基于Parareal算法的電磁暫態(tài)時(shí)間并行計(jì)算方法

汪芳宗 胡 潔

(三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院， 湖北 宜昌 443002)

0 引 言

近年來(lái)，隨著能源互聯(lián)網(wǎng)、微電網(wǎng)的發(fā)展，各種新型電力電子裝置被接入電網(wǎng)，電力系統(tǒng)變得愈發(fā)復(fù)雜[1-5]．電磁暫態(tài)仿真適用于分析電力系統(tǒng)暫態(tài)特性，是電力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、規(guī)劃和控制運(yùn)行的理論基礎(chǔ)．面對(duì)日益復(fù)雜的電力系統(tǒng)，如何快速又準(zhǔn)確地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行電磁暫態(tài)仿真計(jì)算一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者們研究的重點(diǎn)問題．

目前大多數(shù)電磁暫態(tài)數(shù)值計(jì)算方法基本上是基于傳統(tǒng)的串行計(jì)算模式，難免會(huì)出現(xiàn)效率低的問題．并行算法為解決這一問題提供了一個(gè)很好的技術(shù)途徑．并行算法一般可分為：空間并行算法、時(shí)間并行算法和時(shí)空并行算法．廣泛應(yīng)用的并行算法大多為空間并行算法，例如長(zhǎng)輸電線路解耦法、多端口戴維南等值電路法[6-8]、類似節(jié)點(diǎn)分裂法的分網(wǎng)并行方法[9]等．在進(jìn)行大規(guī)模電力系統(tǒng)暫態(tài)數(shù)值計(jì)算時(shí)，空間并行算法不可避免地會(huì)因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)分塊數(shù)目的增多，而使得各子網(wǎng)間通信量增大，通信延時(shí)變高[10]．另外，網(wǎng)絡(luò)分割不均勻也會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)計(jì)算負(fù)荷不均、計(jì)算資源浪費(fèi)的情況．時(shí)間并行計(jì)算為避免上述情況提供了一種有效的思路．

電磁暫態(tài)數(shù)值仿真本質(zhì)上是求解微分動(dòng)力學(xué)方程在時(shí)間域上的響應(yīng)．文獻(xiàn)[11-16]中介紹了幾種求解微分方程的時(shí)間并行算法，其中最受到關(guān)注的是Lions等人提出的Parareal算法和Gander提出的Paraexp算法．Paraexp算法計(jì)算效率高，主要用于計(jì)算線性方程，當(dāng)電磁暫態(tài)數(shù)值仿真中存在大量非線性方程時(shí)，Paraexp方法的使用便受到了限制．

Parareal算法可用于計(jì)算非線性方程．該方法計(jì)算過程簡(jiǎn)單且收斂速度快，可應(yīng)用于時(shí)間依賴性問題的并行計(jì)算．本文將Parareal并行算法應(yīng)用于電磁暫態(tài)數(shù)值仿真中，以提高電磁暫態(tài)數(shù)值計(jì)算的效率．

1 Parareal算法介紹

考慮微分方程初始值問題：

(1)

式中，f：RM→RM且x：R→RM．

將時(shí)間窗Ω=(0，T)分成N個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間可表示為Ωn(Tn，Tn+1)，n=0，1，…，N-1，且ΔTn=Tn+1-Tn．考慮每個(gè)子區(qū)間的求解問題：

(2)

式中，Xn表示狀態(tài)變量x在Tn時(shí)刻的精確解，在每個(gè)子區(qū)間Ωn內(nèi)必須嚴(yán)格滿足式(1)．

(3)

(4)

F：RM·N→RM·N，式中下標(biāo)為時(shí)域子區(qū)間，Xn為每個(gè)子區(qū)間待求的初始值，用牛頓迭代法求解該系統(tǒng)：

(5)

式中，上標(biāo)k表示迭代次數(shù)，JF表示雅各比矩陣，牛頓迭代亦可寫成式(6)的形式：

(6)

則有

(7)

其中n=1，…，N-1．式(7)是二次收斂，收斂速度很快．然而事實(shí)上，對(duì)于非線性方程來(lái)說，計(jì)算其雅各比矩陣，會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間和計(jì)算機(jī)內(nèi)存．Parareal算法為解決這一問題提供了一種有效技術(shù)途徑．定義兩種運(yùn)算：F(Tn，Tn-1，Xn-1)表示通過數(shù)值算法F求得子區(qū)間Ωn內(nèi)φΔTn-1(Xn-1)的精細(xì)解；G(Tn，Tn-1，Xn-1)表示通過數(shù)值算法G求得各時(shí)間點(diǎn)Tn=n×ΔT時(shí)刻φΔTn-1(Xn-1)粗糙解，它可以采用更大的計(jì)算步長(zhǎng)、低階的數(shù)值方法甚至一種更為簡(jiǎn)單的模型計(jì)算得到．式(7)中各部分可近似表示為：

(8)

因此式(7)可表示為式(9)的格式：

(9)

綜上所述，Parareal算法的計(jì)算步驟可描述如下．為簡(jiǎn)單起見，將G(Tn，Tn-1，Xn-1)和F(Tn，Tn-1，Xn-1)簡(jiǎn)寫成G(Xn-1)和F(Xn-1)．圖1為Parareal迭代過程示意圖．

圖1 Parareal迭代過程

1)通過數(shù)值算法G采用大步長(zhǎng)ΔT求取狀態(tài)變量x在各時(shí)間點(diǎn)Tn=n×ΔT上一組初始解：

?1≤n

(10)

2)通過數(shù)值算法F采用小步長(zhǎng)Δδ在每個(gè)子區(qū)間Ωn=[Tn-1，Tn)單獨(dú)且同時(shí)進(jìn)行計(jì)算：

(11)

3)執(zhí)行串行校正：

(12)

2 電磁暫態(tài)計(jì)算

2.1 算例模型

FACTS(flexible AC transmission system)因其快速調(diào)節(jié)的特性被廣泛應(yīng)用于電網(wǎng)．統(tǒng)一潮流控制器(unified power flow controller，簡(jiǎn)稱UPFC)由變壓器和換流橋組成的并聯(lián)側(cè)和串聯(lián)側(cè)通過直流電容耦合而成，是FACTS技術(shù)中一種最典型、最完整的裝置．因此，對(duì)UPFC暫態(tài)特性的研究很有意義．

圖2為UPFC的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖，mE、δE為并聯(lián)換流器的調(diào)制比和觸發(fā)角，mB、δB為串聯(lián)換流器的調(diào)制比和觸發(fā)角，均由控制系統(tǒng)給出，VE和VB分別為并聯(lián)側(cè)和串聯(lián)側(cè)電壓．

對(duì)上述系統(tǒng)做如下假設(shè)：

①換流橋由理想閥元件組成，其正向漏電流為0．

②系統(tǒng)電壓為工頻正弦波，系統(tǒng)三相平衡．

以并聯(lián)側(cè)電路為例(串聯(lián)側(cè)同理)，其a相等值電路如圖3所示．

圖2 UPFC簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖

圖3 a相等值電路圖

(13)

(14)

式中，RE、LE分別為并聯(lián)側(cè)每相橋臂的等效電阻和電感，Rs為開關(guān)電阻，vEta和iEa分別為UPFC并聯(lián)側(cè)a相交流電壓和電流，vFa和vHn分別為F點(diǎn)和H點(diǎn)的電壓．

(15)

系統(tǒng)三相平衡，則有

(16)

用開關(guān)函數(shù)在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的基本波形dEj和dBj來(lái)代替SEj和SBj

(17)

(18)

(19)

式中，vEtj和vBtj分別為UPFC并聯(lián)側(cè)和串聯(lián)側(cè)的每相交流電壓，iEtj和iBtj分別為UPFC并聯(lián)側(cè)和串聯(lián)側(cè)的每相交流電流，j=a，b，c．vdc為直流側(cè)電壓，Cdc為直流電容，交流側(cè)時(shí)域動(dòng)態(tài)模型：

(20)

直流側(cè)時(shí)域動(dòng)態(tài)模型：

(21)

2.2 算例測(cè)試結(jié)果

上述系統(tǒng)中UFPC參數(shù)為：并聯(lián)側(cè)電壓為170 V，串聯(lián)側(cè)電壓為10 V，系統(tǒng)頻率50 Hz，RE=0.1 Ω，RB=0.1 Ω，LE=500 μH，LB=500 μH，Cdc=1 mH，RS=0 Ω(忽略開關(guān)阻抗)．t=0.06 s時(shí)，并聯(lián)側(cè)調(diào)制比mE由0.3階躍到0.7，串聯(lián)側(cè)調(diào)制比mB由0.6跳變到0.3，二者均在t=0.12 s時(shí)恢復(fù)初始值，t=0.18 s時(shí)，給并聯(lián)側(cè)電壓施加擾動(dòng)，其值從初始的170 V下降到140 V，然后在t=0.24 s時(shí)恢復(fù)初始值，總仿真時(shí)長(zhǎng)0.3 s．

圖4～6分別是采用Parareal算法并行計(jì)算與4階Runge-Kutta算法串行計(jì)算得到的結(jié)果．Parareal并行算法中，大步長(zhǎng)ΔT取1 ms，采用隱式梯形法進(jìn)行初始值預(yù)估；小步長(zhǎng)Δδ取0.1 ms，子區(qū)間內(nèi)并行計(jì)算方法采用4階Runge-Kutta算法．

圖4 并聯(lián)側(cè)a相電流

圖5 串聯(lián)側(cè)a相電流

圖6 直流側(cè)電壓

表1是算法收斂性測(cè)試結(jié)果，圖7是在不同的并行度N下，Parareal算法相對(duì)于傳統(tǒng)串行算法獲得的加速比曲線．加速比是衡量Parareal并行算法性能的重要指標(biāo)．當(dāng)加速比大于1時(shí)，表示該算法的計(jì)算速度優(yōu)于傳統(tǒng)串行計(jì)算，加速比越大，則該算法計(jì)算效率越高．從圖7可以看到，隨著并行度的增大，加速比也在增大，當(dāng)并行度為20時(shí)，加速比可達(dá)到6.25．

表1 算法收斂性測(cè)試結(jié)果

圖7 加速比曲線

3 結(jié) 論

Parareal算法處理非線性方程時(shí)，具有過程簡(jiǎn)單、收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，其收斂速度已被證明為超線性收斂．將Parareal并行算法應(yīng)用于電磁暫態(tài)數(shù)值仿真計(jì)算中，算例結(jié)果表明該方法并行度高，可獲得有效的加速比，在提高電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)數(shù)值仿真速度方面效果顯著．理論上，當(dāng)使用大量處理器時(shí)，該算法可以獲得的仿真計(jì)算速度與電力系統(tǒng)實(shí)際動(dòng)態(tài)過程一致．

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