巧用整體法，妙解方程題

◎江蘇省泰州市高港實(shí)驗(yàn)學(xué)校七（6）班 李可人

在一次數(shù)學(xué)課外閱讀活動(dòng)中，我遇到了一組求解方程組的問題：

我一看，不就是解方程組嗎？難不倒我！

解方程組（1），得

對(duì)于方程組（2），我先化簡(jiǎn)為然后用加減消元法先消去x，解得y=0，再將y=0代入化簡(jiǎn)后的第一個(gè)方程，解得x=2，故方程組（2）的解為

可是，還沒等我算出結(jié)果，小明同學(xué)早就報(bào)出了結(jié)果，和我的結(jié)果一模一樣.我很納悶，小明怎么就那么快呢？這兩個(gè)方程組之間有什么關(guān)聯(lián)嗎？我再仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：除了未知數(shù)不同外，兩個(gè)方程組的結(jié)構(gòu)特征、系數(shù)都完全相同，如果把方程組（2）中的（x+2）和（y-1）看作整體，它們不就分別是方程組（1）中的a和b嗎？因此，把方程組（1）的a、b替換成x+2、y-1不就直接得到即嗎？用“整體”的思維方法解方程組（2），從分析到解決時(shí)間都不到1分鐘，這是多么神奇?。?/p>

從那之后，我開始有意識(shí)留心用“整體”方法來(lái)解決方程組的問題，越來(lái)越覺得用“整體”的方法真是省時(shí)又省力.如：

例1若方程組

的解互為相反數(shù)，求a的值.

常規(guī)方法是先解方程組，將x和y用含a的代數(shù)式表示出來(lái)，得再根據(jù)“互為相反數(shù)”列出方程：，解得a=-1.

從另外一個(gè)角度觀察兩個(gè)方程發(fā)現(xiàn)，未知數(shù)x的系數(shù)分別為3、1，未知數(shù)y的系數(shù)分別為1、3，相同未知數(shù)系數(shù)的和都是4.故想到用整體方法，將方程（1）與方程（2）直接相加可得：4x+4y=2+2a，即4（x+y）=2+2a，再將x+y=0代入，可得a=-1.看，這正是整體思想的功勞.

例2 解方程組

常規(guī)方法是代入消元法或加減消元法.但仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)：4x+11y=5可變形為4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5①，再將2x+5y=3看作整體，代入方程①，很快解得y=-1，再將y=-1代入2x+5y=3，得x=4.故此方程組的解為

在解題中，我們要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察方程組的特點(diǎn)，這時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)，很多問題除了有常規(guī)方法外，還有更巧妙的解決思路呢！一次班級(jí)開展“悅讀有獎(jiǎng)”活動(dòng)，需要購(gòu)買獎(jiǎng)狀、書簽和水筆共3種獎(jiǎng)品.老師讓我購(gòu)買，還出了一道題考一考大家.題目是這樣的：如果購(gòu)買3張獎(jiǎng)狀、2個(gè)書簽和1支水筆共需要13元；如果購(gòu)買5張獎(jiǎng)狀、4個(gè)書簽和3支水筆共需要25元.那么，班級(jí)活動(dòng)需要購(gòu)買12張獎(jiǎng)狀、9個(gè)書簽和6支水筆共需多少元？

我稍加思索，很快回答：57元！聰明的同學(xué)，我的答案正確嗎？你是怎么思考的呢？

教師點(diǎn)評(píng)

整體思想方法是指在觀察、思考數(shù)學(xué)問題時(shí)，把某些式子或圖形看作一個(gè)整體，把握已知與所求之間的關(guān)聯(lián).有目的、有意識(shí)地用整體的方法處理問題，體現(xiàn)了著眼全局、通盤考慮的整體觀念.整體代入、整體運(yùn)算、整體設(shè)元等都是整體思想在解決數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用.小作者是個(gè)有心人，她通過(guò)解題的反思發(fā)現(xiàn)了整體方法，然后有意識(shí)地在后續(xù)的學(xué)習(xí)中運(yùn)用整體方法來(lái)解決問題，發(fā)現(xiàn)了運(yùn)用整體方法解決問題的巧妙之處.所以，在做題時(shí)要仔細(xì)審題，留心已知條件的特征，你一定也能找到屬于自己的解題妙招！