主跨420 m人行懸索橋非線性靜風(fēng)穩(wěn)定影響參數(shù)分析

管青海， 周 燕， 李加武， 胡兆同， 劉健新

(1.天津城建大學(xué) 天津市土木建筑結(jié)構(gòu)防護(hù)與加固重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.長(zhǎng)安大學(xué) 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室，西安 710064)

大跨度橋梁的風(fēng)致穩(wěn)定性問(wèn)題包括風(fēng)致靜力失穩(wěn)與動(dòng)力失穩(wěn)兩個(gè)方面，早期普遍認(rèn)為大跨度橋梁風(fēng)致動(dòng)力失穩(wěn)(主要包括顫振與馳振)，要先于風(fēng)致靜力失穩(wěn)，所以風(fēng)致靜力失穩(wěn)問(wèn)題沒(méi)有引起足夠的重視。最早是1967年Hirai等[1]在懸索橋全橋氣彈模型風(fēng)洞試驗(yàn)中觀察到了風(fēng)致靜力扭轉(zhuǎn)發(fā)散現(xiàn)象，1997年同濟(jì)大學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)室在主跨518 m的汕頭海灣二橋的風(fēng)洞試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了斜拉橋的靜風(fēng)彎扭失穩(wěn)試驗(yàn)現(xiàn)象[2]，后來(lái)在西堠門(mén)大橋和主跨1 400 m的斜拉橋全橋氣弾風(fēng)洞試驗(yàn)中，也發(fā)現(xiàn)了靜風(fēng)失穩(wěn)現(xiàn)象[3-4]，項(xiàng)海帆和葛耀君也研究發(fā)現(xiàn)一座主跨5 000 m懸索橋的靜力扭轉(zhuǎn)發(fā)散臨界風(fēng)速與顫振失穩(wěn)臨界風(fēng)速大小相當(dāng)[5]，Boonyapinyo等[6]研究發(fā)現(xiàn)主跨1 990 m日本明石海峽大橋靜風(fēng)失穩(wěn)計(jì)算風(fēng)速僅為76.5 m/s，低于全橋氣彈模型風(fēng)洞試驗(yàn)得到的顫振臨界風(fēng)速92 m/s。這些試驗(yàn)研究與理論計(jì)算都表明，大跨度橋梁的風(fēng)致靜力失穩(wěn)有可能會(huì)先于風(fēng)致動(dòng)力失穩(wěn)。對(duì)于大跨度橋梁的靜風(fēng)穩(wěn)定性問(wèn)題， Boonyapinyo等[7-19]進(jìn)行了不斷的研究改進(jìn)和分析探討，確定了靜風(fēng)失穩(wěn)分析方法，并初步探明了失穩(wěn)機(jī)理。

雖然許多學(xué)者研究了大跨度橋梁的靜風(fēng)穩(wěn)定性問(wèn)題，但是多數(shù)研究對(duì)象都只是對(duì)于公路車(chē)載橋梁，而對(duì)于大跨度人行橋梁的研究較少，大跨度人行橋梁結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與公路車(chē)載橋梁存在明顯的不同，大跨度人行橋梁的靜風(fēng)失穩(wěn)形態(tài)與參數(shù)影響規(guī)律勢(shì)必與公路車(chē)載橋梁也會(huì)有所不同。本文將以一座主跨420 m人行懸索橋?yàn)楣こ趟憷M(jìn)行大跨人行懸索橋非線性靜風(fēng)穩(wěn)定影響參數(shù)分析。

1 大跨橋梁非線性靜風(fēng)穩(wěn)定理論及數(shù)值計(jì)算方法

大跨橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)存在與靜風(fēng)荷載的氣動(dòng)耦合，加之大跨橋梁輕柔結(jié)構(gòu)的幾何非線性，以及材料非線性等因素，使得數(shù)值計(jì)算便要采用循環(huán)迭代計(jì)算方法。

1.1 大跨橋梁非線性靜風(fēng)穩(wěn)定理論

大跨度橋梁結(jié)構(gòu)受到強(qiáng)風(fēng)作用會(huì)產(chǎn)生大變形，所以幾何非線性必須加以考慮以計(jì)入大變形引起的幾何剛度；大跨度橋梁靜風(fēng)失穩(wěn)前的結(jié)構(gòu)響應(yīng)一般是大變形小應(yīng)變問(wèn)題，另外鋼主梁和鋼主纜的屈服強(qiáng)度較高同時(shí)強(qiáng)度設(shè)計(jì)又有較高安全儲(chǔ)備，結(jié)構(gòu)材料一般不會(huì)進(jìn)入塑性，所以材料非線性問(wèn)題一般可不予考慮；橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)與風(fēng)荷載的氣動(dòng)耦合引起的靜風(fēng)荷載非線性是靜風(fēng)響應(yīng)分析中最主要的非線性問(wèn)題，考慮靜風(fēng)荷載非線性一般是對(duì)靜風(fēng)荷載進(jìn)行有效風(fēng)攻角循環(huán)迭代實(shí)現(xiàn)的，靜風(fēng)荷載表達(dá)式為式(1)。

(1)

式中：FD(αe)、FL(αe)、M(αe)分別為有效風(fēng)攻角αe有關(guān)的靜風(fēng)阻力、靜風(fēng)升力與靜風(fēng)升力矩；ρ和U分別為大氣密度和來(lái)流速度，1/2ρU2為風(fēng)速來(lái)流動(dòng)壓；CD(αe)、CL(αe)、CM(αe)分別為主梁斷面的阻力系數(shù)、升力系數(shù)與升力矩系數(shù)，均是有效風(fēng)攻角αe的函數(shù)，有效風(fēng)攻角αe是來(lái)流風(fēng)攻角α0與結(jié)構(gòu)靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。

對(duì)于大跨橋梁的靜風(fēng)失穩(wěn)問(wèn)題，可以采用桿系結(jié)構(gòu)空間穩(wěn)定理論求解，是一種在靜風(fēng)荷載非線性變化過(guò)程中結(jié)構(gòu)大變形的幾何非線性求解問(wèn)題，見(jiàn)式(2)，可采用UL列式增量法迭代求解。

([KL(δj-1)]+[Kσj-1(δj-1)]G+W)×{Δδj}=

{Rj(Ui,αj)}-{Rj-1(Ui,αj-1)}

(2)

式中：[KL(δj-1)]為第j-1迭代步的線彈性剛度矩陣；[Kσj-1(δj-1)]G+W為在重力荷載G與靜風(fēng)荷載W共同作用下的幾何剛度矩陣；{Δδj}為第j步迭代后的結(jié)構(gòu)位移增量；{Rj(Ui,αj)}、{Rj-1(Ui,αj-1)}為靜風(fēng)速Ui下第j迭代步對(duì)應(yīng)有效風(fēng)攻角αj、第j-1迭代步對(duì)應(yīng)有效風(fēng)攻角αj-1的靜風(fēng)荷載，計(jì)算式參見(jiàn)式(1)。

1.2 基于ANSYS的非線性靜風(fēng)穩(wěn)定分析方法

因?yàn)槭?2)的迭代計(jì)算需要采用增量法，要獲取靜風(fēng)失穩(wěn)發(fā)展過(guò)程中的靜風(fēng)響應(yīng)，又需要對(duì)風(fēng)速進(jìn)行分級(jí)增量循環(huán)加載，所以靜風(fēng)穩(wěn)定分析要采用內(nèi)外增量雙層迭代格式。

基于APDL編制內(nèi)外增量雙重迭代格式的靜風(fēng)響應(yīng)計(jì)算分析程序，首先對(duì)自重狀態(tài)進(jìn)行求解，便于在風(fēng)荷載計(jì)算中計(jì)入自重應(yīng)力矩陣；啟用ANSYS應(yīng)力剛化選項(xiàng)，每一級(jí)風(fēng)速下的靜風(fēng)響應(yīng)需要在上一步計(jì)算基礎(chǔ)上施加增量風(fēng)荷載求解，采用NEWTON-RAPSON方法進(jìn)行靜風(fēng)荷載下的結(jié)構(gòu)幾何非線性求解；若得不到收斂解，則縮短風(fēng)速步長(zhǎng)重新計(jì)算，若得到收斂解，更新有效風(fēng)攻角，根據(jù)有效風(fēng)攻角更新該級(jí)風(fēng)速下三分力系數(shù)以備下次迭代計(jì)算使用；并判定三分力系數(shù)增量范數(shù)或位移增量范數(shù)是否收斂于0，如收斂，按照既定步長(zhǎng)增加風(fēng)速繼續(xù)計(jì)算，如發(fā)散則本級(jí)風(fēng)速繼續(xù)迭代計(jì)算，直至設(shè)定迭代計(jì)算次數(shù)上限。

規(guī)定風(fēng)荷載及位移正方向與ANSYS總體坐標(biāo)系下正方向相同，以右手螺旋法則，定義使得結(jié)構(gòu)發(fā)生逆時(shí)針扭轉(zhuǎn)位移趨勢(shì)的來(lái)流風(fēng)向?yàn)檎L(fēng)攻角。由于大跨橋梁一般都是以主梁中線左右對(duì)稱(chēng)，前后風(fēng)向的橋梁響應(yīng)都是一致的，所以可以任選一個(gè)加風(fēng)風(fēng)向進(jìn)行計(jì)算分析。

2 橋梁概況與有限元模型

2.1 420 m主跨人行懸索橋概況

選取一座主跨420 m的天蒙景區(qū)人行懸索橋?yàn)楣こ趟憷４髽蛭挥谏綎|臨沂市費(fèi)縣天蒙景區(qū)內(nèi)，大橋橫跨最大深度143 m的山谷，施工圖設(shè)計(jì)采用跨徑組合為38+420+47.5 m的雙塔單跨懸索橋。主纜采用預(yù)制平行鋼絲索股法施工，吊桿間距為3 m。

大橋主梁兩側(cè)設(shè)置傾角平均45°左右的抗風(fēng)纜，抗風(fēng)纜為7根8×55SWS+IWR直徑56 mm鋼絲繩構(gòu)成。一共設(shè)置57對(duì)抗風(fēng)拉索，抗風(fēng)拉索間距為6 m，抗風(fēng)拉索分為一般拉索與加強(qiáng)拉索兩種，其中一般拉索為6×37S+IWR直徑22 mm鋼絲繩，加強(qiáng)拉索為8×55SWS+IWR直徑42 mm鋼絲繩，靠近錨固端的4根抗風(fēng)拉索采用加強(qiáng)拉索。由于地形的限制，抗風(fēng)纜四個(gè)錨固端并不嚴(yán)格對(duì)稱(chēng)，抗風(fēng)纜布置示意如圖1所示。

圖1 抗風(fēng)纜布置示意圖

主梁為縱橫型鋼板梁結(jié)構(gòu)，上鋪10 cm混凝土橋面板，主梁梁寬4.0 m，欄桿總高1.75 m，欄桿立柱間附有高透風(fēng)率的鋼網(wǎng)，主梁兩端附有風(fēng)嘴，主梁標(biāo)準(zhǔn)橫斷面如圖2所示。

圖2 主梁標(biāo)準(zhǔn)橫斷面(單位： mm)

靜三分力系數(shù)測(cè)定試驗(yàn)在長(zhǎng)安大學(xué)CA-1風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行，試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛶缀慰s尺比為1∶14，試驗(yàn)風(fēng)攻角-15°～+15°，在來(lái)流風(fēng)速為15 m/s的均勻風(fēng)場(chǎng)中進(jìn)行。圖3給出了大橋主梁斷面的靜三分力系數(shù)。

圖3 主梁靜三分力系數(shù)

2.2 全橋有限元模型及動(dòng)力特性

基于ANSYS有限元分析軟件建立符合實(shí)橋結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的全橋三維空間有限元模型。主梁與橋塔結(jié)構(gòu)離散為空間梁?jiǎn)卧?BEAM4)來(lái)模擬，主纜、吊桿、抗風(fēng)纜與及抗風(fēng)拉索等采用空間桿單元(LINK10)來(lái)模擬，橋面鋪裝、欄桿、索夾等結(jié)構(gòu)采用節(jié)點(diǎn)質(zhì)量單元(MASS21)來(lái)模擬。橋梁有限元約束條件為：橋塔底部固結(jié)，主纜與主塔在塔頂約束耦合，邊纜在錨碇處固結(jié)。全橋空間有限元模型見(jiàn)圖4，全橋前15階頻率及其振型描述見(jiàn)表1。

(a)(b)(c)(d)

圖4 全橋三維有限元模型

3 非線性靜風(fēng)穩(wěn)定影響參數(shù)分析

3.1 結(jié)構(gòu)附加風(fēng)攻角與初始風(fēng)攻角

結(jié)構(gòu)所承受的靜風(fēng)荷載是結(jié)構(gòu)有效風(fēng)攻角的函數(shù)，有效風(fēng)攻角是由初始風(fēng)攻角和主梁靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)角兩部分疊加構(gòu)成，相對(duì)于初始計(jì)算風(fēng)攻角，把主梁靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)角稱(chēng)為附加攻角。由于附加攻角對(duì)有效風(fēng)攻角的貢獻(xiàn)，使得即使在同一級(jí)風(fēng)速下，靜風(fēng)荷載也具有明顯的荷載非線性。如果忽略附加攻角效應(yīng)，所得到的靜風(fēng)失穩(wěn)必然偏離真實(shí)值。在一定意義上，靜風(fēng)荷載非線性主要即是結(jié)構(gòu)附加攻角效應(yīng)。圖5給出了0°初始風(fēng)攻角下主梁附加攻角跨向分布隨風(fēng)速的變化情況。

計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)不考慮附加攻角時(shí)的靜風(fēng)失穩(wěn)風(fēng)速高達(dá)81 m·s-1，相比考慮附加攻角時(shí)(75 m·s-1)增大了8%。圖6對(duì)比了考慮與不考慮結(jié)構(gòu)附加攻角兩個(gè)工況的主梁跨中靜風(fēng)響應(yīng)，由圖6可以看出：① 附加風(fēng)攻角對(duì)主梁跨中橫橋向位移影響較小，但是對(duì)豎橋向位移和扭轉(zhuǎn)角位移影響都較大；② 不計(jì)附加攻角時(shí)的主梁跨中豎橋向靜風(fēng)位移始終為正，其發(fā)展方向與計(jì)入附加攻角時(shí)相反，這是因?yàn)?°初始風(fēng)攻角的升力系數(shù)為正值，不考慮附加攻角時(shí)其升力系數(shù)一直采用0°風(fēng)攻角值，而結(jié)構(gòu)附加攻角一直向著負(fù)攻角方向發(fā)展，計(jì)入附加攻角的升力系數(shù)就一直向負(fù)值區(qū)演進(jìn)；③ 不計(jì)附加攻角時(shí)會(huì)減小主梁跨中扭轉(zhuǎn)角，同比計(jì)入附加攻角，不計(jì)入附加攻角時(shí)最大扭轉(zhuǎn)角會(huì)降低14%。

圖5 主梁靜風(fēng)附加攻角

(a) 橫橋向位移

(b) 豎橋向位移

(c) 扭轉(zhuǎn)角

來(lái)流不同初始風(fēng)攻角會(huì)影響到結(jié)構(gòu)靜風(fēng)荷載的大小和方向，進(jìn)而影響最終的靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速。表2列出了5個(gè)初始風(fēng)攻角工況的靜風(fēng)失穩(wěn)風(fēng)速，由表2可知：正攻角的靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速要低于負(fù)攻角，這是由于不同風(fēng)攻角下靜風(fēng)荷載不同的發(fā)展路徑?jīng)Q定的，因?yàn)樯叵禂?shù)和升力系數(shù)在負(fù)攻角區(qū)單調(diào)遞減，負(fù)攻角越大靜風(fēng)荷載越小，所以初始風(fēng)攻角為負(fù)時(shí)的靜風(fēng)穩(wěn)定性要優(yōu)于正攻角。

表2 不同初始風(fēng)攻角下靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速

3.2 非主梁結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載

主梁結(jié)構(gòu)是懸索橋靜風(fēng)響應(yīng)的主要受力構(gòu)件，其他受力構(gòu)件包括主纜、抗風(fēng)纜、吊桿、抗風(fēng)拉索和橋塔等非主梁結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載對(duì)靜風(fēng)響應(yīng)也有一定的影響，對(duì)于非主梁結(jié)構(gòu)的靜風(fēng)荷載只計(jì)靜風(fēng)阻力荷載。以0°初始風(fēng)攻角為例，考察非主梁結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載對(duì)靜風(fēng)穩(wěn)定性的影響，當(dāng)分析其中一項(xiàng)非主梁風(fēng)荷載影響時(shí)，其他各項(xiàng)風(fēng)荷載均予以保留。

圖7對(duì)比了各項(xiàng)非主梁結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載對(duì)主梁跨中靜風(fēng)位移的影響，通過(guò)對(duì)比計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：① 對(duì)于主梁跨中橫橋向和豎橋向位移，單項(xiàng)非主梁風(fēng)荷載對(duì)其影響很小，但是所有5項(xiàng)非主梁風(fēng)荷載都不計(jì)時(shí)，其值會(huì)顯著降低，最大橫橋向位移會(huì)降低37.9%，最大豎橋向位移會(huì)降低49.4%；② 對(duì)于主梁跨中扭轉(zhuǎn)角，只有抗風(fēng)纜風(fēng)荷載對(duì)其影響較大，其他單項(xiàng)均影響較小，不計(jì)抗風(fēng)纜風(fēng)荷載會(huì)使最大扭轉(zhuǎn)角降低25.7%，5項(xiàng)全不計(jì)時(shí)會(huì)使最大扭轉(zhuǎn)角降低54.7%；③ 在所有單項(xiàng)中，橋塔風(fēng)荷載影響程度最小，可以忽略不計(jì)，這是因?yàn)闃蛩陨韯偠容^大以及對(duì)主梁響應(yīng)參與貢獻(xiàn)程度也較小。

表3給出了各計(jì)算工況的靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速，單純從靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速上來(lái)看，非主梁結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載對(duì)其影響非常小，幾乎可以忽略不計(jì)，不施加主纜或抗風(fēng)纜風(fēng)荷載甚至?xí)档挽o風(fēng)失穩(wěn)風(fēng)速，也就是說(shuō)主纜風(fēng)荷載和抗風(fēng)纜風(fēng)荷載對(duì)該橋靜風(fēng)穩(wěn)定性是有利的。

(a) 橫橋向位移

(b) 豎橋向位移

(c) 扭轉(zhuǎn)角

表3 不同風(fēng)荷載工況下靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速

3.3 抗風(fēng)纜與中央扣結(jié)構(gòu)措施

因?yàn)槿诵袘宜鳂蛑髁簩挾容^窄，主梁?jiǎn)挝毁|(zhì)量小，主纜重力剛度小，所以很多大跨人行懸索橋都要加裝抗風(fēng)纜來(lái)提高體系剛度。

對(duì)施工圖設(shè)計(jì)方案去掉抗風(fēng)纜進(jìn)行無(wú)抗風(fēng)纜方案設(shè)計(jì)，為了進(jìn)行結(jié)果對(duì)比，除主纜重力剛度發(fā)生變化之外其他結(jié)構(gòu)參數(shù)均保持不變。計(jì)算發(fā)現(xiàn)無(wú)抗風(fēng)纜設(shè)計(jì)方案在0°來(lái)流初始風(fēng)攻角下的靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速僅有34 m·s-1，而且靜風(fēng)失穩(wěn)形態(tài)不再是主梁彎扭失穩(wěn)，而是主梁橫向屈曲失穩(wěn)。由此可見(jiàn)抗風(fēng)纜對(duì)靜風(fēng)穩(wěn)定性影響巨大，參考相關(guān)研究進(jìn)一步考慮水平(傾角0°)與垂直(傾角90°)兩種抗風(fēng)纜空間布置型式，計(jì)算發(fā)現(xiàn)這兩種抗風(fēng)纜方案的靜風(fēng)失穩(wěn)風(fēng)速均為70 m/s，這說(shuō)明45°抗風(fēng)纜的靜風(fēng)穩(wěn)定性要高于水平與垂直抗風(fēng)纜。

對(duì)無(wú)抗風(fēng)纜設(shè)計(jì)方案考慮施加跨中一聯(lián)中央扣、三聯(lián)中央扣與五聯(lián)中央扣結(jié)構(gòu)措施，計(jì)算其靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速，表4列出了各個(gè)結(jié)構(gòu)措施的計(jì)算結(jié)果，由表4可知，無(wú)抗風(fēng)纜設(shè)計(jì)方案的靜風(fēng)穩(wěn)定性很差，相比有抗風(fēng)纜設(shè)計(jì)方案的靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速降幅達(dá)54.7%，施加中央扣措施能提高靜風(fēng)穩(wěn)定性，施加五聯(lián)中央扣的提高幅度可達(dá)23.5%，但是靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速仍然只有42 m·s-1，由此可知，對(duì)于420 m主跨量級(jí)的人行懸索橋，僅僅依賴(lài)中央扣措施很難使無(wú)抗風(fēng)纜設(shè)計(jì)方案獲得足夠的靜風(fēng)穩(wěn)定能力。

表4 不同結(jié)構(gòu)措施的靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速

4 結(jié) 論

論文進(jìn)行了420 m主跨人行懸索橋非線性靜風(fēng)穩(wěn)定影響參數(shù)研究，主要分析了結(jié)構(gòu)附加攻角、初始風(fēng)攻角、非主梁結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載、抗風(fēng)纜與中央扣結(jié)構(gòu)措施等方面對(duì)非線性靜風(fēng)穩(wěn)定的影響，研究結(jié)果表明：

(1) 不計(jì)結(jié)構(gòu)附加攻角相當(dāng)于放棄了靜風(fēng)荷載非線性，會(huì)改變主梁靜風(fēng)位移增長(zhǎng)規(guī)律，會(huì)放大靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速。相比0攻角而言，正攻角會(huì)惡化靜風(fēng)穩(wěn)定性，負(fù)攻角會(huì)提高靜風(fēng)穩(wěn)定性，這是不同初始攻角下靜風(fēng)荷載的不同發(fā)展路徑?jīng)Q定的。

(2) 非主梁結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載對(duì)大跨人行懸索橋靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速影響很小，但是抗風(fēng)纜風(fēng)荷載對(duì)主梁靜風(fēng)位移影響很大，主塔風(fēng)荷載對(duì)主梁靜風(fēng)位移影響最小。

(3) 抗風(fēng)纜會(huì)改變大跨人行懸索橋的靜風(fēng)失穩(wěn)形態(tài)和大幅提高靜風(fēng)穩(wěn)定性，45°抗風(fēng)纜的靜風(fēng)穩(wěn)定性要優(yōu)于水平與垂直抗風(fēng)纜。對(duì)于420 m主跨量級(jí)的人行懸索橋，僅僅依賴(lài)中央扣措施很難使無(wú)抗風(fēng)纜設(shè)計(jì)方案獲得足夠的靜風(fēng)穩(wěn)定能力。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] HIRAI A, OKAUCHI I, ITO M, et al. Studies on the critical wind velocity for suspension bridges[C]//Proc. Int. Res. Seminar on Wind Effects on Buildings and Structures. Ontario: University of Toronto Press, 1967: 81-103.

[2] 程進(jìn)，肖汝誠(chéng)，項(xiàng)海帆．大跨徑懸索橋非線性靜風(fēng)穩(wěn)定性全過(guò)程分析[J]． 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，28(6)：717-720.

CHENG Jin, XIAO Rucheng, XIANG Haifan. Full range nonlinear analysis for long-span suspension bridge[J]. Journal of Tongji University, 2000, 28(6): 717-720.

[3] ZHANG Z T, GE Y J, YANG Y X. Torsional stiffness degradation and aerostatic divergence of suspension bridge decks[J]. Journal of Fluids and Structures, 2013, 40(7): 269-283.

[4] 張宏杰，朱樂(lè)東，胡曉紅．超千米級(jí)斜拉橋抗風(fēng)穩(wěn)定性風(fēng)洞試驗(yàn)[J]．中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2014，27(4): 62-68.

ZHANG Hongjie, ZHU Ledong, HU Xiaohong. Wind tunnel test on wind-resistant stability of super-kilometer cable stayed bridge[J]．China Journal of Highway and Transport，2014，27(4): 62-68.

[5] XIANG Haifan, GE Yaojun. Aerodynamic challenges in span length of suspension bridges[J]．Frontiers of Architecture & Civil Engineering in China, 2007, 1(2): 153-162.

[6] BOONYAPINYO V, LAUHATANON Y, LUKKUNAPRASIT P. Nonlinear aerostatic stability analysis of suspension bridges[J]．Engineering Structures, 2006, 28(5): 793-803.

[7] BOONYAPINYO V, YAMADA H, MIYATA T. Wind-induced nonlinear lateral-torsional buckling of cable-stayed bridge[J]. Journal of Structural Engineering, ASCE, 1994, 120(2): 486-506.

[8] 方明山，項(xiàng)海帆，肖汝誠(chéng)．大跨徑纜索承重橋梁非線性空氣靜力穩(wěn)定理論[J]．土木工程學(xué)報(bào)，2000，33(2)：73-79.

FANG Mingshan, XIANG Haifan, XIAO Rucheng. Nonlinear aerostatic stability theory of large-span cable-stayed bridges[J].China Civil Engineering Journal, 2000, 33(2): 73-79.

[9] 程進(jìn)，肖汝誠(chéng)，項(xiàng)海帆．大跨徑橋梁靜風(fēng)穩(wěn)定性分析方法的探討與改進(jìn)[J]．中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2001，14(2)：30-32．

CHENG Jin, XIAO Rucheng, XIANG Haifan. Discussion on methods of aerostatics stability analysis for long-span bridge and their improvement[J]. China Journal of Highway and Transport, 2001, 14(2): 30-32.

[10] CHENG Jin, JIANG Jianjing, XIAO RuCheng, et al. Nonlinear aerostatic stability analysis of Jiang Yin suspension bridge[J]. Engineering Structures, 2002, 24(6): 773-781.

[11] ZHANG Xinjun, XIANG Haifan, SUN Bingnan. Nonlinear aerostatic and aerodynamic analysis of long-span suspension bridges considering wind-structure interactions[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2002, 90(9): 1065-1080.

[12] ZHANG Xinjun. Influence of some factors on the aerodynamic behavior of long-span suspension bridges[J]．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2007, 95(3):149-164.

[13] ZHANG Xinjun. Numerical investigation on the wind stability of super long-span partially earth-anchored cable-stayed bridges[J]．Wind and Structures, 2015, 21(4): 407-424.

[14] SU Cheng, LUO Xiufeng, YUN Tianquan. Aerostatic reliability analysis of long-span bridges[J]．Journal of Bridge Engineering, 2010, 15(3): 260-268.

[15] 李永樂(lè)，侯光陽(yáng)，喬倩妃，等．超大跨徑懸索橋主纜材料對(duì)靜風(fēng)穩(wěn)定性的影響[J]．中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2013，26(4)：72-77.

LI Yongle, HOU Guangyang, QIAO Qianfei, et al. Effects of different cable materials on aerostatic stabilities of super-long-span suspension bridges[J]. China Journal of Highway and Transport, 2013, 26(4): 72-77.

[16] ZHANG Z T, CHEN Z Q, HUA X G, et al. Investigation of turbulence effects on torsional divergence of long-span bridges by using dynamic finite-element method[J]．Journal of Bridge Engineering, 2010, 15(6): 639-652.

[17] ZHANG Wenming, GE Yaojun, LEVITAN L. Nonlinear aerostatic stability analysis of new suspension bridges with multiple main spans[J]．The Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2013, 35(2):143-151.

[18] 李加武，方成，侯利明，等．大跨徑橋梁靜風(fēng)穩(wěn)定參數(shù)的敏感性分析[J]．振動(dòng)與沖擊，2014，33 (4): 124-130.

LI Jiawu, FANG Cheng, HOU Liming, et al. Sensitivity analysis for aerostatic stability parameter of a long-span bridge[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(4): 124-130.

[19] 李翠娟，李永樂(lè)，強(qiáng)士中．交叉吊索對(duì)超大跨CFRP主纜懸索橋靜風(fēng)失穩(wěn)的抑制作用[J]．振動(dòng)與沖擊，2016，35 (17): 177-184.

LI Cuijuan，LI Yongle，QIANG Shizhong．Aerostatic stability improvement of a super large-span suspension bridge with CFRP cables using crossed hangers[J]．Journal of Vibration and Shock，2016，35 (17): 177-184.