求解0-1背包問(wèn)題的混沌二進(jìn)制烏鴉算法

劉雪靜，賀毅朝，吳聰聰，李 靚

1.河北地質(zhì)大學(xué) 信息工程學(xué)院，石家莊 050031

2.中國(guó)郵政集團(tuán)公司 河北省郵政信息技術(shù)局，石家莊 050011

1 引言

0-1背包問(wèn)題（0-1 Knapsack Problem，0-1KP）[1-2]是經(jīng)典的NP-hard問(wèn)題，在項(xiàng)目選擇、貨物裝載和投資決策等方面具有重要的理論與應(yīng)用價(jià)值。0-1KP的一般描述為：假定有n個(gè)不同的物品，重量集合W={w1,w2,…,wn}，價(jià)值集合P={p1,p2,…,pn}，背包最大載重C。0-1KP為從n個(gè)不同物品中選擇若干個(gè)裝入背包，在不超過(guò)背包載重C的前提下使其價(jià)值之和最大。0-1KP的數(shù)學(xué)模型表示如下，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趇個(gè)物品被裝入背包時(shí)xi=1。

烏鴉算法（Crow Search Algorithm，CSA）[3]是一種新近被提出的新穎演化算法，由于該算法中僅有感知概率（Awareness Probability，AP）和飛行長(zhǎng)度（flight length，fl）兩個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)，是一個(gè)參數(shù)較少的簡(jiǎn)單的算法，故CSA在參數(shù)設(shè)置方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。由于烏鴉算法提出時(shí)間較短，應(yīng)用領(lǐng)域較少，并且還未見(jiàn)其在0-1KP問(wèn)題中的應(yīng)用研究，為此本文首先提出利用烏鴉算法求解0-1KP。

2 相關(guān)研究工作

目前，人們相繼研究了基于不同演化算法求解0-1KP的方法，并取得了許多可以借鑒的研究成果。例如，賀毅朝等[4]提出第一個(gè)二進(jìn)制差分演化算法求解0-1KP問(wèn)題，并證明了其收斂性；武慧虹等[5]提出利用克隆選擇免疫遺傳算法求解0-1KP問(wèn)題；吳聰聰?shù)萚6]利用貪心二進(jìn)制蝙蝠算法求解0-1KP問(wèn)題，能獲得最優(yōu)解；李寧等[7]基于二進(jìn)制和聲搜索算法求解K-可滿(mǎn)足性問(wèn)題和0-1KP問(wèn)題，并驗(yàn)證了算法的可行性；宋瀟瀟等[8]將膜計(jì)算的思想引入人工蜂群算法，提出了改進(jìn)的蜂膜群算法求解0-1KP問(wèn)題；李若平等[9]在和聲搜索算法中引入新的學(xué)習(xí)搜索機(jī)制，提出學(xué)習(xí)型和聲搜索算法求解0-1KP問(wèn)題；李棟等[10]基于雙子群協(xié)同進(jìn)化的思想，提出求解0-1KP的雙子群果蠅優(yōu)化算法；高芳等[11]在粒子群中引入生物病毒機(jī)制和宿主與病毒的思想，提出求解0-1KP的病毒協(xié)同進(jìn)化粒子群算法；Zhou等[12]提出了一種基于貪婪算法的二進(jìn)制猴子算法求解0-1KP問(wèn)題，能得到較好的結(jié)果。由此可見(jiàn)，利用演化算法快速高效求解0-1KP是智能計(jì)算領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)問(wèn)題。

3 烏鴉算法

自然界中的烏鴉具有以下特性：烏鴉是群居生活的鳥(niǎo)類(lèi)，它們非常聰明，會(huì)記住自己藏匿食物的最佳位置（Memory，M），能跟蹤其他烏鴉偷竊對(duì)方的食物，而被跟蹤的烏鴉能以一定的感知概率AP保護(hù)自己的食物防止被竊取。文獻(xiàn)[3]在研究了烏鴉特性的基礎(chǔ)上提出了模擬烏鴉行為的烏鴉算法，下面給出CSA的算法描述。

算法1 CSA

步驟1初始化。

在n維的可行域中隨機(jī)生成NP只烏鴉，每只烏鴉X=[x0,x1,…,xn-1]表示一個(gè)可行解，初始化最大迭代次數(shù)iter_max、飛行長(zhǎng)度 fl和感知概率AP。

步驟2初始化烏鴉的記憶值，評(píng)價(jià)烏鴉的適應(yīng)度值。

步驟3更新烏鴉位置。

假定烏鴉i隨機(jī)選擇烏鴉 j跟蹤，結(jié)果如下：

烏鴉 j不知道烏鴉i跟蹤它，則烏鴉i將接近烏鴉 j藏匿食物的最佳位置M；烏鴉 j知道烏鴉i跟蹤它，則其故意把烏鴉i帶到一個(gè)隨機(jī)位置。

烏鴉 i的新位置如公式（4）所示，其中，ri、rj是服從[0，1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)，mj,iter為烏鴉 j在iter次迭代時(shí)的記憶值，APj,iter為烏鴉 j的感知概率，fli,iter為飛行長(zhǎng)度。

步驟4檢查新位置的可行性。

如果烏鴉i的新位置是可行的，則更新；否則烏鴉i停留在當(dāng)前位置。

步驟5評(píng)價(jià)烏鴉i的新位置的適應(yīng)度值。

步驟6以式（5）的方式更新記憶值。

步驟7重復(fù)步驟3～步驟6，直至迭代終止。

算法運(yùn)行結(jié)束后，所有烏鴉記憶值中的最好位置即為問(wèn)題的最優(yōu)解。

CSA與遺傳算法、粒子群算法、和聲算法一樣，都是利用群體智能來(lái)探索最優(yōu)化問(wèn)題的解。除了種群數(shù)量和最大迭代次數(shù)以外，優(yōu)化算法一般還需涉及其他參數(shù)。由于參數(shù)的調(diào)整是一項(xiàng)耗時(shí)的工作，所以過(guò)多的參數(shù)是優(yōu)化算法的一個(gè)缺點(diǎn)。粒子群算法中可調(diào)參數(shù)為慣性權(quán)重、速度的最大值、學(xué)習(xí)因子等；和聲算法要求考慮和聲庫(kù)記憶選擇概率和記憶擾動(dòng)概率等參數(shù)；遺傳算法需考慮交叉方法、交叉概率、變異方法、變異概率等參數(shù)。而CSA僅有AP和 fl兩個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)，故算法相對(duì)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。

任何元啟發(fā)式算法都應(yīng)在多元化與集約化之間提供良好的平衡[13]。CSA的集約化和多元化主要受到參數(shù)AP的控制。降低AP的值，CSA傾向于局部搜索，因此，較小的AP值增加了集約化；相反，加大AP的值，CSA趨向全局搜索，故較大的AP值增加了多元化。

4 混沌二進(jìn)制烏鴉算法

4.1 混沌序列初始化烏鴉位置

十多年來(lái)，混沌優(yōu)化方法[14]作為一種新穎的優(yōu)化技術(shù)，得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。由于混沌能按照自身的規(guī)律在一定范圍內(nèi)不重復(fù)遍歷所有狀態(tài)，因此利用混沌優(yōu)化方法求解數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，混沌軌跡能使搜索過(guò)程避免陷入局部最優(yōu)，從而獲得全局最優(yōu)解或者較好的滿(mǎn)意解。

CSA采用隨機(jī)方法初始化烏鴉的位置，極有可能造成烏鴉的位置分布不均勻，混沌序列能更加有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)搜索空間的搜索，故采用Chebyshev映射初始化烏鴉位置，增加初始解的多樣性，為進(jìn)一步有效地進(jìn)行全局搜索打下良好的基礎(chǔ)，Chebyshev映射表達(dá)式如下：

本文采用兩種映射方式生成烏鴉個(gè)體，第一種方式如下：

（1）對(duì)n維空間中的NP只烏鴉，個(gè)體 Xi=[xi,0,xi,1,…,xi,n-1](i=1,2,…,NP)的xi,0值隨機(jī)產(chǎn)生。

（2）利用公式（6）對(duì) xi,0(i=1,2,…,NP)進(jìn)行 n-1次迭代，生成烏鴉Xi的xi,1,xi,2,…,xi,n-1值。

第二種映射方式如下：

（1）對(duì)n維空間中的NP只烏鴉，隨機(jī)產(chǎn)生n維向量X0=[x0,x1,…,xn-1]，作為第一只烏鴉。

（2）將 X0按公式（6）進(jìn)行 NP-1迭代，生成其余NP-1個(gè)個(gè)體。

至此，烏鴉的初始化步驟完成。

4.2 混合編碼方式

在CSA中，烏鴉個(gè)體X=[x0,x1,…,xn-1]為實(shí)型向量，fl、AP為實(shí)數(shù)，而0-1KP是離散域的問(wèn)題，因此需要將烏鴉個(gè)體X轉(zhuǎn)換為0-1向量以實(shí)現(xiàn)CSA對(duì)離散問(wèn)題的求解。轉(zhuǎn)換方法如式（7）所示。

其中，Y=[y0,y1,…,yn-1],yj∈{0,1},j=0,1,…,n-1。種群中的個(gè)體用n維實(shí)型向量X和二進(jìn)制向量Y共同表示即(X,Y)，以[-a,a]n為輔助搜索空間（本文a=5），以{0,1}n為解空間，實(shí)現(xiàn)對(duì)離散問(wèn)題的求解。

4.3 貪心修復(fù)與優(yōu)化算法

任意二進(jìn)制個(gè)體Y=[y0,y1,…,yn-1]∈{0,1}n僅是0-1KP的一個(gè)潛在解，本文利用貪心修復(fù)與優(yōu)化算法[15]（Greedy Repair and Optimization Algorithm，GROA）對(duì)潛在解進(jìn)行修復(fù)使之成為可行解，同時(shí)進(jìn)一步優(yōu)化該個(gè)體。

假定 n、W、P、C 含義同前，H[0,1,…,n-1]中存放物品按照 pi/wi降序排序的下標(biāo)序，Y=[y0,y1,…,yn-1]∈{0,1}n為輸入個(gè)體編碼，B=[b0,b1,…,bn-1]∈{0,1}n為修復(fù)后個(gè)體編碼。GROA偽代碼如下：

算法2 GROA

1.weight=0,val=0；

2.Fori=0ton-1Dobi=0

3.Endfor

4.Fori=0ton-1Do

5. If(yH[i]==1&&weight+wH[i]＜=C)then

6.weight=weight+wH[i],bH[i]=1,val=val+pH[i]；

7. Endif

8.Endfor

9.Fori=0ton-1Do

10. If(weight+wH[i]＜=C&&yH[i]==0)then

11. weight=weight+wH[i],bH[i]=1,val=val+pH[i]；

12. Endif

13.Endfor

14.Return(B,val)

在算法中，輸入二元向量Y和數(shù)組H，輸出修正優(yōu)化后向量B及其適應(yīng)度值。步2～步3首先對(duì)二元向量B賦值0，步4～步8實(shí)現(xiàn)對(duì)非正常編碼個(gè)體的修復(fù)，并將結(jié)果存到B中，步9～步13對(duì)B做進(jìn)一步優(yōu)化，步14返回最終結(jié)果。顯然，GROA的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。

4.4 混沌二進(jìn)制烏鴉算法求解0-1KP

假定 n、W、P、C、H、iter_max、NP 的定義同前，將CSA與混合編碼技術(shù)、混沌策略、GROA相結(jié)合生成求解0-1KP的混沌二進(jìn)制烏鴉算法（CBCSA），CBCSA的偽代碼描述如下。

算法3 CBCSA

1.初始化參數(shù) AP、fl、iter_max、NP ；

2.H[0…n-1]←QuickSort(pi/wi|0≤i≤n-1)；

3.采用混沌序列生成初始種群P′(0)={X′i(0)|1≤i≤NP}及二進(jìn)制種群P(0)；

4.GROA處理P(0)得B(0)，計(jì)算 f(B(0))；

5.初始化記憶值；

6.Foriter=1to iter_max Do

7.Fori=1toNPDo

8. 隨機(jī)選擇烏鴉j

9. If rj≥APj,iter

10. Fork=0ton-1

11.

12. Endfor

13. Else

14. xi,iter+1=搜索空間任意位置

15. Endif

16.Endfor

17.GROA對(duì) Xiter+1處理得B(iter+1)，評(píng)估新位置，以公式（5）方式更新記憶值

18.Endfor

19.返回最優(yōu)值及最優(yōu)個(gè)體

在CBCSA中，NP和iter_max是關(guān)于n的線性函數(shù)。QuickSort的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlbn)，步3的時(shí)間復(fù)雜度為O(nNP)，GROA的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，步6～步18中，步7～步16的時(shí)間復(fù)雜度為O(nNP)，步17的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，故CBCSA的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlbn)+O(nNP)+O(n)+iter_max×(O(nNP)+O(n))≈O(n3)。

5 仿真計(jì)算分析與比較

為了驗(yàn)證二進(jìn)制烏鴉算法（Binary Crow Search Algorithm，BCSA）、CBCSA1（第一映射方式）和CBCSA2（第二種映射方式）求解0-1KP的性能，本文采用表1所示的7個(gè)經(jīng)典0-1KP實(shí)例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，表1中dim代表維數(shù)。首先，以實(shí)驗(yàn)方式確定參數(shù)AP和 fl的取值。假設(shè) AP 取值0.1，0.2，0.3，0.4，fl取值1.0，2.0，3.0，4.0，5.0，表2列出(AP,fl)的所有組合及其id。限于篇幅，針對(duì)(AP,fl)的每一種組合，圖1～圖7僅給出CBCSA1對(duì)7個(gè)實(shí)例分別獨(dú)立計(jì)算20次所得到的最好結(jié)果。

表1 7個(gè)0-1KP實(shí)例

表2 (AP,fl)及其id

圖1 CBCSA1求解KP1的性能比較

圖2 CBCSA1求解KP2的性能比較

圖4 CBCSA1求解KP4的性能比較

圖5 CBCSA1求解KP5的性能比較

圖6 CBCSA1求解KP6的性能比較

圖3 CBCSA1求解KP3的性能比較

圖7 CBCSA1求解KP7的性能比較

由圖1可以看出，求解KP1時(shí)，id取值為3，4，5，8，9，10，13，14，15，19，20時(shí)能100%取得最優(yōu)解；由圖2～圖4可以看出，求解KP2、KP3、KP4時(shí)，當(dāng) (AP,fl)為任意組合時(shí)都能100%取得最優(yōu)解；由圖5～圖7可以看出，求解KP5、KP6、KP7時(shí)(AP,fl)的不同組合形式，對(duì)所求得的最優(yōu)值有影響，本文選取所求中位數(shù)最好的組合，故 AP=0.1、fl=3.0。

參數(shù)設(shè)置如下：NP=30，iter_max=200，AP=0.1，fl=3.0，算法獨(dú)立運(yùn)行20次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。其中，best為獨(dú)立運(yùn)行算法20次的最好值，worst為最差值，mean為平均值，sd為標(biāo)準(zhǔn)差，s（%）為獨(dú)立運(yùn)行算法20次能得到已知最優(yōu)解的百分比，weight為被裝入背包的物品的總重量，time（s）為算法運(yùn)行一次的平均時(shí)間。表4中給出CBCSA1與其他文獻(xiàn)算法得到的最優(yōu)解的對(duì)比，“N”表示文獻(xiàn)未提供，數(shù)值為對(duì)應(yīng)的運(yùn)行時(shí)間。

從表3可以看出，BCSA求解0-1KP性能較差，不能得到7個(gè)0-1KP的最優(yōu)解，因此不適合求解0-1KP。由表3和表4綜合來(lái)看，求解KP1時(shí)，CBCSA1能100%獲得已知最優(yōu)解3 119，CBCSA2在20次運(yùn)行中命中16次，成功率80%，且CBCSA1的運(yùn)行時(shí)間比CBCSA2略短，學(xué)習(xí)型和聲算法[8]不能求得已知最優(yōu)解，雙子群果蠅優(yōu)化算法[9]能求得3 119，但是成功率為80%；求解KP2時(shí)，CBCSA1和CBCSA2能100%得到已知最優(yōu)解3 103，且CBCSA1的運(yùn)行時(shí)間短，雙子群果蠅優(yōu)化算法也能得3 103，但是成功率為90%；求解KP3時(shí)，CBCSA1和CBCSA2均能100%得到已知最優(yōu)解1 563，克隆選擇免疫遺傳算法[4]和改進(jìn)膜蜂群算法[7]也能100%得到最優(yōu)解1 563，但是求解時(shí)間比CBCSA1和CBCSA2長(zhǎng)，ABC算法[16]不能100%獲得最優(yōu)解，其SD值為1.196；求解KP4時(shí)，CBCSA1和CBCSA2均能100%得到已知最優(yōu)解2 660，其他算法中僅改進(jìn)膜蜂群算法能取得2 660，而ABC算法、克隆選擇免疫遺傳算法和改進(jìn)膜蜂群算法的SD值分別為18.4、2.78和1.91，且求解時(shí)間較CBCSA1和CBCSA2都長(zhǎng)；求解KP5時(shí)，CBCSA1成功率70%，SD值為3.80，CBCSA2成功率40%，SD值為3.93，ABC算法、克隆選擇免疫遺傳算法和改進(jìn)膜蜂群算法的SD值分別為24.43、8.62和1.35，雖然改進(jìn)膜蜂群算法的SD值較CBCSA1小，但是求解時(shí)間為3.77 s，比CBCSA1的0.951 s長(zhǎng)；求解KP6時(shí)，CBCSA1和CBCSA2的成功率雖然不如文獻(xiàn)[6]提出的BHSA，但BHSA是在2 s內(nèi)得到的運(yùn)行結(jié)果，運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)；求解KP7時(shí)，CBCSA1在0.858 s內(nèi)得最優(yōu)解88 228，CBCSA2在1.406 s內(nèi)得最優(yōu)解88 227，而B(niǎo)HSA在2 s內(nèi)得到的最優(yōu)解為88 129，雖然CBCSA1的成功率不高，但是Mean值為88 218.3，比BHSA的best都好，CBCSA1得到最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)編碼為：0，1，0，1，0，1，1，1，1，1，1，0，1，1，0，1，1，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，0，1，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，0，1，1，0，1，1，1，0，1，1，0，1，1，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，0，1，1，1，1，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，1，0，1，1，1，1，1，1，1，1，0，0，1，1，0，1，1，1，0。

表3 運(yùn)行結(jié)果

表4 運(yùn)行結(jié)果對(duì)比

圖8為BCSA、CBCSA1和CBCSA2在求解高維背包問(wèn)題KP4～KP7時(shí)的收斂速度。由圖8（a）～圖8（d）可以看出，CBCSA1和CBCSA2的收斂速度非?？?，甚至初始解就是最優(yōu)解，即通過(guò)混沌策略生成的初始解性能非常好，且兩種算法的最優(yōu)解相差不大，幾乎重疊；BCSA收斂速度相對(duì)較緩慢，求解性能明顯不如CSCSA1和CBCSA2。

綜上所述，對(duì)于0-1KP，CBCSA1和CBCSA2的求解效果非常好，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于BCSA，也優(yōu)于其他文獻(xiàn)所提出的算法，因此，CBCSA是適合求解0-1KP的有效算法，且混沌策略中的第一種方式比第二種方式求解性能更佳。

圖8 三種算法的收斂速度

6 結(jié)束語(yǔ)

烏鴉算法是一種新穎演化算法，本文研究了如何利用烏鴉算法求解0-1KP，并針對(duì)CSA的不足，提出了一種基于混沌理論的二進(jìn)制烏鴉算法。首先將混沌序列引入烏鴉的初始化過(guò)程，保證個(gè)體的初始位置在整個(gè)搜索空間均勻分布，提高了算法的全局尋優(yōu)能力；然后針對(duì)非正常編碼個(gè)體，采用貪心策略進(jìn)行處理。仿真實(shí)驗(yàn)表明，CBCSA具有良好的全局尋優(yōu)能力，收斂速度快，運(yùn)行時(shí)間短，優(yōu)于其他的算法，是一種求解0-1背包問(wèn)題的有效實(shí)用算法。

CSA提出的時(shí)間較短，應(yīng)用還很少，如何把CSA應(yīng)用到其他領(lǐng)域是下一步的研究問(wèn)題。

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