基于視覺(jué)檢測(cè)板球系統(tǒng)的RBF-PID控制研究

苑仁令，向鳳紅，毛劍琳，郭 寧

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500)

板球系統(tǒng)是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合和不確定性的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，主要用于學(xué)習(xí)和研究各種控制算法[1-2]。其控制目的是控制自由滾動(dòng)的小球運(yùn)動(dòng)到指定位置或按照給定軌跡運(yùn)動(dòng)。

本文以固高GBP2001型系統(tǒng)作為研究對(duì)象，PID控制具有算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，在板球系統(tǒng)控制中得到廣泛應(yīng)用。由于實(shí)際系統(tǒng)的耦合性、非線性和不確定性，以及PID參數(shù)整定方法復(fù)雜和需要精確的數(shù)學(xué)模型等，PID控制在實(shí)際系統(tǒng)控制中控制效果并不理想[3-4]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以其強(qiáng)大的非線性映射能力、并行處理能力和自學(xué)習(xí)能力，非常適用于非線性不確定系統(tǒng)控制[5-6]。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，徑向基函數(shù)(RBF-Radial Basis Function)神經(jīng)網(wǎng)整定PID參數(shù)的方法較其它神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制具有超調(diào)量小、適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，較傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制效果更優(yōu)[7-8]。但傳統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)固定、如何確定隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)和響應(yīng)數(shù)據(jù)中心、平衡好控制速度和精度兩方面的要求仍是RBF網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。此外，PID參數(shù)整定采用梯度下降法，使網(wǎng)絡(luò)在控制初期學(xué)習(xí)速度慢、適應(yīng)能力不強(qiáng)等缺點(diǎn)，針對(duì)上述問(wèn)題國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了很多改進(jìn)算法[9-14]。文獻(xiàn)[9]采用離子群算法優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不僅改善了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能也提高了PID控制器的性能；在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整和PID參數(shù)調(diào)整中文獻(xiàn)[10]引入動(dòng)量因子和增速率的概念，減輕了系統(tǒng)的震蕩也較傳統(tǒng)PID控制具有較好的魯棒性和較快的響應(yīng)速度；文獻(xiàn)[11]應(yīng)用LM(Levenberg-Marquardt)算法代替梯度下降法整定PID參數(shù)，使控制系統(tǒng)的快速性明顯提高；文獻(xiàn)[12]采用RLS算法和梯度法相融合的新型學(xué)習(xí)算法，克服了不確定性對(duì)控制系統(tǒng)的不利影響和PID控制需要精確數(shù)模型的問(wèn)題；文獻(xiàn)[13]采用動(dòng)態(tài)RBF (隱節(jié)點(diǎn)數(shù)目在學(xué)習(xí)中不斷改變的網(wǎng)絡(luò)通過(guò)資源分配網(wǎng)絡(luò)(RAN)用于函數(shù)擬合) 網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)控制并通過(guò)改進(jìn)M-RAN(Minimal RAN)算法[14]，該算法加快了對(duì)非線性系統(tǒng)的辨識(shí)速度解決了系統(tǒng)時(shí)滯問(wèn)題。

本文針對(duì)系統(tǒng)震蕩較嚴(yán)重的問(wèn)題。在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整過(guò)程中引入動(dòng)量因子減小系統(tǒng)控制過(guò)程中的震蕩作用。針對(duì)系統(tǒng)控制時(shí)間長(zhǎng)的問(wèn)題，采用LM算法代替梯度下降法在線整定PID參數(shù)，進(jìn)而將本文算法應(yīng)用到實(shí)物系統(tǒng)位置控制實(shí)驗(yàn)中。

1 板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

由于板球系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，難以獲得準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，因此在推導(dǎo)過(guò)程中進(jìn)行如下假定，以方便模型的簡(jiǎn)化和線性化。(1)忽略所有摩擦力；(2)不考慮板的角度和面積的限制；(3)任何情況下球、板都接觸；(4)球在板上沒(méi)有滑動(dòng)。

圖1 板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)圖1所示板球系統(tǒng)模型，通過(guò)動(dòng)力學(xué)分析，利用牛頓定律或拉格朗日方程，計(jì)算得到完整的非線性耦合的板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

(1)

(2)

式中，m表示小球質(zhì)量r表示小球半徑；x，y表示小球在球盤中的坐標(biāo)；α，β表示球盤x，y方向的傾角；Ib表示小球質(zhì)心轉(zhuǎn)到慣量；h為球盤距球盤回轉(zhuǎn)中心距離。

非線性方程式(1)和式(2)在采用線性控制理論設(shè)計(jì)控制器時(shí)很難得到應(yīng)用。因此，當(dāng)在板球的工作點(diǎn)附近時(shí)，可以將其線性化，得到板球系統(tǒng)的簡(jiǎn)化線性數(shù)學(xué)模型如式(3)和式(4)所示。

(3)

(4)

2 改進(jìn)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前饋式3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其模擬了人腦中局部調(diào)整、相互覆蓋接受域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，已證明它能以任意精度逼近任意非線性函數(shù)[15]。將其與PID控制器結(jié)合形成RBF-PID控制器，通過(guò)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線辨識(shí)得到Jacobian信息，通過(guò)整定算法在線整定PID控制器的參數(shù)。該控制器的結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 控制結(jié)構(gòu)框圖

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是包括一個(gè)輸入層、一個(gè)隱含層和一個(gè)輸出層的3層結(jié)構(gòu)。其中，輸入層與隱含層之間是非線性變換關(guān)系，隱含層與輸出層是線性關(guān)系。各層神經(jīng)元之間運(yùn)算關(guān)系如圖4所示。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算結(jié)構(gòu)

在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，X=[x1,x2,…xn]T 是網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過(guò)程中，cj、b、ω均采用梯度下降法。

網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)性能指標(biāo)函數(shù)為

E(k)=0.5(yout(k)-ymout(k))2

(5)

網(wǎng)絡(luò)各參數(shù)學(xué)習(xí)迭代如式(6)所示。

(6)

其中η是學(xué)習(xí)速率；ωj、bj、hj分別為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的輸出權(quán)值、基寬及高斯函數(shù)；ωji為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元對(duì)應(yīng)于輸入層第i個(gè)神經(jīng)元的中心矢量。

2.2 PID控制參數(shù)整定控制原理

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器采用增量式PID控制器，控制誤差為

e(k)=rin(k)-yout(k)

(7)

PID控制器的3個(gè)輸入為

(8)

控制算法為

u(k)=u(k-1)+Kpxc(1)+Kixc(2)+Kdxc(3)

(9)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定指標(biāo)函數(shù)如式(5)所示，PID的3個(gè)參數(shù)Kp、Ki和Kd采用梯度下降法調(diào)整如式(10)所示。

(10)

其中?yout(k)/?u(k)可以通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)得到，ΔKp、ΔKi和ΔKd為參數(shù)調(diào)整量，實(shí)現(xiàn)PID參數(shù)在線優(yōu)化調(diào)整。

2.3 改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制算法

針對(duì)傳統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器存在的系統(tǒng)響應(yīng)震蕩嚴(yán)重，響應(yīng)速度慢等問(wèn)題，本文對(duì)控制算法做以下兩方面改進(jìn)。

(1)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整引入動(dòng)量因子。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)隱含層節(jié)點(diǎn)中心矢量c基寬度參數(shù)b和輸出權(quán)值ω的調(diào)整均采用梯度下降法，此方法僅考慮了k時(shí)刻的參數(shù)變化，沒(méi)有考慮之前的參數(shù)積累，從而易引起學(xué)習(xí)過(guò)程的震蕩。引入動(dòng)量因子α[10]，具體算法如式(11)所示。

(11)

引入的動(dòng)量因子α使得網(wǎng)絡(luò)參數(shù)沿其梯度方向變化時(shí)有一定的慣性，具有一定的抑制震蕩作用。當(dāng)權(quán)值變化過(guò)快時(shí)，算法可以使修正量減小，從而使得修正的結(jié)果能夠沿著參數(shù)收斂的方向進(jìn)行，避免引入過(guò)大的超調(diào)。

動(dòng)量因子α的大小取決于參數(shù)修正過(guò)程中，前一次的修正量跟梯度下降法兩者參數(shù)變化影響所占的比例。當(dāng)誤差有增大趨勢(shì)時(shí)，應(yīng)加快動(dòng)量因素的調(diào)節(jié)作用。動(dòng)量因子的具體取值如式(12)所示

(12)

(2)PID參數(shù)整定采用LM算法。LM算法是基于高斯-牛頓法的一種改進(jìn)形式，即具有高斯牛頓法的局部特性又具有梯度下降法的全局特性。其收斂速度比梯度下降法快，而且算法穩(wěn)定[11]。

LM算法的實(shí)現(xiàn)如下

Δx=[JT(x)J(x)+μI]-1JT(x)e(x)

(13)

式中，μ>0 ;I為單位矩陣。x(k)表示參數(shù)第k次迭代時(shí)的向量，新的參數(shù)向量x(k+1)為

x(k+1)=x(k)+Δx

(14)

誤差參數(shù)指標(biāo)函數(shù)為

(15)

Jacobian 矩陣信息為

(16)

將上述算法應(yīng)用于PID控制器的參數(shù)整定過(guò)程中，PID參數(shù)向量K=[Kp，Ki，Kd]則有

(17)

PID參數(shù)向量的變化量為

(18)

3 板球系統(tǒng)位置控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文算法，以小球定位于球盤中心為控制目標(biāo)。初始PID參數(shù)為Kp=20，Ki=1和Kd=120在GBP2001型板球系統(tǒng)上分別完成PID控制、RBF-PID控制和本文控制算法的位置控制試驗(yàn)?？刂平Y(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 PID控制效果

圖5 RBF-PID控制效果

圖6 IRBF-PID控制效果

由圖4～圖6可以得出PID控制小球到達(dá)球盤中心的時(shí)間為14.4 s，小球穩(wěn)定在球盤中的坐標(biāo)為(2.9,3.0)誤差較大；RBF-PID控制時(shí)小球穩(wěn)定在球盤中心的時(shí)間為14.3 s，系統(tǒng)控制時(shí)間較長(zhǎng)，小球穩(wěn)定在球盤中的坐標(biāo)為(1.5,1.6)；IRBF-PID控制時(shí)小球穩(wěn)定在球盤中心的時(shí)間為11.3 s，小球穩(wěn)定在球盤中的坐標(biāo)為 (1.4,1.6)；本文改進(jìn)的算法較PID控制和RBF-PID控制使小球到達(dá)目標(biāo)位置的控制時(shí)間縮短了3 s，并且在約5 s時(shí)系統(tǒng)的震蕩過(guò)程也明顯減弱，控制精度也<2 mm，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡也更簡(jiǎn)潔。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)系統(tǒng)震蕩較嚴(yán)重的問(wèn)題，在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整中加入動(dòng)量因子，減小系統(tǒng)震蕩；針對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度慢的問(wèn)題，采用LM算法代替梯度下降法對(duì)PID參數(shù)在線調(diào)整，進(jìn)而完成在實(shí)物系統(tǒng)上的位置控制實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法與傳統(tǒng)PID控制和RBF-PID控制算法相比，本文算法控制時(shí)間更短；減了弱系統(tǒng)的震蕩；也提高了控制精度和魯棒性。

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