親身體驗有利于學生對數(shù)學概念的內(nèi)化
——“平面直角坐標系（第一課時）”磨課記

徐樂樂

（廣東省深圳市龍華區(qū)同勝學校）

隨著深圳市龍華區(qū)數(shù)學研修活動的深入開展，磨課已成為我們最常用、最喜歡的教研方式。同學科的老師聚在一起，針對具體課例，在反復研討、上課中踐行新理念，探尋新方法，獲得新成長。上次，我們教研組打磨的課例是“平面直角坐標系”，這是北師大版數(shù)學八年級上冊第三章“位置與坐標”中第二節(jié)第一課時，研討的主題是教學流程的有效性與教學難點的突破，由我執(zhí)教，得到與會者的一致肯定?，F(xiàn)將本課磨課過程整理成文，與大家探討。

一、第一次教學簡錄

環(huán)節(jié)一：情景創(chuàng)設(shè)

1.回顧舊知

問題1.在現(xiàn)實生活中確定物體位置有哪些方式？

問題2.在直線上確定一個點的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)？在平面內(nèi)確定一個點的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)？

2.故事引入

播放數(shù)學家笛卡爾發(fā)明平面直角坐標系的故事視頻。

（設(shè)計意圖：通過引人入勝的數(shù)學家的故事，滲透數(shù)學史教育，吸引學生學習平面直角坐標系的注意力，進而引入新課，揭示課題。）

環(huán)節(jié)二：自學交流

組織學生閱讀自學課本的內(nèi)容，并分小組討論解決下列問題。

問題1：平面直角坐標系是如何構(gòu)成的？

問題2：怎樣劃分平面直角坐標系的象限？

問題3：怎樣確定點的坐標？怎樣寫出點的坐標？

之后，由學生代表畫一個平面直角坐標系，并解釋畫法。

（設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生閱讀教材的能力，組織學生互幫互助，這樣既節(jié)省課堂學習時間，又能調(diào)動學生學習的積極性。）

環(huán)節(jié)三：交流探究

圖1

圖2

問題1：如何確定圖1中點P的橫、縱坐標。

（設(shè)計意圖：由學生講解由點來確定坐標的方法，鞏固自學的成果，并引出下面的問題。）

問題 2：在同一平面直角坐標系內(nèi)，點 Q（4，3）與點 P（3，4）表示的是同一個點嗎？為什么？

問題3：分別寫出圖2中多邊形ABCDEF各個頂點的坐標。

問題4：你們寫出的點A的坐標相同嗎？點B的呢？由此你得出什么結(jié)論？

（設(shè)計意圖：在學生獨立思考、交流想法的基礎(chǔ)上，教師適時給予點撥，進而歸納得出：在平面直角坐標系中，一個點只對應一個坐標，為突破本課教學難點做準備。）

問題5：做一做（課本60頁“做一做”）

（1）在如圖的平面直角坐標系中描出下列各點：

A（－5，0），B（1，4），C（3，3），D（1，0），E（3，－3），F(xiàn)（1，－4）．

（2）依次連接ABCDEFA，你得到什么圖形？

（3）思考：在這個問題中，根據(jù)A點的坐標你在直角坐標系中描出了幾個A點？B點呢？由此你能得出什么結(jié)論？

問題6：通過上面的活動，在平面直角坐標系中，點與實數(shù)對（坐標）之間有何關(guān)系？

（設(shè)計意圖：分別讓學生“根據(jù)點的位置寫出它的坐標”及“根據(jù)坐標描出相應的點”，從而使學生更好地理解平面直角坐標系的思想，感受坐標與點的一一對應關(guān)系。）

教學感悟：本課教學既有學生合作學習，又有老師的引導，還有學生的自學，課堂上教師給予學生充分的學習自主?？梢哉f，本課教學能體現(xiàn)教師的指導作用、學生的主體作用。但本課概念多，內(nèi)容也多，學生自學費時較多。與此同時，雖然課堂上觀看了故事視頻，但從課堂觀察來看，這并沒有真正調(diào)動學生學習的興趣。為什么要學習平面直角坐標系？這是學生課后仍存在的疑問。特別是，由于欠缺學生的體驗性理解，本課教學難點（平面直角坐標系內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應）并沒得到有效突破。

二、改進及第二次教學簡錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，導入新課

（1）找座位

師：今天我們在一個新教室上課，座位擺放和原來教室不一樣，每人手上有一張紙條，紙條上有一個數(shù)對，第一個數(shù)字代表排數(shù)，第二個數(shù)字代表列數(shù)，大家能否根據(jù)自己手中的紙條找到自己的位置呢？

（設(shè)計意圖：讓學生自己找座位，體會確定位置的方法，幫助學生從自身的生活實際和經(jīng)驗中“感知”數(shù)對與位置的對應關(guān)系。）

（2）回顧舊知

問題1：在現(xiàn)實生活中確定物體位置有哪些方式？

問題2：在直線上確定一個點的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)？在平面內(nèi)確定一個點的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)？

2．實踐探究、交流新知

合作交流：小組討論預習的學案，每一位同學要清楚下列幾個問題：（A、A+層學生要指導B、C層學生）

問題1：平面直角坐標系是如何構(gòu)成的？

問題2：怎樣劃分平面直角坐標系的象限？

問題3：怎樣確定點的坐標？怎樣寫出點的坐標？

（設(shè)計意圖：本課是一節(jié)基本概念課，概念多，但較為直觀，學生閱讀理解并不太難。設(shè)計預習學案讓學生課前預習，課堂上再組織小組內(nèi)部互幫互助，明確合作的任務，可節(jié)約課堂時間，以更好地突破本課的教學難點。）

3.互動游戲，難點初探

教師先以教室的座位為背景建立平面直角坐標系，同學確認好自己座位對應的坐標后，開展如下游戲：

游戲一：你的朋友是誰？

規(guī)則：老師叫出一位同學的名字時，該同學要快速說出自己的坐標，并且說出你的一位朋友，你的朋友接著說出自己的坐標，再說出一位朋友……其他同學判斷他們所說的坐標是否正確。

游戲二：坐標接龍

老師說出第一個坐標，處于該位置的同學站起來，由他說出第二個坐標，符合這個坐標的同學站起來，并說出第三個坐標……不間斷地接下去，其他同學判斷是否正確。

（設(shè)計意圖：讓學生在游戲中體會點與坐標之間的一一對應關(guān)系。同時，通過游戲活動，可以激發(fā)學生主動參與課堂學習活動的興趣。）

4.練習提升，難點突破

例1．寫出圖中多邊形ABCDEF各個頂點的坐標。

思考：你和你的同伴所寫出的點A的坐標相同嗎？有幾個？點B的呢？由此你能得出什么結(jié)論？

（設(shè)計意圖：由點來確定坐標，感悟一個點對應唯一一對有序?qū)崝?shù)對。）

例2：做一做（課本60頁“做一做”）

（1）在如圖的平面直角坐標系中，描出下列各點：

（2）依次連接 ABCDEFA，你得到什么圖形？

（3）思考：在這個問題中，根據(jù)A點的坐標你在直角坐標系中描出的點A的位置與你的同伴相同嗎？點B呢？由此你能得出什么結(jié)論？

（設(shè)計意圖：由坐標來確定點，感悟由一對有序?qū)崝?shù)對只能找到唯一的點。）

教學感悟：本次教學，加入讓學生自己找座位的環(huán)節(jié)，讓學生初步感受有序?qū)崝?shù)對與點的位置之間的對應關(guān)系。在突破“點與坐標一一對應”這個難點時，由于加入游戲環(huán)節(jié)，學生課堂參與的積極性變高了，他們在游戲中體會了一位同學只能對應一個坐標，以及一個坐標只能對應一位同學，從而使教學難點得到更有效的突破。但是，為什么要建立平面直角坐標系呢？他們沒能感受到引入平面直角坐標系的必要性。而且，從游戲過渡到例題的學習時，由于游戲與例題教學銜接不自然，導致獲得“平面直角坐標系內(nèi)點與坐標之間的一一對應關(guān)系”這一結(jié)論，仍不是學生在潛意識中自然“迸發(fā)”出來的。于是，如何讓學生努力投入對建立平面直角坐標系的必要性思考中，讓他們在參與活動的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗和創(chuàng)造，在突破難點的過程中感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，我對本課做了進一步改進。

三、改進及第三次教學簡錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，導入新課

（1）找座位

與第二次上課的環(huán)節(jié)一致。

（2）創(chuàng)設(shè)情景

師：我們學過數(shù)軸，知道在數(shù)軸上確定點的位置只需要一個數(shù)字就夠了?，F(xiàn)以第三排的同學所在的直線建立一條數(shù)軸，張紅同學為原點，向右為正方向，那這一排同學所對應的數(shù)分別就是1，2，3，4，-1，-2，-3，-4，這樣，這一排同學的位置就確定了。請問：李×同學所對應的數(shù)是多少？

生：-2.

師：3這個數(shù)字對應的是那位同學？

生：江××。

師：李××呢？他對應的數(shù)是多少？

生：沒有，他并不在數(shù)軸上。

師：那要用數(shù)字來表示他的位置，該怎么辦？

生：再建立一條數(shù)軸。

師：那該如何建立另一條數(shù)軸呢？

生：以張×為原點，以她正前方為正方向，她正后方為負方向，就可以建立另一條數(shù)軸了。

師：你們的意思是說，第二條數(shù)軸應與第一條數(shù)軸的原點相同，而且要互相垂直，對嗎？

生：是的。

師：那現(xiàn)在能找到李××同學所對應的數(shù)了嗎？

生 1：應用一對數(shù)來表示，是（3，2）。

生 2：不對，應是（2，3）。

師：究竟應是（3，2）還是（2，3）呢？學習了今天的內(nèi)容后我們便有正確答案了。

（設(shè)計意圖：抽象的形式化概念被自然地鑲嵌于一種概念與經(jīng)驗相連的情境之中。要讓學生產(chǎn)生持續(xù)的興趣，就必須讓知識內(nèi)容不斷切入更深的層次，讓學生體驗到學習內(nèi)容的深度，激發(fā)其探究的渴望。本課從已有的知識〈數(shù)軸〉引入新課，從學生原有的知識及生活體驗出發(fā)，在探究運用數(shù)對來表示同學的位置的過程中，體會建立平面直角坐標系的必要性及建立的方法。）

2.實踐探究，交流新知

探究1：（與第二次課“環(huán)節(jié)2”類似）

探究2：

任務一：建立一個平面直角坐標系，并在坐標系中描出點。

A（3，1）、B（-2，2）、C（-1，-2）、D（3，-1）、E（5，2）、F（4，-3）、G

任務二：小組內(nèi)部相互檢查上述坐標是否正確，并討論上題中所描出的點的橫坐標、縱坐標的正負與該點所在的象限的關(guān)系。

第一象限：（____、___），第二象限：（___、__）

第三象限：（____、___），第四象限：（___、__）

（設(shè)計意圖：有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一。讓學生自主建立平面直角坐標系，描出相應的點，然后同伴互幫互助，教師有針對性地選擇學生代表展示，并給予具體的積極性的評價，一方面可以促進學生在解決問題的過程中鞏固本課基礎(chǔ)知識，初步感受點與有序數(shù)對的對應關(guān)系，另一方面可以促進學生的合作學習，同時，點M的設(shè)計，可以促進優(yōu)秀學生的發(fā)展。）

3.互動游戲，突破難點

游戲一：你在哪里？

規(guī)則：老師說出某一象限或者x軸、y軸，處于相應位置的同學們請站起來。

（設(shè)計意圖：通過游戲的方式，讓學生體會坐標軸上的點不屬于任何象限，以及每一象限的點的坐標的特點等性質(zhì)，提升學生課堂參與的積極性，感受對應的內(nèi)涵，促進知識的內(nèi)化。）

游戲二：你的同伴在哪里？

規(guī)則：老師指定一位同學，那么在坐標軸上與這位同學的橫坐標（或縱坐標）相同的同學站起來。

（設(shè)計意圖：在游戲中讓學生體會確定點的坐標的方法，并讓學生體會，處在坐標軸上的同學的朋友只有原點位置的同學和自己本身，自然得到，x軸上的點的縱坐標等于0，y軸上的點的橫坐標等于0。與此同時，通過游戲活動，讓抽象的知識直觀化、具體化，加深了學生對知識的理解，促進學生的課堂參與。）

游戲三：你的朋友是誰？

規(guī)則：當老師點名某位同學時，該同學要快速說出自己的坐標，并且說出你的一位朋友，你的朋友接著說出自己的坐標，再說出自己的一位朋友……其他同學判斷他們所說的坐標是否正確。

游戲四：坐標接龍

老師說出第一個坐標，處于該位置的同學站起來，并說出第二個坐標，符合第二個坐標的同學站起來，并說出第三個坐標……不間斷地接下去，其他同學判斷是否正確。

想一想：在平面直角坐標系內(nèi)，一個點可以對應幾對有序?qū)崝?shù)對？一對有序?qū)崝?shù)對可以對應幾個點？為什么？

生：因為在游戲中一位同學只對應一個坐標，而給出一個坐標時只能找到一位同學，因此，一個點只能對應一對有序?qū)崝?shù)對，而一對有序?qū)崝?shù)對也只能對應一個點。

師：這也就是說，在平面直角坐標系內(nèi)，點和有序?qū)崝?shù)對是一一對應的關(guān)系。

（設(shè)計意圖：借用課起始時建立的平面直角坐標系，將學生看作坐標平面內(nèi)的點，讓他們在游戲的過程中反復體驗平面直角坐標系內(nèi)點和有序?qū)崝?shù)對一一對應的關(guān)系，感悟數(shù)形結(jié)合思想方法。）

（4）介紹歷史，激發(fā)興趣

播放平面直角坐標系產(chǎn)生歷史的視頻。

四、教學感悟

將抽象知識直觀化、具體化，有利于促進學生對知識的理解。本課在引入環(huán)節(jié)里，通過學生“找座位”“確定同學位置”等活動，讓學生認識到數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體會建立平面直角坐標系的必要性。把抽象的平面直角坐標系“搬到”學生所處的教室里，促進抽象知識的直觀化，提高學生參加數(shù)學學習活動的積極性，培養(yǎng)學生的好奇心。在難點突破環(huán)節(jié)，大膽整合教材，再次利用教室里的“形”，將平面直角坐標系中的“點”直觀化為班級的每一位同學，讓他們在游戲中學會由點確定坐標及由坐標確定點，在游戲中感悟點與坐標的一一對應關(guān)系，既有效突破本節(jié)課的教學難點，又可讓學生在游戲中體會數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，促進學生參與，提升課堂教學效果。

在概念課教學中，教師要揭示概念產(chǎn)生的背景，促進學生內(nèi)化數(shù)學概念，以幫助學生之后對數(shù)學概念的外延進行學習。在揭示概念產(chǎn)生的背景的學習過程中，教師創(chuàng)設(shè)的情景要盡可能讓數(shù)學概念貼近其產(chǎn)生的歷史進程，即從知識產(chǎn)生的需要出發(fā)，讓學生大膽地猜想，體驗到數(shù)學概念的產(chǎn)生是自然的、合理的，而不是人為強加的、憑空掉下來的。這樣，有利于幫助學生形成數(shù)學學習自覺，發(fā)展數(shù)學思維，獲得數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本經(jīng)驗。在幫助學生將概念內(nèi)化的學習過程中，在教學上不僅要組織學生進行觀察、分析，更需要組織學生思維上的積極參與。本課教學中，筆者引導學生及時對各個游戲中的共同屬性進行數(shù)學抽象與概括，這樣有利于學生更加準確、迅速地掌握概念，也使學生的歸納能力和邏輯思維能力得到了有效的培養(yǎng)。在整節(jié)課中，筆者通過組織學生小組討論、合作探究，為學生相互學習和啟發(fā)、相互取長補短提供時間和空間，促進學生的共同進步、共同提高，讓學生在互幫互學的過程中提升對概念的理解。這樣，學生既掌握了知識與技能，也感悟了解決問題的基本策略，同時體驗到了數(shù)學的魅力。

參考文獻：

［1］孔凡哲，曾崢.數(shù)學學習心理學（第二版）［M］．北京：北京大學出版社，2012.

［2］曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學［M］．北京：北京師范大學出版社，2007.