整個(gè)非干涉光場(chǎng)的相位檢索算法研究

吳海燕

(安徽三聯(lián)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

3D光場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)需要預(yù)先獲取場(chǎng)景的深度信息，但是光場(chǎng)的振蕩頻率極高，常規(guī)光學(xué)傳感器只能記錄光場(chǎng)強(qiáng)度，丟失了包含物體形狀細(xì)節(jié)和深度等的相位信息。相位檢索技術(shù)是指利用直接測(cè)量得到的強(qiáng)度信息通過(guò)計(jì)算的方法得到相位，為全光場(chǎng)重構(gòu)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)3D顯示提供所需要的數(shù)據(jù)信息。經(jīng)典的非干涉相位恢復(fù)技術(shù)通過(guò)求解強(qiáng)度傳輸方程(Intensity Transport Equation，TIE)從強(qiáng)度中恢復(fù)相位，在相干光場(chǎng)中獲得了廣泛應(yīng)用。還有一種經(jīng)典算法是迭代算法。其中，迭代相位恢復(fù)使用物面和像面的強(qiáng)度數(shù)據(jù)來(lái)恢復(fù)輸入和輸出平面上的光場(chǎng)相位分布[1]，多數(shù)時(shí)候能夠很快地收斂并得到誤差較小的結(jié)果，但在實(shí)際計(jì)算中，情況并不是很理想。強(qiáng)度傳輸方程是Teague[2]于1983 年由亥姆霍茲方程在傍軸近似下首次推導(dǎo)得到的。該方法不是通過(guò)傳統(tǒng)的衍射計(jì)算公式來(lái)迭代恢復(fù)相位，而是在光強(qiáng)軸向微分以及光強(qiáng)分布已知的情況下，通過(guò)數(shù)值求解光強(qiáng)傳輸方程直接地獲取相位信息，從而不需要任何的迭代求解過(guò)程，但是只適合近場(chǎng)。所以這些經(jīng)典的算法各自存在優(yōu)缺點(diǎn)，還有很大的改進(jìn)空間。

基于兩種算法的適用情況，從整個(gè)衍射光場(chǎng)出發(fā)，本文提出了不同距離的衍射光場(chǎng)的相位檢索算法模型，探索了適合整個(gè)非干涉光場(chǎng)的相位檢索算法的分類。我們根據(jù)菲涅爾數(shù)[3]將整個(gè)衍射光場(chǎng)分為近場(chǎng)、中場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)。在衍射光場(chǎng)的近場(chǎng)采用TIE方程來(lái)獲取相位的確定解，中場(chǎng)用TIE方程與角譜迭代[4]融合的方法來(lái)恢復(fù)相位信息，而在遠(yuǎn)場(chǎng)直接采用角譜迭代方法來(lái)獲取相位信息。實(shí)驗(yàn)證明不同區(qū)域用不同的方法就可以將整個(gè)非干涉光場(chǎng)的相位很好的恢復(fù)出來(lái)。

1 非干涉光場(chǎng)相位恢復(fù)算法

1.1 TIE方程與菲涅爾數(shù)

在菲涅爾場(chǎng)相位恢復(fù)可以用下面的關(guān)于φ(x,y)非線性完整方程來(lái)描述：

方程(2)就是菲涅爾積分，λ=2π/k是波長(zhǎng)，U0(x,y)=A(x,y)exp{iφ(x,y)}是物體平面上的未知復(fù)振幅，IR(x,y)是測(cè)量中在圖像平面z=R處的強(qiáng)度分布值(如圖1所示)。物體平面強(qiáng)度為I0(x,y)≡|A(x,y)|2。

上式(2)可以展開(kāi)成一個(gè)收斂的冪級(jí)數(shù)：

(3)

Fr[A,φ,λ,R]≈exp(ikR)[U0(x,y)

(4)

圖1 相位恢復(fù)算法實(shí)驗(yàn)示意圖

方程(4)描述了從物體平面z=0到圖像平面z=R之間的自由空間傳播，但是要滿足條件R<

-h·[I0(x,y)hφ(x,y)]?(2πNF)[IR(x,y)]

(5)

方程(5)可以用來(lái)求解相位信息，如公式所示，只要知道物體的強(qiáng)度分布I0(x,y)和圖像平面的強(qiáng)度分布IR(x,y)，就可以根據(jù)方程(5)求解相位φ(x,y)。然而，方程(5)是限制在菲涅爾數(shù)NF>>1或傳播距離R<

1.2 角譜迭代算法

根據(jù)平面角譜傳播理論，用U1表示物平面的復(fù)振幅函數(shù)：

U1(x1,y1)=ρ1(x1,y1)exp[iφ1(x1,y1)]

(6)

而用U2表示成像平面的復(fù)振幅函數(shù)：

U2(x2,y2)=ρ2(x2,y2)exp[iφ2(x2,y2)]

(7)

根據(jù)角譜傳播理論，利用角譜傳遞函數(shù)就可以衍射計(jì)算出物平面和像平面光場(chǎng)。該算法在相同條件下，傳播距離越遠(yuǎn)效果越好，這點(diǎn)在后面實(shí)驗(yàn)部分會(huì)驗(yàn)證。所以該算法適合衍射光場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)相位計(jì)算。該算法的初始相位是設(shè)定的隨機(jī)相位，在后面的實(shí)驗(yàn)中用到的TIE+角譜迭代算法是用TIE方程解出的相位作為該算法的初始相位。算法的流程圖如圖2所示。

2 整個(gè)非干涉光場(chǎng)的相位檢索

2.1 整個(gè)非干涉光場(chǎng)相位檢索算法分類

由上述TIE方程推導(dǎo)求解過(guò)程可以知道，TIE方程只適合于近場(chǎng)。根據(jù)菲涅爾數(shù)NF來(lái)劃分整個(gè)衍射光場(chǎng)，再根據(jù)不同相位檢索算法的優(yōu)缺點(diǎn)，將整個(gè)非干涉光場(chǎng)的相位檢索分為三類，如表1所示。

圖2 角譜迭代算法流程圖

Fresnel數(shù)NF遠(yuǎn)大于1NF約為1NF遠(yuǎn)小于1區(qū)域(物體到圖像的距離)近場(chǎng)(geometric)中間場(chǎng)(Fresnel)遠(yuǎn)場(chǎng)(Fraunhofer)相位線性性(圖像對(duì)比度的本質(zhì))線性(Laplacian)準(zhǔn)線性(hologram)非線性(diffractionpattern)相位恢復(fù)方法TIETIE+角譜迭代角譜迭代

2.2 模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

假設(shè)圖3是物體的相位，其相位值為[-0.45π,0.9π]，采樣間隔h=10-5，波長(zhǎng)λ=10-10m，假定物體平面的強(qiáng)度分布是均勻的，即I0(x,y)≡1。整個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)采用MATLAB軟件仿真實(shí)現(xiàn)。

圖3 假想物體相位

2.2.1 近場(chǎng)衍射區(qū)域的相位恢復(fù)實(shí)驗(yàn)

近場(chǎng)區(qū)域，NF>>1或z<

圖4 衍射的近場(chǎng)區(qū)域不同距離TIE的恢復(fù)結(jié)果

2.2.2 中場(chǎng)衍射區(qū)域的相位恢復(fù)實(shí)驗(yàn)

將菲涅爾近場(chǎng)與夫朗和費(fèi)之間的區(qū)域稱之為中場(chǎng)衍射區(qū)域，即NF≈1，可以求出傳播距離z≈1m。同樣，取1m左右的三個(gè)傳播距離：z=0.1m,1m,10m。為了證明在中場(chǎng)采用TIE+角譜迭代方法效果最好，做了三組實(shí)驗(yàn)對(duì)比。圖5是在中場(chǎng)使用TIE方程的方法，從結(jié)果來(lái)看，傳播距離遠(yuǎn)的時(shí)候效果很差，與TIE只適合近場(chǎng)的結(jié)論相符，所以該區(qū)域不適合用TIE方程的方法。在同樣的距離情況下單獨(dú)用迭代角譜來(lái)恢復(fù)相位信息，分別迭代100次，可以得到如圖6所示結(jié)果，而且傳播距離越遠(yuǎn)效果越好。由于角譜迭代適用于遠(yuǎn)場(chǎng)，所以在這個(gè)區(qū)域效果不是最好的。

因此，可以將TIE得到的相位作為迭代角譜的初始輸入相位，即采用TIE+角譜迭代的方法，迭代100次，相位恢復(fù)的結(jié)果如圖7所示，與上面的圖5和圖6相比較可以看出結(jié)果是最好的。于是，在中場(chǎng)區(qū)域，采用TIE與角譜迭代融合的方法恢復(fù)相位信息。

圖5 衍射中場(chǎng)區(qū)域不同距離TIE的相位恢復(fù)結(jié)果

圖6 衍射中場(chǎng)區(qū)域不同距離迭代角譜的相位恢復(fù)結(jié)果

圖7 衍射中場(chǎng)區(qū)域不同距離TIE+迭代角譜的相位恢復(fù)結(jié)果

2.2.3 遠(yuǎn)場(chǎng)衍射區(qū)域的相位恢復(fù)實(shí)驗(yàn)

在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，即夫朗和費(fèi)區(qū)，NF<<1，可以計(jì)算出z>>1m，我們?nèi)∵h(yuǎn)遠(yuǎn)大于1m的2個(gè)距離：z=100m,1000m。TIE方程方法不適合使用，而迭代角譜方法適合遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，所以用迭代角譜方法迭代100次就可以得到較不錯(cuò)的結(jié)果，如圖8所示。

圖8 衍射遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域不同距離迭代角譜的相位恢復(fù)結(jié)果

綜上所述，模擬實(shí)驗(yàn)證明在不同衍射光場(chǎng)區(qū)域用不同的相位恢復(fù)算法就可以將整個(gè)衍射光場(chǎng)的相位很好地恢復(fù)出來(lái)，結(jié)果如圖4、圖7、圖8所示。

2.2.4 兩種算法在時(shí)間上的比較

TIE方程的解法只是數(shù)值計(jì)算，用MATLAB求解速度較快，而角譜迭代算法收斂速度相對(duì)較慢。兩種算法在時(shí)間上的比較如表2所示。所以，TIE方程方法在計(jì)算時(shí)間上占明顯優(yōu)勢(shì)而角譜迭代算法相對(duì)要犧牲較多的時(shí)間。

表2 算法時(shí)間比較

3 結(jié)論

非干涉光場(chǎng)的相位恢復(fù)算法主要有求解TIE方程和迭代算法兩種，前者適用于衍射近場(chǎng)區(qū)域而后者適用于衍射遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域。兩種算法各有缺點(diǎn)，為了得到更好的結(jié)果也可以將兩者結(jié)合起來(lái)，即將求解TIE方程得到的相位值作為迭代算法的迭代初始值。筆者從整個(gè)非干涉光場(chǎng)角度出發(fā)，討論了適合整個(gè)非干涉光場(chǎng)的相位檢索的算法模型，而且用模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法模型，該算法模型對(duì)整個(gè)衍射場(chǎng)的相位都作出了很好的恢復(fù)。

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