)生知識(shí)的起點(diǎn)是什么、懂得學(xué)生是如何理解教學(xué)內(nèi)容的，還要知道學(xué)生是如何看待知識(shí)的、懂得學(xué)生以什么樣的心態(tài)學(xué)習(xí)教學(xué)內(nèi)容。

無論是態(tài)度還是素養(yǎng)，在本質(zhì)上，都是一個(gè)人看問題和做事情的習(xí)慣，是這個(gè)人在思維的過程中或者在做事的過程中，親力親為、日積月累形成和發(fā)展起來的，因此，態(tài)度和素養(yǎng)的養(yǎng)成必須通過過程的教育[2]9-13，44。正因?yàn)槿绱耍诮虒W(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施的過程中，不應(yīng)當(dāng)抽象地看待“情感態(tài)度價(jià)值觀”的目標(biāo)，把目標(biāo)與具體的教學(xué)內(nèi)容脫節(jié)；而應(yīng)當(dāng)把這個(gè)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極地參與教學(xué)活動(dòng)中，獨(dú)立思考或與他人交流，在思考和交流的過程中讓學(xué)生掌握知識(shí)技能、感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)到目標(biāo)的要求。本文將嘗試，以高中函數(shù)概念的內(nèi)容為依托，展開對(duì)這個(gè)問題的研究。

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和變化規(guī)律最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。由于函數(shù)概念的抽象性與復(fù)雜性，不僅是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)、也是難點(diǎn)。正如克萊因提到的那樣：函數(shù)確實(shí)成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一[3]36-40。

關(guān)于函數(shù)的教學(xué)研究，大多數(shù)的文獻(xiàn)關(guān)注“知識(shí)內(nèi)容”與“過程方法”這兩個(gè)目標(biāo)，本文嘗試討論高中生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)與態(tài)度；在這個(gè)基礎(chǔ)上，討論如何從學(xué)習(xí)情感的角度去引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動(dòng)到主動(dòng)，幫助學(xué)生們形成良好的學(xué)科素養(yǎng)。學(xué)習(xí)情感是指：對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)所表現(xiàn)的一種比較熱烈、穩(wěn)重而深厚的情感狀態(tài)[4]18。學(xué)科素養(yǎng)可以描述為：后天形成的、與特定情境有關(guān)的、通過人的行為表現(xiàn)出來的知識(shí)、能力與態(tài)度[5]8-14。

有關(guān)高中生如何理解函數(shù)概念的研究已經(jīng)有很多文獻(xiàn)，比如，濮安山在用APOS 理論分析高中生函數(shù)概念的建構(gòu)過程中，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能夠完成操作活動(dòng)、并且能夠綜合描述出函數(shù)概念，達(dá)到操作階段和過程階段的要求，但只有很少的學(xué)生能達(dá)到對(duì)象階段和圖式階段的要求[6]48-50。曾國(guó)光通過對(duì)100名學(xué)生的測(cè)試，發(fā)現(xiàn)中學(xué)生的函數(shù)概念認(rèn)知可分為三個(gè)階段，測(cè)試結(jié)果表明達(dá)到高層次水平的學(xué)生數(shù)量極少，這也進(jìn)一步說明理解函數(shù)概念的難度[7]99-102。

我們的研究希望回答的問題是：為什么高中生不能深刻理解函數(shù)概念，高中生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和態(tài)度是什么。研究結(jié)果表明，高中學(xué)生不能深刻理解函數(shù)概念主要是因?yàn)椋号c初中函數(shù)比較，高中函數(shù)定義發(fā)生了本質(zhì)的變化，函數(shù)的作用也發(fā)生了根本的變化。原有教科書、包括教師課堂教學(xué)都沒有關(guān)注這樣的變化，最終導(dǎo)致高中學(xué)生不能很好地把握函數(shù)的本質(zhì)。這個(gè)現(xiàn)象似乎只涉及了知識(shí)和技能，但在事實(shí)上，不重視變化的課堂教學(xué)深刻地影響了高中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)和態(tài)度，最終導(dǎo)致大部分高中學(xué)生完全從應(yīng)試的角度認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)函數(shù)。本文的結(jié)尾部分，將比較詳細(xì)地分析上面的結(jié)論，并且對(duì)未來高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)、高中數(shù)學(xué)教材建設(shè)以及師范大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)提出了建議。

二、調(diào)查方法與調(diào)查對(duì)象

本研究采用定性分析和定量分析相結(jié)合方法，數(shù)據(jù)和信息的收集分為紙筆測(cè)試、學(xué)生訪談和教師訪談三種形式。

紙筆測(cè)試一共13個(gè)題目，都是讓學(xué)生自我陳述是如何理解函數(shù)的。前12個(gè)題目分別用解析式(5題)、圖像(5題)、表格(2題)的表達(dá)方式，請(qǐng)學(xué)生判斷題中給出的表達(dá)是否為函數(shù)，最后1個(gè)題目請(qǐng)學(xué)生說明y=f(x)中的符號(hào)f，x，y分別代表的含義是什么。紙筆測(cè)試是在班級(jí)自習(xí)時(shí)間進(jìn)行的，測(cè)試時(shí)間20分鐘。

學(xué)生訪談每名學(xué)生時(shí)間為20分鐘，教師訪談每名教師時(shí)間為40分鐘。訪談地點(diǎn)為年組辦公室，在征求受訪者同意后進(jìn)行了錄音。

選取長(zhǎng)春市和哈爾濱市各一所高中進(jìn)行調(diào)查，學(xué)生共計(jì)35人。其中長(zhǎng)春市高一學(xué)生5名，高二學(xué)生4名，高三學(xué)生3名，共計(jì)12名學(xué)生；哈爾濱市高一學(xué)生14名，高二學(xué)生6名，高三學(xué)生3名，共計(jì)23名學(xué)生?？傆?jì)，高一學(xué)生19名，高二學(xué)生10名，高三學(xué)生6名。

學(xué)生訪談12名，其中高一學(xué)生6人、高二學(xué)生3人，高三學(xué)生3人。訪談教師3名，其中高三年組1位有38年教齡的特級(jí)教師，高二年組1位有10年教齡的教師，高一年組1位教齡將滿1年的剛?cè)肼毥處煛?/p>

三、調(diào)查結(jié)果分析

紙筆測(cè)試。紙筆測(cè)試的目的是了解高中三個(gè)年級(jí)段的學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的掌握情況，三個(gè)年級(jí)的題目是一樣的，其中12個(gè)題目是常規(guī)性的判斷題，1個(gè)題目是讓學(xué)生述說函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f(x)中每一個(gè)符號(hào)的意義。12個(gè)判斷題回答正確率如下表所示。

表1 高中生紙筆測(cè)試的正確率

函數(shù)概念在初中數(shù)學(xué)中已經(jīng)有所滲透，用變量關(guān)系予以表述，側(cè)重解析式的表達(dá)方式；高中數(shù)學(xué)則開學(xué)起始，就把函數(shù)作為教學(xué)內(nèi)容的主線，用對(duì)應(yīng)關(guān)系予以表述，實(shí)現(xiàn)了更高層次的抽象。表1的數(shù)據(jù)顯示，高一的學(xué)生還不能在更抽象的層次、或者說、還不能更一般性地把握函數(shù)的概念，更多地是承接了初中學(xué)習(xí)的關(guān)于函數(shù)的知識(shí)；高二和高三的學(xué)生基本能夠一般性地把握函數(shù)的概念。

進(jìn)一步，12個(gè)題目全部回答正確的，高一學(xué)生19名中有3名，高二學(xué)生10名中有6名，高三學(xué)生6名中有3名，這也表明高二和高三的學(xué)生明顯優(yōu)于高一的學(xué)生。這樣的進(jìn)步，可能是逐漸領(lǐng)悟的結(jié)果，也可能是反復(fù)訓(xùn)練的結(jié)果?？梢酝ㄟ^對(duì)學(xué)生訪談的分析，了解其中更詳細(xì)的原因。

對(duì)于函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f(x)中符號(hào)的理解，高一學(xué)生的回答分為三種：x是自變量，f是對(duì)應(yīng)法則，y是x對(duì)應(yīng)法則作用后的值，占54.5%；x是原象，y是象，f是映射，占27.3%；x是橫坐標(biāo)，y是縱坐標(biāo)，f是對(duì)應(yīng)法則，占18.2%。高二和高三學(xué)生只有一種回答：x是自變量，f是對(duì)應(yīng)法則，y是x對(duì)應(yīng)法則作用后的值。這要表明，高二和高三的學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解更加清晰。

學(xué)生訪談。一共訪談了12名同學(xué)，其中高一學(xué)生6名、高二學(xué)生3名，高三學(xué)生3名。訪談提綱有16個(gè)問題，分為三個(gè)方面：對(duì)函數(shù)的理解；對(duì)函數(shù)的態(tài)度；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。訪談結(jié)果表明，學(xué)生對(duì)函數(shù)的態(tài)度與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度是一致的，因此下面分兩個(gè)方面歸納訪談結(jié)果。除此之外，還在任課教師的幫助下，組織學(xué)生進(jìn)行了利用函數(shù)建模的實(shí)踐課，觀察并記錄了學(xué)生建模過程。

對(duì)函數(shù)的理解。接受訪談的12名學(xué)生都能準(zhǔn)確地說出函數(shù)的定義，其中10名學(xué)生用變量關(guān)系述說函數(shù)的概念，其余2名用對(duì)應(yīng)關(guān)系述說函數(shù)概念。這個(gè)結(jié)果與紙筆測(cè)試的結(jié)果大體一致，因?yàn)榧埞P測(cè)試的結(jié)果顯示，幾乎所有的學(xué)生都能夠理解用解析式表達(dá)的函數(shù)。

但是，訪談結(jié)果表明，大多數(shù)的學(xué)生都不能很好地理解函數(shù)的本質(zhì)。對(duì)于“你認(rèn)為函數(shù)研究的問題是什么”和“你認(rèn)為學(xué)習(xí)函數(shù)的用處是什么”這類問題，有9名學(xué)生不能說明函數(shù)研究的問題是什么，進(jìn)而不能說明學(xué)習(xí)函數(shù)的意義。其中大部分學(xué)生、特別是高一的學(xué)生，認(rèn)為學(xué)習(xí)函數(shù)是為了計(jì)算，例如這樣的回答：“函數(shù)是研究有一定規(guī)則的計(jì)算方式”“函數(shù)為一種計(jì)算方式”“函數(shù)是一個(gè)變量能按照一個(gè)作用表示出另一個(gè)量的表達(dá)式”等等；還有些學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)函數(shù)就是為了研究圖形的性質(zhì)，例如這樣的回答：“函數(shù)研究的是單調(diào)性、奇偶性等圖像所具有的性質(zhì)”。

事實(shí)上，學(xué)生的回答暴露了教學(xué)中的問題、甚至暴露了教材編寫的問題，因?yàn)榇蟛糠謱W(xué)生不能理解高中為什么要用對(duì)應(yīng)的方法重新定義函數(shù)，例如對(duì)于“初中時(shí)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，高中又用對(duì)應(yīng)說重新定義了函數(shù)的概念，兩種定義有什么不同嗎？為什么需要重新定義呢？”這個(gè)問題，學(xué)生普遍認(rèn)為：“高中的概念比初中的概念更高級(jí)了”“在初中需要計(jì)算x為a值時(shí)的y值時(shí)，需要寫很多的字來敘述，在高中的時(shí)候只要寫f(a)就行了。”可是，當(dāng)追問“高中概念的高級(jí)是否只是因?yàn)榍笾当硎龅母奖恪睍r(shí)，學(xué)生予以否認(rèn)，但又不能說清楚高中概念的高級(jí)包括哪些內(nèi)容。甚至有極少部分學(xué)生認(rèn)為，學(xué)習(xí)函數(shù)就是為了考試，例如這樣的回答：“如果說學(xué)習(xí)函數(shù)有意義的話，那么，這個(gè)意義大概就是考試吧。”“學(xué)習(xí)函數(shù)是為了老師能夠判斷一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的好壞?！?/p>

由此可見，大多數(shù)高中生不清楚在高中階段用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)重新定義函數(shù)的必要性，也不清楚高中階段的數(shù)學(xué)為什么要如此重視函數(shù)。在大多數(shù)高中生的眼中，學(xué)習(xí)函數(shù)與學(xué)習(xí)其他東西一樣、僅僅是一個(gè)學(xué)習(xí)的對(duì)象，因此，學(xué)習(xí)函數(shù)就是為了做題，就是為了考試。這或許就是“應(yīng)試教育”在學(xué)生學(xué)習(xí)目的方面最明顯的體現(xiàn)。

對(duì)函數(shù)的態(tài)度。這個(gè)話題包括學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。通過訪談知道，所有學(xué)生都認(rèn)為學(xué)習(xí)函數(shù)很難，甚至認(rèn)為函數(shù)的難度是可以任意變化的，例如這樣的回答：“教材中的例題都是挺簡(jiǎn)單的，可是練習(xí)冊(cè)中的習(xí)題就變得有難度了。”

對(duì)于教材中關(guān)于函數(shù)發(fā)展史的介紹，只有不到50%的學(xué)生看過，所有看過函數(shù)發(fā)展史的學(xué)生都表示喜歡上數(shù)學(xué)課，數(shù)學(xué)成績(jī)都在班級(jí)的中上游；特別是，如果學(xué)生所在班級(jí)的數(shù)學(xué)教師，能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)史以及相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣會(huì)較高。一個(gè)不能忽視的事實(shí)是，不喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生遇到不明白的問題時(shí)，會(huì)等待教師講解，如果教師沒有講解自己也就不思考了。

值得注意的是，在接受訪談采訪的學(xué)生中有3名是“實(shí)驗(yàn)班”的學(xué)生，他們都表示平時(shí)喜歡上數(shù)學(xué)課，他們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)比較深刻，不但能夠從變量之間的依賴關(guān)系和實(shí)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系來理解函數(shù)，還能夠舉出不少生活中函數(shù)的例子。例如，在回答“你認(rèn)為函數(shù)是研究什么”的問題時(shí)說：“函數(shù)是用來表達(dá)變量間的關(guān)系的，這些變量就自己而言是單獨(dú)的，但他們都是有聯(lián)系的，我們學(xué)習(xí)的函數(shù)僅是兩個(gè)變量間的關(guān)系，并且這兩個(gè)變量的關(guān)系很簡(jiǎn)單，現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常出現(xiàn)的是很復(fù)雜的變量關(guān)系?！薄拔覀兤綍r(shí)幾乎沒有時(shí)間看關(guān)于數(shù)學(xué)史的課外書，但教材中關(guān)于函數(shù)發(fā)展史的部分我自己都看過，我們班的數(shù)學(xué)老師在平時(shí)上數(shù)學(xué)課時(shí)，都會(huì)從數(shù)學(xué)史的角度提及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，我對(duì)數(shù)學(xué)史還挺感興趣的?！薄皵?shù)學(xué)的研究對(duì)象是從生活中來的，雖然不能直接獲得，但經(jīng)過抽象就可以獲得了?！边@3名學(xué)生，都知道函數(shù)是刻畫運(yùn)動(dòng)與變化的數(shù)學(xué)模型，并且能夠在解答具體問題時(shí)靈活運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)。

由此可見，學(xué)生對(duì)函數(shù)的態(tài)度(包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度)決定了這個(gè)學(xué)生如何學(xué)習(xí)函數(shù)，決定了這個(gè)學(xué)生是否能夠真正理解函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)。不言而喻，一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的態(tài)度，在很大程度上源于這個(gè)學(xué)生義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)狀況，比如上面提到的3名同學(xué)。但是，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生，當(dāng)他們進(jìn)入高中學(xué)習(xí)以后，如果數(shù)學(xué)教師能夠關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)函數(shù)概念的態(tài)度和心理，能夠把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)、設(shè)計(jì)并且實(shí)施合適的教學(xué)過程，對(duì)幫助這些學(xué)生建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心是會(huì)有顯著效果的。在本文結(jié)論部分，將詳細(xì)討論這個(gè)問題。

利用函數(shù)建模。把參加訪談的學(xué)生按照年級(jí)分組，高一分2個(gè)組、高二和高三各1個(gè)組。在任課教師的幫助下，分小組開設(shè)利用函數(shù)建模的實(shí)踐課。每個(gè)小組的教學(xué)內(nèi)容是一樣的，都是討論剎車距離模型，具體任務(wù)是：找出影響剎車距離的制約因素、建立剎車距離的函數(shù)模型*參見《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》附錄2“教學(xué)與評(píng)價(jià)案例”的案例7。。

課堂記錄表明，所有小組的情況都類似，與年級(jí)無關(guān)。學(xué)生們表示從來也沒有接觸過這樣“沒有具體條件、也沒有具體結(jié)論”的問題，完全無法入手；在老師的提示下，經(jīng)過討論，都能夠確定影響剎車距離的兩個(gè)最為基本的因素：汽車剎車的制動(dòng)力和地面的摩擦力，可是仍然不能利用學(xué)過的函數(shù)知識(shí)、建立符合背景的數(shù)學(xué)模型；最后，經(jīng)過老師長(zhǎng)時(shí)間引導(dǎo)，才完成了數(shù)學(xué)建模的過程。但是，學(xué)生始終不知道如何建立假設(shè)、根據(jù)假設(shè)設(shè)立數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)，只有當(dāng)老師提供了實(shí)際的實(shí)驗(yàn)記錄數(shù)據(jù)時(shí)，學(xué)生才清楚應(yīng)當(dāng)如何假設(shè)和估計(jì)函數(shù)模型中的未知常數(shù)，最終完成了利用函數(shù)建模的實(shí)踐課。

值得注意和反思的是，在這樣的解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)過程中，盡管整個(gè)過程都不順利，但所有學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度都非常積極，都努力地回顧學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，思考如何建立函數(shù)知識(shí)與現(xiàn)在的現(xiàn)實(shí)背景的聯(lián)系。經(jīng)歷了這樣的實(shí)踐課的學(xué)習(xí)以后，幾乎所有的學(xué)生們都表示，以前在作函數(shù)應(yīng)用習(xí)題的時(shí)候，都認(rèn)為是為了鞏固函數(shù)知識(shí)而進(jìn)行的訓(xùn)練，而這一次才真正有了用函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)中實(shí)際問題的體驗(yàn)，甚至有的同學(xué)表示，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣和渴望。

由此可見，大部分高中生具有學(xué)習(xí)好函數(shù)、學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的潛質(zhì)，并且具有良好的情感態(tài)度價(jià)值觀方面的潛質(zhì)，因此在教學(xué)過程中，教師不能只關(guān)注知識(shí)技能的傳授，甚至實(shí)施知識(shí)靠記憶、技能靠訓(xùn)練的教學(xué)方法，而應(yīng)當(dāng)利用適當(dāng)?shù)臅r(shí)間、選擇適當(dāng)?shù)膬?nèi)容、實(shí)施適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)過程，引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生建立學(xué)好函數(shù)、學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。積極的學(xué)習(xí)態(tài)度是學(xué)生能夠認(rèn)真學(xué)習(xí)、獲取真正知識(shí)的基本動(dòng)力，這也是為什么說，情感態(tài)度價(jià)值觀不僅是教學(xué)的落腳點(diǎn)、也是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。

教師訪談。是圍繞如何進(jìn)行函數(shù)教學(xué)進(jìn)行的訪談。

關(guān)于函數(shù)概念的講授，新教師所采用的方法是，先回憶初中的“變量說”，對(duì)應(yīng)教材中三種函數(shù)表達(dá)形式的實(shí)例，讓學(xué)生說出其中的自變量和因變量，再從集合的角度分析自變量和函數(shù)值的取值范圍，最后引導(dǎo)出高中的“對(duì)應(yīng)說”。當(dāng)追問：初中函數(shù)已經(jīng)有了“變量說”的定義，高中函數(shù)為什么還要學(xué)習(xí)“對(duì)應(yīng)說”的定義呢？這位教師的解釋是：初中函數(shù)是“單一”的變量x和y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，高中函數(shù)是非空數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)繼續(xù)追問：“變量說”和“對(duì)應(yīng)說”有什么本質(zhì)的不同？這位教師的回答是：在教學(xué)中不太關(guān)注這些知識(shí)，更多的是關(guān)注學(xué)生們會(huì)不會(huì)做各種題目。

中年教師和老年特級(jí)教師采用的教學(xué)方法與新教師有所不同，他們都會(huì)先講映射、即先講一般意義的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后再說明函數(shù)是一類特殊的映射、引入函數(shù)的基于對(duì)應(yīng)關(guān)系的定義。但是，這樣的教學(xué)仍然沒有讓學(xué)生感知高中階段引入函數(shù)“對(duì)應(yīng)說”定義的必要性。他們回答說，從來也沒有學(xué)生提出過這個(gè)問題，在課堂中更關(guān)注的是講完概念之后，學(xué)生是否會(huì)求出函數(shù)的定義域和值域等具體的知識(shí)和技能。這兩位教師對(duì)“對(duì)應(yīng)說”的理解是一致的，因?yàn)椤白兞空f”不準(zhǔn)確，并且舉例說明，不能判斷“y=0”是否為函數(shù)。

由此可見，大多數(shù)高中教師不能很好地理解高中函數(shù)定義與初中函數(shù)定義差異的本質(zhì)，因此在教學(xué)活動(dòng)中，不能深入淺出地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)知識(shí)的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，幫助學(xué)生感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、總 結(jié)

從紙筆測(cè)試和訪談?dòng)涗浛梢钥吹?，高中學(xué)生普遍能夠較好把握與函數(shù)概念有關(guān)的知識(shí)技能，但是，這些學(xué)生對(duì)于函數(shù)本質(zhì)的理解以及應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題等方面還存在很大的問題。究其原因，主要因?yàn)樵诮虒W(xué)過程中，教師主要關(guān)注學(xué)生知識(shí)的記憶和技能的熟練，導(dǎo)致許多學(xué)生的學(xué)習(xí)是被動(dòng)的、而不是主動(dòng)的。事實(shí)上，一個(gè)學(xué)生要掌握真正的知識(shí)、獲得終身受益的能力，那么這個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)就必須是主動(dòng)的，需要這個(gè)學(xué)生的獨(dú)立思考和合作交流，在過程中日積月累，逐漸形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的素養(yǎng)。

主動(dòng)學(xué)習(xí)取決于這個(gè)學(xué)生對(duì)函數(shù)、對(duì)數(shù)學(xué)的情感態(tài)度價(jià)值觀，后者是三維目標(biāo)所要求的，也是未來實(shí)施《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所要求的。學(xué)生訪談結(jié)果非常充分地說明了這一點(diǎn)，那些對(duì)數(shù)學(xué)沒有興趣、對(duì)學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)缺乏信心的同學(xué)，在教學(xué)活動(dòng)中主要是聽教師講授，而不能積極思考；而那些對(duì)數(shù)學(xué)有興趣、學(xué)習(xí)成績(jī)較好的同學(xué)，在教學(xué)活動(dòng)中都能夠積極主動(dòng)地思考問題。因此，教師在教學(xué)的活動(dòng)中，必須關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度，如前所述，這不僅是教學(xué)的落腳點(diǎn)、也是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。

訪談結(jié)果表明，教師的積極引導(dǎo)對(duì)于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度是重要的，除了適當(dāng)?shù)刂v述數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化以外，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，是引發(fā)學(xué)生思考的有效方法。與思維能力的培養(yǎng)一樣，良好學(xué)習(xí)態(tài)度的形成依賴的也是學(xué)生自己的感悟，是在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的，不能單純依賴教師的講述。比如，利用函數(shù)建立剎車模型的實(shí)踐課就取得了很好的教學(xué)效果，這個(gè)很好的教學(xué)效果不僅表現(xiàn)于學(xué)生對(duì)于知識(shí)技能的掌握，更重要的是提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的信心。

對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師，能夠“創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題”的關(guān)鍵，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的把握，知道知識(shí)產(chǎn)生的必要性、是如何產(chǎn)生的、是如何發(fā)揮作用的?？上У氖牵^去高中數(shù)學(xué)教材的編寫，甚至師范大學(xué)的教學(xué)都沒有關(guān)注這些問題。國(guó)家現(xiàn)在高度關(guān)注中小學(xué)教師的培養(yǎng)和提高，因此，師范大學(xué)的學(xué)科教學(xué)不能只關(guān)心知識(shí)是什么，而必須牢記師范大學(xué)培養(yǎng)的學(xué)生是未來的人民教師，要關(guān)心這些學(xué)生未來將如何進(jìn)行教學(xué)，要關(guān)心這些學(xué)生在未來教學(xué)中是不是能夠?qū)嵤耙匀藶楸尽钡慕虒W(xué)理念，落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)。新修訂的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布是一個(gè)良好的契機(jī)，師范大學(xué)可以據(jù)此修訂教學(xué)方案，甚至修訂教學(xué)計(jì)劃。

下面，還是以函數(shù)概念的教學(xué)為例，探討在教學(xué)活動(dòng)中，如何把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，如何創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)高中生主動(dòng)思考。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念之所以難以理解，主要是與初中函數(shù)相比發(fā)生了兩個(gè)本質(zhì)的變化，這兩個(gè)變化不僅是知識(shí)技能的，也是思維方法的。

一個(gè)變化是函數(shù)的定義發(fā)生了變化。初中函數(shù)的定義是用變量關(guān)系的語言進(jìn)行表述的，高中函數(shù)的定義是用對(duì)應(yīng)關(guān)系的語言進(jìn)行表述的，因此，高中的定義比初中的定義更為抽象。之所以要進(jìn)行更高層次的抽象，是因?yàn)槌踔泻瘮?shù)的定義突出的是變量關(guān)系的表達(dá)式(包括圖像和表格)，這樣的定義無法研究不同表達(dá)形式的函數(shù)的本質(zhì)，比如無法判斷：f(x)=sin2x+cos2x與g(x)=1是否是同一個(gè)函數(shù)，即便這兩個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是一樣的；同時(shí)，并不是所有的函數(shù)都能夠?qū)懗鲲@示表達(dá)式，比如，有名的狄利克雷函數(shù)：自變量為有理數(shù)時(shí)函數(shù)值為1，自變量為無理數(shù)時(shí)函數(shù)值為0。因此，函數(shù)的本質(zhì)不是表達(dá)式，而是對(duì)應(yīng)關(guān)系。并且，通過對(duì)應(yīng)關(guān)系可以清晰地知道函數(shù)的定義域與值域，這對(duì)確定一個(gè)函數(shù)也是重要的。

可是，過去所有的高中教科書都沒有闡述函數(shù)定義進(jìn)一步抽象的必要性*基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》的新編教材都對(duì)這樣的問題予以了充分的重視。，導(dǎo)致幾乎所有的高中數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)過程中都沒有讓學(xué)生感悟?yàn)槭裁匆脤?duì)應(yīng)關(guān)系再一次定義函數(shù)。這樣的教學(xué)完全是知識(shí)的傳授，無法讓學(xué)生深刻地理解函數(shù)的本質(zhì)，更無法讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象的必要性和層次性，不利于學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)每一個(gè)新概念的引入、每一個(gè)新方法的提出，都有著深刻的現(xiàn)實(shí)背景或數(shù)學(xué)需要，這些背景和需要都能成為教師“創(chuàng)設(shè)合適教學(xué)情境、提出合適數(shù)學(xué)問題”的素材。

另一個(gè)變化是函數(shù)的作用發(fā)生了變化。在初中階段，函數(shù)的教學(xué)只是建立兩個(gè)變量的關(guān)系，沒有涉及到函數(shù)的定義域，因此函數(shù)的作用主要是為了解題：通過自變量求函數(shù)值，這樣，函數(shù)似乎就是一個(gè)算式或者方程，正如學(xué)生訪談中，大部分學(xué)生所理解的那樣。在高中階段，除了解題的功能以外，函數(shù)的教學(xué)開始討論函數(shù)的性質(zhì)，比如，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，討論這些性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是為了研究?jī)蓚€(gè)變量的變化規(guī)律，正因?yàn)檫@樣，函數(shù)才可能成為描述現(xiàn)實(shí)世界中那些規(guī)律性東西的有效的數(shù)學(xué)語言。

因此，過去幾乎所有的高中數(shù)學(xué)教科書都把函數(shù)的性質(zhì)作為知識(shí)傳授，導(dǎo)致幾乎所有的教師，在教學(xué)過程中都從計(jì)算方法的角度講授函數(shù)的性質(zhì)，而不是讓學(xué)生通過實(shí)例感悟?yàn)槭裁匆芯窟@些性質(zhì)，這樣的教學(xué)無法讓學(xué)生真正地掌握函數(shù)的知識(shí)，就如利用函數(shù)建模的實(shí)踐課那樣，遇到具體問題就無從下手。特別是，這樣的教學(xué)無法讓學(xué)生感悟?qū)W習(xí)函數(shù)的重要性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好函數(shù)的信心。最終，無法讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，而這些恰恰是情感態(tài)度價(jià)值觀的課程目標(biāo)所要求的，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。

[參 考 文 獻(xiàn)]

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