基于Udwadia-Kalaba理論的自動(dòng)離合器位置跟蹤控制?

張 琰，趙 韓，黃 康，姜建滿

(1.合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，合肥 230009； 2.安徽江淮汽車集團(tuán)股份有限公司，合肥 230009)

前言

對(duì)于具有相互約束的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)如何進(jìn)行動(dòng)力學(xué)的建模是分析動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。自Lagrange建立分析力學(xué)以來(lái)，眾多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家在這一領(lǐng)域都做出了重要的貢獻(xiàn)。如Maggi方程、Boltzmann-Hamel方程、Gibbs-Appell方程、Udwadia-Kalaba方程等，但以上大多數(shù)研究中都是基于達(dá)朗貝爾(d’Alembert)原理和虛位移原理。針對(duì)約束系統(tǒng)，可以利用拉格朗日(Lagrange)乘子進(jìn)行約束力的有效計(jì)算，但在實(shí)際應(yīng)用中有一定的困難，尤其是針對(duì)復(fù)雜的多自由度機(jī)械系統(tǒng)。文獻(xiàn)[1]～文獻(xiàn)[4]中提出了Udwadia-Kalaba方程，此方法可在不出現(xiàn)Lagrange乘子的條件下，相對(duì)簡(jiǎn)單地求出完整約束和非完整約束狀態(tài)下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，并給出解析解，成為分析動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域里的一項(xiàng)重大突破。

基于Udwadia-Kalaba方程的約束控制是目前伺服約束控制中較為前沿的研究方向之一。Udwadia首先應(yīng)用伺服約束的控制方法對(duì)非線性機(jī)械系統(tǒng)的軌跡進(jìn)行跟蹤控制，并進(jìn)行了初步的研究[5]。與傳統(tǒng)的非線性機(jī)械系統(tǒng)的控制相比，該伺服控制的方法在不增加運(yùn)算的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)械系統(tǒng)軌跡的精確跟蹤控制。利用Udwadia等的研究成果，文獻(xiàn)[6]～文獻(xiàn)[10]中較為詳細(xì)地提出了機(jī)械系統(tǒng)伺服約束控制的概念和如何利用伺服控制來(lái)實(shí)現(xiàn)約束力的設(shè)計(jì)。在利用Udwadia-Kalaba方程對(duì)不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)魯棒控制方面，文獻(xiàn)[11]～文獻(xiàn)[13]中也進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[14]中在Udwadia-Kalaba方程基礎(chǔ)之上，對(duì)完整和非完整約束狀態(tài)下非線性機(jī)械系統(tǒng)的控制進(jìn)行了深入地研究，并提出一種狀態(tài)反饋控制器。

針對(duì)離合器位置跟蹤控制，目前已有很多先進(jìn)的控制方法，文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]中提出了反饋線性化的方法，將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性控制問(wèn)題，再根據(jù)線性控制理論進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。但是該方法是建立在系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)之上，當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化后，該方法的控制效果將變差。文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]中給出了滑模變結(jié)構(gòu)的控制方法，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)偏離滑模切換面的程度來(lái)切換控制器的控制參數(shù)或結(jié)構(gòu)，進(jìn)而使系統(tǒng)按照切換面確定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，該控制具有較好的魯棒性。但實(shí)際系統(tǒng)中存在著慣性、固定空間滯后和狀態(tài)測(cè)量誤差，這些現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致高頻抖振的發(fā)生，這種抖振將會(huì)使離合器的跟蹤控制效果變差[19-20]。由于離合器在起步、換擋時(shí)的接合時(shí)間很短(大約0.7～2s)，采用較復(fù)雜的控制方法在短時(shí)間內(nèi)完成系統(tǒng)的辨識(shí)和矯正不太合適，因此必須采用簡(jiǎn)單且魯棒性較好的控制算法。

本文中將離合器的接合規(guī)律視為系統(tǒng)的約束，用伺服控制的方式來(lái)施加約束力，并利用Udwadia-Kalaba方程來(lái)分析求解約束力。建立電流-位置雙閉環(huán)控制系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)離合器位置的精確跟蹤控制，通過(guò)試驗(yàn)與傳統(tǒng)的控制方法對(duì)比控制效果。

1 約束機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 約束機(jī)械系統(tǒng)

對(duì)于某機(jī)械系統(tǒng)，取狀態(tài)變量的廣義坐標(biāo)表述為q＝[q1，q2，…，qn]T，其系統(tǒng)動(dòng)能為

式中：M(q，t)＝MT(q，t)為n×n維對(duì)稱且正定的質(zhì)量矩陣；N(q，t) ∈R1×n且P(q，t) ∈R。

該系統(tǒng)不受外界約束時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程為

將式(1)代入式(2)得非約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

其中

此處，可視為該非約束機(jī)械系統(tǒng)所受的合外力。

假設(shè)該機(jī)械系統(tǒng)受到一組約束：

式中：A li(q，t)和A l(q，t)都為n×1維列矩陣，式中表示的約束可以是完整約束、非完整約束、定常約束和非定常約束等。式(3)的Pfaffian形式為

假設(shè)虛位移為δq∈Rn，則

上述約束寫成矩陣的形式為

其中：A＝[A li]m×n；b＝[b1b2…bm]T

該“約束機(jī)械系統(tǒng)”的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：可視為由外加約束所造成的約束力。

拉格朗日力學(xué)中，用Lagrange乘子表述約束時(shí)最常見(jiàn)的系統(tǒng)建模法。該法中，約束力表述為

式中λ∈Rm為L(zhǎng)agrange乘子。因而式(5)可表述為

式(3)和式(6)聯(lián)立可解出系統(tǒng)的廣義加速度q¨∈Rm和Lagrange乘子λ∈Rn，但這些解一般不能以解析解的形式給出。因此，Lagrange的建模方法不能用于通用的系統(tǒng)特性分析(如穩(wěn)定性和收斂性等)和控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[4]。

1.2 Udwadia-Kalaba理論

假設(shè)在約束條件式(4)下，有一組n維向量v為系統(tǒng)某瞬時(shí)位移，則

Av＝0

令v＝M-1/2u，B＝AM-1/2則有

Bu＝0

式中：u為n維非零向量，B為約束矩陣。

令為n維列矩陣，由式(4)計(jì)算得

式中：y為任意n維向量；I為單位矩陣。

由于約束力在虛位移上所做的功之和為零，則

由以上定義，

將式(7)帶入式(8)得

因?yàn)锽u＝0，uTBT＝0，根據(jù)Moore-Penrose廣義逆矩陣的性質(zhì)可知，uTB+＝0，故式(9)可簡(jiǎn)化為

將式(10)代入式(7)得

由定義得

將上式兩邊同時(shí)乘以M，并代入B＝AM-1/2得

式(12)被稱為Udwadia-Kalaba動(dòng)力學(xué)方程[21]，于是，受約束機(jī)械系統(tǒng)所受約束力為

2 離合器位置跟蹤控制

2.1 離合器接合過(guò)程的動(dòng)力學(xué)模型

離合器及其執(zhí)行機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)圖如圖1所示。其中，膜片彈簧簡(jiǎn)化成杠桿、彈簧和阻尼系統(tǒng)。膜片彈簧小端連接分離軸承，其小端位移λ2等于分離軸承的軸向位移，膜片彈簧大端連接壓盤，其大端位移λ1等于壓盤的軸向位移。

圖2為膜片彈簧的載荷-變形特性曲線。由離合器接合過(guò)程和膜片彈簧工作狀態(tài)分析可知，離合器的接合可以分為以下3個(gè)階段。

(1)空行程階段

圖1 離合器及其執(zhí)行機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 膜片彈簧的載荷 變形特性

從分離狀態(tài)到接合開(kāi)始時(shí)，膜片彈簧小端處于最大位移處，分離指小端施加的載荷F2從最大值開(kāi)始逐漸減小，此時(shí)，膜片大端尚未與壓盤接觸，膜片彈簧大端載荷F1＝0，即空行程階段。此時(shí)，膜片彈簧特性取F2＝f(λ2f)特性階段的c2b2，即分離軸承小端的載荷位移關(guān)系為

式中：R為膜片彈簧外徑；ri為膜片彈簧內(nèi)半徑；rf為膜片彈簧承載半徑；r0為膜片彈簧小端半徑；L為膜片彈簧外承載半徑；l為膜片彈簧內(nèi)承載半徑；E為膜片彈簧彈性模量；μ為膜片彈簧泊松比；h為膜片彈簧內(nèi)錐高；t為膜片彈簧板厚。

(2)滑摩階段

隨著膜片彈簧小端位移的減小，大端碟簧部分開(kāi)始接觸壓盤，由于碟簧部分為剛性，因此大端的變形量保持不變。大端與壓盤之間的載荷F1從零開(kāi)始增大(大端載荷特性曲線為O2b1段)，直到離合器從動(dòng)盤與飛輪轉(zhuǎn)速同步。同時(shí)，分離指小端施加的載荷F2繼續(xù)減小，由膜片彈簧特性分析可知，該階段小端載荷線性減小至零(小端特性曲線為b2O2段)，即分離軸承小端的載荷位移關(guān)系為

其中

(3)同步階段

從離合器從動(dòng)盤與飛輪同步開(kāi)始，至離合器傳遞轉(zhuǎn)矩不再增長(zhǎng)為同步階段，離合器大端恢復(fù)至預(yù)壓緊狀態(tài)(點(diǎn)a1)。大端載荷變化為b1a1段，小端在該階段沒(méi)有載荷。

分離軸承的受力分析如圖3所示，撥叉對(duì)分離軸承的軸向壓力為Qc，即理想的約束力，膜片彈簧對(duì)分離軸承的軸向壓力為F′2，跟膜片彈簧小端的軸向載荷F2為作用力和反作用力，即無(wú)外在約束(理想控制力)時(shí)，由于彈性恢復(fù)力，膜片彈簧仍能夠恢復(fù)到初始狀態(tài)，其載荷和變形關(guān)系為式(14)。分離軸承的運(yùn)動(dòng)方程為

圖3 分離軸承受力分析

2.2 Udwadia-Kalaba理論在離合器位置控制中的應(yīng)用

離合器執(zhí)行機(jī)構(gòu)的原理框圖如圖4所示。速度環(huán)需要使用光電編碼器，由于汽車機(jī)艙的工作環(huán)境比較惡劣，光電編碼器對(duì)環(huán)境要求較高，考慮成本和可靠性等因素，本文中只使用電流-位置雙閉環(huán)控制系統(tǒng)。電流控制器采用PID控制，輸出為電機(jī)PWM值。位置控制器采用上節(jié)闡述的Udwadia-Kalaba控制方法。

圖4 自動(dòng)離合器位置跟蹤控制原理圖

將相關(guān)參數(shù)代入式(5)得

空行程階段：

滑摩階段：

分離軸承的約束為文獻(xiàn)[21]中離合器的接合規(guī)律，將該控制規(guī)律進(jìn)行最小二乘法曲線擬合：

對(duì)上式約束求時(shí)間的2階導(dǎo)數(shù)，并代入式(4)得

根據(jù)式(12)，該分離軸承的運(yùn)動(dòng)方程為

代入以上各參數(shù)，對(duì)空行程階段和滑摩階段分別進(jìn)行詳細(xì)解析。

3 離合器跟蹤控制試驗(yàn)

本文中研究的自動(dòng)離合器執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用電磁閥—液壓式如圖5所示，它結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，控制精度高，空間布置方便，主要由液壓泵、高速開(kāi)關(guān)閥等部件組成。它利用PWM信號(hào)控制高速開(kāi)關(guān)閥的通斷時(shí)刻，直接控制離合器工作油缸的充放油速度，從而實(shí)現(xiàn)離合器的分離和接合。由圖5可知，離合器接合位置為分離軸承的軸向位移，即膜片彈簧小端的軸向位移xc＝λ2。位移傳感器檢測(cè)分離油缸內(nèi)活塞的實(shí)時(shí)位移xp，經(jīng)分離撥叉機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系可折合到分離軸承處的軸向位移，即滿足關(guān)系式xp＝f(xc)。

圖5 自動(dòng)離合器執(zhí)行機(jī)構(gòu)的工作原理圖

3.1 臺(tái)架試驗(yàn)

離合器位置跟蹤控制試驗(yàn)在AMT試驗(yàn)臺(tái)架上進(jìn)行，離合器當(dāng)前接合位置由位置傳感器進(jìn)行檢測(cè)。目前采用較多的是“快—慢—快”的離合器接合規(guī)律[22]，如圖6所示。AB段為空行程階段，此時(shí)沒(méi)有轉(zhuǎn)矩的傳遞，為減少動(dòng)力中斷時(shí)間，減小沖擊感，應(yīng)盡快接合離合器；BC段為滑摩階段，該階段應(yīng)調(diào)整離合器的接合速度，不宜過(guò)快以滿足換擋舒適性，又不宜過(guò)慢以免增大離合器的磨損；CD段為同步階段，為縮短換擋時(shí)間應(yīng)以最大接合速度接合離合器。

本文中采用馬瑞利某款離合器，后備系數(shù)為1.5，平均壓力為0.3MPa，摩擦片外徑為250mm，內(nèi)徑為155mm，厚度為3.5mm。本文中采取的A/D轉(zhuǎn)換器的分辨率為10bit，離合器的總行程為45mm。AMT試驗(yàn)臺(tái)架如圖7所示，主要由AMT控制系統(tǒng)和試驗(yàn)設(shè)備構(gòu)成，試驗(yàn)設(shè)備主要有電動(dòng)機(jī)、轉(zhuǎn)矩儀、AMT系統(tǒng)(帶有離合器總成)、增速器、換向器、電渦流測(cè)功機(jī)和慣性飛輪組。

圖6 自動(dòng)離合器的接合規(guī)律曲線

圖7 AMT試驗(yàn)臺(tái)架布置示意

車輛行駛過(guò)程中受到各種阻力，經(jīng)過(guò)換算求出變速器輸出軸上的阻力矩，由試驗(yàn)臺(tái)架通過(guò)電渦流測(cè)功機(jī)對(duì)增速器的輸出軸進(jìn)行加載來(lái)模擬。在給定試驗(yàn)工況下，經(jīng)換算求出測(cè)功機(jī)上的加載轉(zhuǎn)矩

Tdm(t)為

式中：ird為變速器輸出軸到車輪的傳動(dòng)比；irg為臺(tái)架試驗(yàn)上變速器輸出軸到測(cè)功機(jī)的傳動(dòng)比；ηrd為變速器輸出軸到車輪的傳動(dòng)效率；ηrg為臺(tái)架試驗(yàn)上變速器輸出軸到測(cè)功機(jī)的傳動(dòng)效率。

車輛的加速阻力在臺(tái)架試驗(yàn)上通過(guò)對(duì)慣性飛輪組加載來(lái)模擬，包括平移質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)質(zhì)量?jī)刹糠?，由于旋轉(zhuǎn)質(zhì)量系數(shù)較難獲得，因此，此處采取能量等效的原理，將平移質(zhì)量換算成轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，慣性飛輪組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jrg為

式中：M車為整車質(zhì)量為車輪半徑；I車輪為所有車輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的總和。

在試驗(yàn)臺(tái)上模擬車輛在平直的干燥瀝青路面上縮短均勻加速，實(shí)際操作為節(jié)氣門開(kāi)度均勻變化，在換擋過(guò)程中節(jié)氣門關(guān)閉。根據(jù)以上行駛工況，節(jié)氣門開(kāi)度的變化率反映了駕駛員的操作意圖，電渦流測(cè)功機(jī)根據(jù)式(16)模擬道路情況，慣性飛輪組根據(jù)式(17)來(lái)模擬加速阻力。根據(jù)節(jié)氣門開(kāi)度和道路負(fù)載對(duì)試驗(yàn)臺(tái)控制系統(tǒng)進(jìn)行初始化，通過(guò)調(diào)節(jié)節(jié)氣門開(kāi)度的變化和電渦流測(cè)功機(jī)的勵(lì)磁電流來(lái)達(dá)到不同的控制要求，試驗(yàn)參數(shù)如表1所示。

表1 臺(tái)架試驗(yàn)參數(shù)

為驗(yàn)證本文中提出的基于Udwadia-Kalaba理論的離合器位置跟蹤控制性能，分別進(jìn)行了基于Udwadia-Kalaba理論的控制和常規(guī)PID控制的試驗(yàn)。通過(guò)對(duì)比，取2擋升3擋的部分離合器位置跟蹤試驗(yàn)曲線結(jié)果圖進(jìn)行說(shuō)明。圖8(a)和圖8(b)為采取常規(guī)PID控制的離合器位置跟蹤結(jié)果曲線，圖8(c)和圖8(d)為采取U-K控制的離合器位置跟蹤結(jié)果曲線。

圖8 常規(guī)PID控制和U-K控制離合器位置跟蹤曲線和誤差

圖8(a)和圖8(c)中的曲線1表示離合器目標(biāo)接合位置曲線，曲線2表示不同控制策略下離合器的實(shí)際接合位置曲線。由圖可見(jiàn)，常規(guī)PID控制下，離合器接合過(guò)程反應(yīng)較慢出現(xiàn)比較嚴(yán)重的滯后和超調(diào)，大的超調(diào)意味著更大的接合速度，導(dǎo)致車輛在換擋過(guò)程中出現(xiàn)較大的沖擊，使離合器磨損加劇，壽命縮短。通過(guò)對(duì)比誤差曲線，可以明顯看出，U-K控制方法的跟蹤誤差最大值比常規(guī)PID控制的最大誤差減小62.5%左右，且振蕩幅度明顯減小，顯示出優(yōu)越的動(dòng)態(tài)控制性能。從圖中還可以看出，最大誤差出現(xiàn)在速度改變最大時(shí)，這是由于系統(tǒng)慣性引起的，無(wú)法消除，只能通過(guò)一定的手段來(lái)減小。

3.2 實(shí)車試驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文中提出的離合器跟蹤控制方法的效果，在實(shí)車上分別進(jìn)行了不同擋位的升擋和降擋試驗(yàn)，圖9為試驗(yàn)樣車系統(tǒng)框架圖，表2為AMT試驗(yàn)樣車的主要參數(shù)表。

圖9 試驗(yàn)樣車系統(tǒng)框架圖

表2 AMT試驗(yàn)樣車主要參數(shù)

在良好的瀝青路面進(jìn)行整車換擋試驗(yàn)，原地起步，逐漸從1擋連續(xù)換擋至5擋，然后松開(kāi)加速踏板，逐漸從5擋降至1擋。在換擋試驗(yàn)過(guò)程中，當(dāng)車輛達(dá)到換擋車速時(shí)，節(jié)氣門開(kāi)度迅速減小至零，離合器開(kāi)始分離，離合器控制系統(tǒng)發(fā)出退擋、選擋和換擋的控制指令給執(zhí)行機(jī)構(gòu)，操縱執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)動(dòng)作，然后離合器進(jìn)行接合，同時(shí)節(jié)氣門開(kāi)度根據(jù)TCU的控制策略逐漸恢復(fù)至目標(biāo)開(kāi)度，完成換擋過(guò)程。圖10(a)和圖10(b)分別示出了1擋升2擋的仿真和實(shí)車試驗(yàn)的對(duì)比結(jié)果，實(shí)車試驗(yàn)位置跟蹤誤差的最大值為1.22mm，而仿真的位置跟蹤誤差的最大值為0.85mm。試驗(yàn)時(shí)由于存在諸多的外界干擾，加上所建模型也存在一定的簡(jiǎn)化，使仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在一定的偏差，但從圖中曲線可以看出兩種結(jié)果基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文中所設(shè)計(jì)的離合器接合位置跟蹤控制方法的可行性。圖11和圖12分別為升擋和降擋過(guò)程離合器位置跟蹤和誤差曲線。

圖10 1擋-2擋試驗(yàn)對(duì)比曲線

由圖11可見(jiàn)，離合器位置跟蹤誤差最大值分別為1.71，1.65和1.95mm，離合器最大行程為45mm，故位置誤差百分比為3.8%，3.67%和4.33%，滿足一般跟蹤誤差在5%以內(nèi)的精度要求。由圖12可見(jiàn)，離合器位置跟蹤誤差最大值分別為2.08，2.15和2.14mm，位置誤差百分比分別為4.62%，4.78%和4.76%，也都滿足誤差在5%以內(nèi)的精度要求。可以看出，本文中提出的關(guān)于離合器位置跟蹤控制的Udwadia-Kalaba方法在實(shí)車試驗(yàn)上得到了較好的驗(yàn)證。在換擋試驗(yàn)中，由于系統(tǒng)存在慣性，離合器位置跟蹤有一定的滯后，誤差最大值出現(xiàn)在速度改變方向的時(shí)段。升擋和降擋過(guò)程中，離合器的實(shí)際位置都能較好地跟蹤目標(biāo)位置，說(shuō)明基于U-K理論的跟蹤控制系統(tǒng)具有較好的自適應(yīng)性和魯棒性。

圖11 升擋位置跟蹤和跟蹤誤差曲線

圖12 降擋位置跟蹤和跟蹤誤差曲線

4 結(jié)論

AMT自動(dòng)離合器位置控制是一個(gè)模型較為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，本文中運(yùn)用目前較為前沿的基于Udwadia-Kalaba方程的伺服約束控制對(duì)離合器位置跟蹤進(jìn)行控制。設(shè)計(jì)電流-位置雙閉環(huán)控制系統(tǒng)將離合器接合規(guī)律視為一種約束，為滿足該約束要求給系統(tǒng)施加一定的伺服約束力，利用Udwadia-Kalaba方程對(duì)伺服約束力進(jìn)行求解。分別進(jìn)行了臺(tái)架和實(shí)車試驗(yàn)，結(jié)果表明，此控制器具有較好的魯棒性和動(dòng)態(tài)控制性能，基于Udwadia-Kalaba理論的離合器位置跟蹤控制能較好地實(shí)現(xiàn)離合器位置的準(zhǔn)確跟蹤。

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