懸臂輸流單層碳納米管的顫振失穩(wěn)分析

李 明，方 康，鄭華升

(武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430065)

碳納米管(CNT)具有完美空心圓柱形幾何結(jié)構(gòu)，已成為納米尺度下流體儲(chǔ)藏與輸運(yùn)的重要載體，廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)藥領(lǐng)域(如抗腫瘤藥物的靶向輸送)以及納機(jī)電系統(tǒng)(NEMS)中[1-3]，與之相應(yīng)的輸流碳納米管動(dòng)力學(xué)特性也吸引了國(guó)內(nèi)外研究者的大量關(guān)注。在這些研究中，非局部連續(xù)介質(zhì)彈性理論作為一種分析手段亦已獲得較為廣泛的認(rèn)可。Wang等[4]應(yīng)用非局部歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁模型研究了輸流雙層碳納米管的固有頻率和屈曲失穩(wěn)特性，發(fā)現(xiàn)了小尺度參數(shù)對(duì)其振動(dòng)頻率的影響。Lee等[5]利用非局部彈性理論研究了固支載流單層碳納米管(SWCNT)的振動(dòng)問(wèn)題。此類(lèi)研究結(jié)果綜合表明，隨著小尺度的增加，碳納米管的振動(dòng)頻率會(huì)降低，在管內(nèi)流體高速及高階時(shí)更為明顯。

然而，已有的相關(guān)研究多半針對(duì)兩端具有支撐的輸流碳納米管動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)懸臂狀況下輸流碳納米管的振動(dòng)失穩(wěn)特性研究較少。不同于其它邊界情況，懸臂輸流管道系統(tǒng)是一個(gè)非保守系統(tǒng)[6]，這意味著管道、流體之間耦合系統(tǒng)的能量將隨時(shí)間而發(fā)生變化，管內(nèi)流速較小時(shí)，流體對(duì)管道所做的功為負(fù)，但隨著管道內(nèi)流體流速的增加，流體作用在管道上的功可能為正，由此管道將從流體中吸收能量，在流速達(dá)到臨界流速時(shí)會(huì)通過(guò)一個(gè)Hopf分岔發(fā)生顫振，造成系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)，大量針對(duì)非微尺度、納米尺度管道系統(tǒng)的研究已對(duì)這一特性做過(guò)多方面的探討[7-8]。此外，管道自身的黏彈性特性在輸流管振動(dòng)中也是一個(gè)需要考慮的重要因素[9]。本文以非局部彈性理論為基礎(chǔ)，采用歐拉-伯努利梁模型，考慮碳納米管的小尺度效應(yīng)以及碳納米管的黏彈性特性，著重研究懸臂輸流單層碳納米管的顫振失穩(wěn)問(wèn)題。

1 振動(dòng)控制方程與邊界條件

圖1所示為懸臂輸流單層碳納米管，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，外徑為D，橫截面積為A，彎曲剛度為EI，E為材料彈性模量，材料的黏彈性特性采用Kelvin-Voigt模型；每單位長(zhǎng)度上納米管的質(zhì)量和內(nèi)部流體的質(zhì)量分別為mc和mf；流體流速不變且為U。振動(dòng)中假定管道只發(fā)生橫向面內(nèi)振動(dòng)，且不考慮重力以及管道外部拉、壓力的影響。W(X,T)為納米管振動(dòng)的橫向位移，其中，X為沿納米管的軸向坐標(biāo)，T為時(shí)間。

圖1 懸臂輸流單層碳納米管

Fig.1Cantileverfluid-conveyingsingle-walledcarbonnanotube

輸流SWCNT系統(tǒng)的總動(dòng)能為

(1)

系統(tǒng)的應(yīng)變能為

(2)

式中：εXX及σXX分別為X方向的應(yīng)變及應(yīng)力。

在小變形情況下，Euler-Bernoulli梁應(yīng)變-位移關(guān)系為：

(3)

根據(jù)材料黏彈性本構(gòu)關(guān)系[10]及非局部彈性理論，SWCNT應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

(4)

式中：e0a是納米材料中引起結(jié)構(gòu)小尺度效應(yīng)的參數(shù)，E*為材料的黏彈性阻尼系數(shù)。

考慮到彎矩M與應(yīng)力σXX的關(guān)系式：M=?σXXZdA，應(yīng)用哈密頓原理：

(5)

可以得到輸流納米管的運(yùn)動(dòng)方程為：

(6)

對(duì)于懸臂輸流納米管，考慮邊界小尺度因素，其邊界條件為：

X=L：

(7)

2 振動(dòng)控制方程求解

微分變換法(DTM)是一種基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的半解析計(jì)算方法[11]，相較于Galerkin法、微分求積法(DQM)、有限元法(FEM)等，可以更精確而簡(jiǎn)單地對(duì)高階偏微分方程進(jìn)行求解，且隨著方程階數(shù)的增加，其求解過(guò)程并不會(huì)變得繁瑣，DTM法部分基本運(yùn)算法則如表1所示。

表1 微分變換法部分基本運(yùn)算法則

本文將DTM法推廣到納米級(jí)別輸流管系統(tǒng)的振動(dòng)穩(wěn)定性分析中，利用該法對(duì)上述高階偏微分方程在懸臂邊界條件下進(jìn)行求解。為便于后續(xù)的數(shù)值計(jì)算與分析，本文引入下列無(wú)量綱化的變量和參數(shù)：

(8)

以及無(wú)量綱懸臂邊界條件

x= 1：

(9)

(10)

基于DTM運(yùn)算法則，可得到方程(10)的微分變換形式

[1-μu2](k+4)!Φ(k+4)+u2(k+2)!Φ(k

(11)

其相應(yīng)的懸臂邊界條件的微分變換形式

Φ(0)=Φ(1)=0

(12)

[αk(k-1)(k-2)-

(13)

令Φ(2)=C1,Φ(3)=C2，進(jìn)而與式(12)一起代入式(11)，迭代求得Φ(k)，k=4,5,…,N,然后將Φ(k)，k=1,2,…,N代入式(13)，可得到以下方程：

(14)

其中aij是關(guān)于Ω0和其它系統(tǒng)參數(shù)的多項(xiàng)式，上式有平凡解的條件是其系數(shù)矩陣行列式為零，考慮Ω0=iΩ，即可獲得系統(tǒng)的無(wú)量綱復(fù)頻率Ω，其中Ω的實(shí)部Re(Ω)是系統(tǒng)的無(wú)量綱固有頻率，其虛部Im(Ω) 與阻尼有關(guān)。已有研究表明[10]，系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于Ω的虛部，如果Im(Ω)>0，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果Im(Ω) <0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。在Im(Ω)=0 時(shí)，對(duì)于懸臂納米管系統(tǒng)將存在兩類(lèi)失穩(wěn)類(lèi)型：1) 若實(shí)部Re(Ω)=0，則系統(tǒng)將因發(fā)散而出現(xiàn)靜態(tài)的屈曲失穩(wěn)；2) 若實(shí)部Re(Ω)≠0，則系統(tǒng)將出現(xiàn)顫振表現(xiàn)為動(dòng)態(tài)失穩(wěn)。

3 系統(tǒng)顫振失穩(wěn)分析

對(duì)于懸臂輸流納米管的顫振失穩(wěn)分析，本文采用的參數(shù)為[12]：輸流流體的密度ρf=1000kg/m3,碳納米管密度ρc=2300 kg/m3，外層半徑R0=3nm，壁厚td=0.1nm，彈性模量E=3.4 TPa，振動(dòng)中為不計(jì)剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[13]，長(zhǎng)徑比L/(2R0)=40，無(wú)量綱小尺度參數(shù)μ、無(wú)量綱黏彈性阻尼參數(shù)α以及無(wú)量綱質(zhì)量參數(shù)β的取值在具體算例中給予說(shuō)明。DTM的計(jì)算精度取決于截?cái)囗?xiàng)數(shù)N的取值，N的取值越大計(jì)算結(jié)果越接近精確解，本文取N=40，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)已能保證前四階模態(tài)的解足夠精確。

圖2、圖3顯示的是不同質(zhì)量參數(shù)β下懸臂輸流SWCNT前四階無(wú)量綱復(fù)頻率Ω的Argand圖，此時(shí)小尺度參數(shù)μ=0，黏彈性阻尼參數(shù)α=0，圖中各處所示數(shù)據(jù)為該處對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱流速值。由圖2、圖3可以看到，在不同質(zhì)量參數(shù)下，管內(nèi)流動(dòng)流體在各階模態(tài)中均會(huì)引起阻尼作用，且系統(tǒng)的各階頻率均隨流速增加而降低。比較前四階復(fù)頻率Ω的變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的第一階模態(tài)始終不會(huì)出現(xiàn)顫振失穩(wěn)。而當(dāng)質(zhì)量參數(shù)β較小時(shí)(β=0.2)，隨著流速的增加，系統(tǒng)的第二階模態(tài)在u=5.6時(shí)率先發(fā)生顫振失穩(wěn)，其失穩(wěn)時(shí)對(duì)應(yīng)的流速稱(chēng)為系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)臨界流速，記為ucr，即此時(shí)ucr=5.6,之后若繼續(xù)增加流速，系統(tǒng)的第四階模態(tài)亦會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)(未示于圖中)。然而，在質(zhì)量參數(shù)較大(β=0.5)的系統(tǒng)中，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)并不是在第二階模態(tài)率先發(fā)生，此時(shí)，懸臂輸流SWCNT系統(tǒng)的第三階模態(tài)在流速u(mài)cr=9.3率先失穩(wěn)，第二階模態(tài)則是經(jīng)歷較為復(fù)雜的過(guò)程后最終失穩(wěn)。以上結(jié)論與文獻(xiàn)[10]相同，進(jìn)而也驗(yàn)證了本文采用的DTM求解方法的正確性。另外，由圖2、圖3的分析可以得到，質(zhì)量參數(shù)β較大時(shí)，系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)臨界流速更高，系統(tǒng)更趨于穩(wěn)定。

圖2系統(tǒng)前四階無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與虛部隨流速變化規(guī)律(β=0.2,μ=0,α=0)

Fig.2Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.2,μ=0,α=0)

圖3系統(tǒng)前四階無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與虛部隨流速變化規(guī)律(β=0.5,μ=0,α=0)

Fig.3Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.5,μ=0,α=0)

圖4和圖5分別為不同質(zhì)量參數(shù)條件下，懸臂輸流納米管考慮小尺度效應(yīng)時(shí)，前四階無(wú)量綱復(fù)頻率Ω的Argand圖，此時(shí)，小尺度參數(shù)μ=0.05，黏彈性阻尼參數(shù)α=0。將圖4、圖5與圖2、圖3進(jìn)行比較可以看出，考慮小尺度情況下，前四階模態(tài)隨管內(nèi)流體流速的變化規(guī)律保持不變。只是，在考慮小尺度效應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)的顫振臨界流速減小(β=0.2時(shí)，二階模態(tài)率先失穩(wěn)，ucr=5.4；β=0.5時(shí)，三階模態(tài)率先失穩(wěn)，ucr=8.6)，說(shuō)明小尺度效應(yīng)降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使懸臂輸流系統(tǒng)更為柔軟。從各圖比較還可以得到，質(zhì)量參數(shù)β越大，系統(tǒng)各階模態(tài)無(wú)量綱復(fù)頻率Ω的實(shí)部、虛部隨流速的變化規(guī)律受小尺度效應(yīng)的影響越明顯。

圖4系統(tǒng)前四階無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與虛部隨流速變化規(guī)律(β=0.2,μ=0.05,α=0)

Fig.4Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.2,μ=0.05,α=0)

圖5系統(tǒng)前四階無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與虛部隨流速變化規(guī)律(β=0.5,μ=0.05,α=0)

Fig.5Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.5,μ=0.05,α=0)

圖6和圖7分別為不同質(zhì)量參數(shù)條件下，管道黏彈性性質(zhì)對(duì)懸臂輸流碳納米管系統(tǒng)顫振失穩(wěn)的影響情況，此時(shí)黏彈性阻尼參數(shù)α均為1×10-3，小尺度參數(shù)μ均為0.05。將圖6、圖7與圖4、圖5進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，管道的黏彈性性質(zhì)對(duì)懸臂輸流管道各階模態(tài)的影響程度不同，黏彈性阻尼參數(shù)對(duì)第一階模態(tài)影響不大，但對(duì)其后幾階模態(tài)影響效果顯著。首先，當(dāng)黏彈性阻尼參數(shù)α不為0時(shí)，在管內(nèi)流體流速極低時(shí)(u→0)后幾階模態(tài)已表現(xiàn)出較為明顯的阻尼效果；其次，就黏彈性性質(zhì)對(duì)系統(tǒng)顫振失穩(wěn)的影響而言，比較上述各圖可以看出，在較小的質(zhì)量參數(shù)條件下，系統(tǒng)顫振失穩(wěn)臨界流速隨黏彈性阻尼參數(shù)增加而升高，而在較大的質(zhì)量參數(shù)條件下，系統(tǒng)顫振失穩(wěn)臨界流速則隨黏彈性阻尼參數(shù)增加而降低。這就意味著管道系統(tǒng)儲(chǔ)存的彈性能、管道黏彈性特性的振動(dòng)耗散能以及管道由流體中的吸入能三者共同決定了懸臂輸流系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)臨界流速。

圖6系統(tǒng)前四階無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與虛部隨流速變化規(guī)律(β=0.2,μ=0.05,α=1×10-3)

Fig.6Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.2,μ=0.05,α=1×10-3)

圖7系統(tǒng)前四階無(wú)量綱復(fù)頻率實(shí)部與虛部隨流速變化規(guī)律(β=0.5,μ=0.05,α=1×10-3)

Fig.7Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.5,μ=0.05,α=1×10-3)

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于非局部Euler-Bernoulli梁模型，采用DTM法對(duì)懸臂輸流單層碳納米管的高階偏微分方程進(jìn)行求解，分析了此類(lèi)非保守系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)問(wèn)題,分別討論了系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)、管道黏彈性參數(shù)以及小尺度參數(shù)對(duì)系統(tǒng)前四階無(wú)量綱復(fù)頻率以及系統(tǒng)無(wú)量綱顫振失穩(wěn)臨界流速的影響。結(jié)果表明輸流納米管小尺度效應(yīng)將會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使懸臂輸流系統(tǒng)更為柔軟；而管道黏彈性阻尼參數(shù)對(duì)系統(tǒng)顫振失穩(wěn)臨界流速的影響與系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)相關(guān)：質(zhì)量參數(shù)較小時(shí)，系統(tǒng)顫振失穩(wěn)臨界流速隨黏彈性阻尼參數(shù)增加而升高，質(zhì)量參數(shù)較大時(shí)，系統(tǒng)顫振失穩(wěn)臨界流速則隨黏彈性阻尼參數(shù)增加而降低。本文所得結(jié)論可為工程納米流體機(jī)械的設(shè)計(jì)分析提供一定的理論參考。

參考文獻(xiàn)

[1] Iijima S. Helical microtubes of graphite carbon[J].Nature, 1991, 354(7):56-58.

[2] SoltaniP,FarshidianfarA.Periodicsolutionfor nonlinear vibration of a fluid-conveying carbon nanotube, based on the nonlocal continuum theory by energy balance method[J]. Applied Mathematical Modelling, 2012, 36 (8): 3712-3724.

[3] 李明，周攀峰，鄭華升.縱向磁場(chǎng)中載流單層碳納米管的振動(dòng)與失穩(wěn)[J].武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2017,40(1)：27-31.

[4] Wang L, Ni Q, Li M. Buckling instability of double-wall carbon nanotubes conveying fluid[J]. Computational Materials Science, 2008, 44(2):821-825.

[5] Lee H L, Chang W J. Vibration analysis of a viscous-fluid-conveying single-walled carbon nanotube embedded in an elastic medium[J]. Physica E, 2009, 41(4):529-532.

[6] 倪樵,王琳,黃玉盈. 吸流管道動(dòng)力學(xué)模型的研究現(xiàn)狀與展望[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2008,25(3)：450-454.

[7] Pa?doussis M P, Li G X. Pipes conveying fluid:a model dynamical problem[J]. Journal of Fluids and Structures, 1993, 7(2): 137-204.

[8] 王忠民, 馮振宇, 趙鳳群, 等. 彈性地基輸流管道的耦合模態(tài)顫振分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2000, 21 (10): 1060-1068.

[9] 王忠民，張戰(zhàn)午，李會(huì)俠. 粘彈性地基上粘彈性輸流管道的穩(wěn)定性分析[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2005, 22 (5): 613-617.

[10] 齊歡歡. 輸液管道顫振失穩(wěn)的時(shí)滯控制[D].上海：同濟(jì)大學(xué)，2009.

[11] Chen C K, Ho S H. Transverse vibration of a rotating twisted Timoshenko beams under axial loading using differential transform[J]. International Journal of Mechanical Science, 1999, 41(11): 1339-1356.

[12] Hosseini M, Sadeghi-Goughari M, Atashipour S A, et al. Vibration analysis of single-walled carbon nanotubes conveying nanoflow embedded in a viscoelastic medium using modified nonlocal beam model[J]. Archives of Mechanics, 2014, 66(4):217-244.

[13] Yoon J, Ru C Q, Mioduchowski A. Flow-induced flutter instability of cantilever carbon nanotubes[J]. International Journal of Solids and Structures, 2006, 43(11-12): 3337-3349.