適應(yīng)多測(cè)站濾波定軌系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)度分析方法

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(1.航天工程大學(xué) 研究生院，北京 101416; 2.航天工程大學(xué) 光電裝備系，北京 101416)

0 引言

可觀(guān)測(cè)性這一概念是由Kalman為了解決線(xiàn)性系統(tǒng)的相關(guān)問(wèn)題而提出的，如果系統(tǒng)的狀態(tài)能被過(guò)去的觀(guān)測(cè)唯一確定，則該系統(tǒng)為可觀(guān)測(cè)的[1]。但航天工程領(lǐng)域，各種系統(tǒng)均為非線(xiàn)性的，例如自主導(dǎo)航及濾波定軌系統(tǒng)。對(duì)于非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性，還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一而嚴(yán)密的定義。

Lee和Dunn提出的李函數(shù)準(zhǔn)則是目前非線(xiàn)性系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性判定的常用準(zhǔn)則[2]。僅判斷系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性在實(shí)際應(yīng)用中作用并不大，所以引入可觀(guān)測(cè)度的定義，能將系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性大小定量的體現(xiàn)出來(lái)。針對(duì)這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外先后提出多種非線(xiàn)性系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)度的判斷方法，其中可觀(guān)測(cè)矩陣SVD分解[3-4]和基于條件數(shù)的可觀(guān)測(cè)度計(jì)算方法[5-8]最為常見(jiàn)，然而這兩種方案均未考慮量測(cè)噪聲對(duì)系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性造成的影響，李恒年教授及孫仲康教授在文獻(xiàn) [9-10]中均提出了將可觀(guān)測(cè)矩陣和量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣結(jié)合的可觀(guān)測(cè)度判定方法，所求得的可觀(guān)測(cè)度受噪聲影響較大。

在多站單測(cè)量體制的實(shí)際應(yīng)用條件下，對(duì)濾波定軌系統(tǒng)進(jìn)行可觀(guān)測(cè)性分析。針對(duì)該種弱觀(guān)測(cè)條件下可觀(guān)測(cè)矩陣條件數(shù)過(guò)大時(shí)可觀(guān)測(cè)度判斷不準(zhǔn)確的這一情況，分析了誤差形成的原因并提出了相關(guān)解決方案。建立衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程與多站測(cè)速的量測(cè)方程，并求出其觀(guān)測(cè)矩陣，采用容積卡爾曼濾波(CKF)算法作為定軌算法，利用Matlab軟件對(duì)多測(cè)站濾波定軌系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)度進(jìn)行仿真。通過(guò)比較不同測(cè)站組合情況下定軌精度與可觀(guān)測(cè)度的關(guān)系。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后可觀(guān)測(cè)度判斷方法相較于傳統(tǒng)的基于條件數(shù)判斷方法，能更準(zhǔn)確判斷系統(tǒng)的定軌精度與可觀(guān)測(cè)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

1 系統(tǒng)描述

常用非線(xiàn)性濾波算法如擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)以及容積卡爾曼濾波(CKF)，適用于非線(xiàn)性系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)。在衛(wèi)星軌道估計(jì)中常采用非線(xiàn)性濾波算法進(jìn)行實(shí)時(shí)軌道估計(jì)，是一種在時(shí)域上對(duì)軌道狀態(tài)矢量進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的方法，需要對(duì)系統(tǒng)建立狀態(tài)方程與量測(cè)方程，利用狀態(tài)方程進(jìn)行時(shí)間更新同時(shí)對(duì)利用量測(cè)方程進(jìn)行量測(cè)更新，最終給出最優(yōu)估計(jì)。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)一步進(jìn)行可觀(guān)測(cè)性分析時(shí)，根據(jù)控制理論的要求，需要求出非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程與觀(guān)測(cè)方程。

1.1 狀態(tài)方程

根據(jù)衛(wèi)星在軌道運(yùn)行的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，建立衛(wèi)星的軌道動(dòng)力學(xué)模型。地球是一個(gè)形狀、質(zhì)量分布皆非均勻的扁球體，對(duì)航天器的引力需考慮地球非球形引力，大氣阻力和太陽(yáng)光壓、潮汐等其他攝動(dòng)力。非球形引力項(xiàng)中最大的是J2項(xiàng)，數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其攝動(dòng)力，在計(jì)算中僅考慮該項(xiàng)。在地心慣性坐標(biāo)系中，單顆衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為引力、地心距離與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)矢量的微分方程。在J2000坐標(biāo)系下建立狀態(tài)方程，如下所示：

(1)

在計(jì)算機(jī)仿真分析中，連續(xù)系統(tǒng)無(wú)法進(jìn)行時(shí)域上的狀態(tài)估計(jì)，于是將式(1)的連續(xù)方程通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法離散化，常用方法有歐拉法、龍格庫(kù)塔離散方法等，再對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行泰勒一階展開(kāi)，變?yōu)?2)所示的離散非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)：

Xk+1=Φk+1,kXk

(2)

式中,

(3)

Xk+1為k時(shí)刻的航天器的狀態(tài)量，Xk為k時(shí)刻的狀態(tài)量，Φk+1,k為k時(shí)刻到k+1時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

1.2 量測(cè)方程

量測(cè)過(guò)程是通過(guò)地面站對(duì)航天器進(jìn)行測(cè)量，常用的測(cè)量元有測(cè)距、測(cè)速及測(cè)角。在實(shí)際應(yīng)用中，相較于包含完整測(cè)元的體制，僅采用單測(cè)角或單測(cè)速的系統(tǒng)軌道估計(jì)精度較低，更具有研究意義，因此本文采用單種測(cè)速值的測(cè)量系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行可觀(guān)測(cè)性研究。

每個(gè)測(cè)站給出的徑向速度量測(cè)值通過(guò)航天器的狀態(tài)矢量表示出，由此構(gòu)成量測(cè)方程組。多個(gè)測(cè)站對(duì)同一航天器進(jìn)行觀(guān)測(cè)獲取多個(gè)測(cè)速值，在單站的情況下進(jìn)行擴(kuò)維運(yùn)算，構(gòu)成多站僅測(cè)速系統(tǒng)的量測(cè)方程：

(4)

利用泰勒一階展開(kāi)對(duì)量測(cè)方程進(jìn)行處理，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)求偏導(dǎo)，獲得系統(tǒng)觀(guān)測(cè)矩陣[11]：

(5)

量測(cè)方程建立在站心坐標(biāo)系中，狀態(tài)方程建立在J2000坐標(biāo)系中，進(jìn)行濾波運(yùn)算時(shí)需要提前將數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，在同一坐標(biāo)系下進(jìn)行軌道估計(jì)。

2 可觀(guān)測(cè)性分析

可觀(guān)性及可控性是線(xiàn)性系統(tǒng)的一種定性分析方法，指系統(tǒng)內(nèi)的狀態(tài)是否可以由輸出和輸入進(jìn)行分析，對(duì)于系統(tǒng)的運(yùn)行有重要研究意義。在控制理論研究中，線(xiàn)性系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性有明確的判斷準(zhǔn)則，如格拉姆矩陣判據(jù)。任何線(xiàn)性系統(tǒng)的定理推廣到非線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)，復(fù)雜程度大大增加。因?yàn)榉蔷€(xiàn)性系統(tǒng)中某一時(shí)刻的狀態(tài)無(wú)法由初始狀態(tài)推導(dǎo)，非線(xiàn)性系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性分析沒(méi)有統(tǒng)一的判斷準(zhǔn)則。

2.1 非線(xiàn)性系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性分析

非線(xiàn)性系統(tǒng)可通過(guò)泰勒展開(kāi)等近似為線(xiàn)性化系統(tǒng)，再采用線(xiàn)性系統(tǒng)的判斷準(zhǔn)則來(lái)判斷，但該種方法對(duì)犧牲了對(duì)系統(tǒng)的準(zhǔn)確描述使計(jì)算變得簡(jiǎn)明。而直接對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性判定在工程運(yùn)用中，通常采用由Lee和Dunn提出的李函數(shù)定理[2]：

對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng):

(6)

y(t)=h(x(t),t)

(7)

如果在t∈[t0,t1]上，對(duì)凸集S∈Rn上的任意x0，x1∈S，h(x(t;x),t)=h(x(t;x1),t)， 都有x1=x0，則系統(tǒng)在凸集S上是完全可觀(guān)測(cè)的。線(xiàn)性系統(tǒng)在S集上的可觀(guān)測(cè)性可以通過(guò)對(duì)初始狀態(tài)的可觀(guān)性分析推導(dǎo)出來(lái)，與其狀態(tài)向量的變化無(wú)關(guān)。非線(xiàn)性系統(tǒng)的可觀(guān)性不能由初始狀態(tài)推導(dǎo)，因此考慮由狀態(tài)方程f(·)和量測(cè)方程h(·)進(jìn)行推導(dǎo)。

定義：

(8)

(9)

式中，H(t)、Φ(t,t0)為h(·)和f(·)的雅各比矩陣。若M(x0)是正定的，則系統(tǒng)在凸集S上是完全可觀(guān)測(cè)的。

將該定理應(yīng)用在非線(xiàn)性離散時(shí)變系統(tǒng)中，定義可觀(guān)測(cè)性矩陣Γ為：

(10)

式中，N表示觀(guān)測(cè)次數(shù)，n表示狀態(tài)維數(shù)。

如果rankΓ(k0,k0+N-1)=n，即在N次觀(guān)測(cè)中，可觀(guān)測(cè)矩陣Γ的秩等于n，則系統(tǒng)在S上是完全可觀(guān)測(cè)的。將式(3)、(5)帶入(10)可以得到可觀(guān)測(cè)矩陣，對(duì)其求秩可以對(duì)系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性進(jìn)行判斷，通過(guò)求取特征值或進(jìn)行奇異值分解，都可以對(duì)系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)度進(jìn)行判斷。

系統(tǒng)中的狀態(tài)噪聲與量測(cè)噪聲對(duì)系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性也存在影響，對(duì)系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)的可觀(guān)測(cè)性描述可以不考慮噪聲的影響?？紤]噪聲時(shí)的系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性及可觀(guān)測(cè)度判斷有其他的判斷方法。

2.2 可觀(guān)測(cè)度分析方法

可觀(guān)測(cè)性定性的反應(yīng)出系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行能力，為了更清楚反應(yīng)系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性的大小，引入可觀(guān)測(cè)度的概念，對(duì)系統(tǒng)的可觀(guān)測(cè)性給出一種定量的分析方法。

矩陣的條件數(shù)定義為最大奇異值和最小奇異值的比值，可觀(guān)測(cè)矩陣的條件數(shù)反映可觀(guān)測(cè)矩陣的病態(tài)程度，可以理解為可觀(guān)測(cè)矩陣各行列之間的相關(guān)性，相關(guān)性強(qiáng)表明量測(cè)值中獲取的相似信息量多，有效信息量少；相關(guān)性弱則表明量測(cè)值中獲取的有效信息量多。這樣能直觀(guān)的反映出算法的穩(wěn)定性、收斂性及收斂速度，將條件數(shù)的大小作為可觀(guān)測(cè)度的判斷依據(jù)。

對(duì)可觀(guān)測(cè)矩陣Γ進(jìn)行式(11)所示的奇異值分解：

Γ=U∑V

(11)

式中，U、V為奇異值分解后的酉矩陣，∑為對(duì)角矩陣，對(duì)角線(xiàn)上的元素為可觀(guān)測(cè)矩陣Γ的奇異值。條件數(shù)cond(Γ)為最大奇異值和最小奇異值的商。

(12)

在實(shí)際應(yīng)用及仿真中發(fā)現(xiàn)，式(11)、(12)直接計(jì)算出的條件數(shù)并不適用于多站單測(cè)量體制的濾波定軌算法。傳統(tǒng)的條件數(shù)計(jì)算中將不同測(cè)站獲取的同種體制的量測(cè)值直接帶入可觀(guān)測(cè)矩陣Γ計(jì)算，所得到的可觀(guān)測(cè)度僅僅是量測(cè)信息本身之間數(shù)值大小上的相關(guān)性，當(dāng)兩個(gè)處于不同位置的測(cè)站所獲取的量測(cè)值在僅僅在數(shù)值上相似時(shí)，條件數(shù)會(huì)猛然增大，可知其并不能正確體現(xiàn)不同測(cè)站所包含有效信息的多少，定軌精度的好壞與所得到的條件數(shù)大小并不存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(13)

(14)

3 仿真分析

為了研究可觀(guān)測(cè)度是否能作為濾波定軌算法精度的參考依據(jù)，采用基于容積卡爾曼濾波的濾波定軌算法，在衛(wèi)星工具包(Satellite Tool Kit，STK)中建立場(chǎng)景模型，衛(wèi)星模型采用太陽(yáng)同步軌道衛(wèi)星(Sun-synchronous satellite)，軌道估計(jì)數(shù)據(jù)在軌道估計(jì)算法中采用高精度軌道預(yù)報(bào)(high precision orbit propagation, HPOP)，在條件數(shù)計(jì)算中采用僅考慮J2項(xiàng)的軌道數(shù)據(jù)，更利于狀態(tài)方程的雅各比矩陣的計(jì)算同時(shí)仿真出的曲線(xiàn)平滑，最終利用MATLAB進(jìn)行算法驗(yàn)證。

對(duì)模型中隨機(jī)放置的兩個(gè)測(cè)站和隨機(jī)放置的三個(gè)測(cè)站在不同幾何布設(shè)的情況下計(jì)算優(yōu)化方法所得的條件數(shù)，同時(shí)進(jìn)行定軌算法仿真以得出不同測(cè)站組合下的定軌誤差結(jié)果，濾波步長(zhǎng)為1 s，條件數(shù)計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為100 s，定軌算法計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為170 s，在仿真模型中F1、F2、F3、F4分別代表四個(gè)隨機(jī)測(cè)站，四個(gè)測(cè)站的經(jīng)緯度如表1所示。

表1 四個(gè)測(cè)站的經(jīng)緯度

仿真初始軌道值在模型真實(shí)軌道值的基礎(chǔ)上位置量加入1 km的誤差，速度量加上100 m/s的誤差，參考真實(shí)初始軌道值為：

初始協(xié)方差矩陣為：

狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣為：

選擇通過(guò)均方根誤差判斷定軌精度，根據(jù)數(shù)據(jù)的量級(jí)分為速度均方根誤差和位置均方根誤差。

Eposition=

(15)

Evelocity=

(16)

圖1 雙測(cè)站的條件數(shù)變化曲線(xiàn)

圖2 雙測(cè)站軌道估計(jì)位置均方根誤差

圖3 雙測(cè)站軌道估計(jì)速度均方根誤差

圖4 三測(cè)站的條件數(shù)變化曲線(xiàn)

圖5 三測(cè)站軌道估計(jì)位置均方根誤差

圖6 三測(cè)站軌道估計(jì)速度均方根誤差

由圖1和圖4可以看出，由于系統(tǒng)是時(shí)變的，所以系統(tǒng)的條件數(shù)也是時(shí)變的，結(jié)合系統(tǒng)的條件數(shù)與圖2、圖3以及圖4、圖5的定軌精度誤差結(jié)果可以看出，條件數(shù)越小，定軌精度越高，算法的收斂速度更快。為了更直觀(guān)的分析條件數(shù)與定軌精度之間的關(guān)系，如表2所示，將傳統(tǒng)方法所求的各系統(tǒng)的條件數(shù)均值及改進(jìn)方法所求的條件數(shù)均值與均方誤差值進(jìn)行對(duì)比，比較不同方法求得的條件數(shù)大小與系統(tǒng)定軌精度的關(guān)系。

表2 定軌精度與兩種可觀(guān)測(cè)度方法所求得條件數(shù)的比較

圖7 兩種方法所得條件數(shù)與估計(jì)精度的變化趨勢(shì)

由表2和圖7可以看出，傳統(tǒng)方法所求得的條件數(shù)的大小無(wú)法準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的定軌精度，并不適用于條件數(shù)大，量測(cè)值之間存在不同數(shù)值意義的弱觀(guān)測(cè)系統(tǒng)。改進(jìn)方法將不同測(cè)站坐標(biāo)作為向量進(jìn)行投影處理，代入可觀(guān)測(cè)矩陣所求條件數(shù)，仿真結(jié)果數(shù)值上大于傳統(tǒng)方法，但是對(duì)系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)性的判斷準(zhǔn)確度高。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)方法所求得的條件數(shù)大小能正確反映出定軌精度的變化，當(dāng)條件數(shù)較大時(shí)，系統(tǒng)的定軌精度較差；條件數(shù)較小時(shí)，系統(tǒng)的定軌精度較高。

4 結(jié)論

研究了基于多站測(cè)速的濾波定軌算法的可觀(guān)測(cè)性及可觀(guān)測(cè)度判斷方法。傳統(tǒng)可觀(guān)測(cè)度判定方法中條件數(shù)的計(jì)算方法其結(jié)論對(duì)于多站單測(cè)量值的弱觀(guān)測(cè)系統(tǒng)不適用，改進(jìn)方法將不同測(cè)站獲取的量測(cè)值看作矢量進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，將測(cè)站坐標(biāo)值帶入計(jì)算，給出一種適應(yīng)多站組合測(cè)量弱觀(guān)測(cè)條件下的基于條件數(shù)的可觀(guān)測(cè)度判定方法。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)方法相對(duì)于傳統(tǒng)方法，有更好的估計(jì)效果，更能準(zhǔn)確作為系統(tǒng)可觀(guān)測(cè)度判定的方法。

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