兩條思路解決萬(wàn)有引力定律相關(guān)試題

屠一凡　鄭衛(wèi)峰

摘要：教育部發(fā)布了《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，明確規(guī)定萬(wàn)有引力定律屬于必修2模塊下的“圓周運(yùn)動(dòng)與萬(wàn)有引力定律”這一主題，按照其內(nèi)容要求和近10年高考全國(guó)統(tǒng)考理綜卷的命題規(guī)律我們可以總結(jié)出有關(guān)萬(wàn)有引力定律的試題類型和解題思路，以此指導(dǎo)教師備課和學(xué)生學(xué)習(xí)，進(jìn)一步為師生終生學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)；高考；萬(wàn)有引力定律；試題類型；解題思路

2018年年初教育部發(fā)布了普通高中課程方案和14門課程標(biāo)準(zhǔn)，新修訂的課程方案與標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步明確了普通高中教育的定位，我國(guó)普通高中教育旨在促進(jìn)學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展，為學(xué)生的終生發(fā)展奠定基礎(chǔ)。其中《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確必修2模塊下設(shè)置“機(jī)械能及其守恒定律”“曲線運(yùn)動(dòng)與萬(wàn)有引力定律”“牛頓力學(xué)的局限性與相對(duì)論初步”三個(gè)主題，并對(duì)各個(gè)主題的內(nèi)容要求進(jìn)行了詳細(xì)的說(shuō)明，其中有關(guān)萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容要求有兩點(diǎn)：2.2.4通過(guò)史實(shí)，了解萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。知道萬(wàn)有引力定律。認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律的重要意義。認(rèn)識(shí)科學(xué)定律對(duì)人類探索未知世界的作用。2.2.5會(huì)計(jì)算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度?；谶@一內(nèi)容要求，文中對(duì)近10年高考全國(guó)統(tǒng)考理綜卷進(jìn)行分類與統(tǒng)計(jì)分析，總結(jié)出有關(guān)萬(wàn)有引力定律的試題類型和解題思路。

一、 萬(wàn)有引力定律有關(guān)試題的類型

題型一：求中心天體的質(zhì)量與密度

在2014年全國(guó)卷Ⅱ和2009年全國(guó)卷Ⅰ中就考了這類試題，并均以選擇題形式出現(xiàn)。

1. 質(zhì)量的計(jì)算：

下面以計(jì)算地球的質(zhì)量為例，介紹兩種方法。

方法1：已知某天體繞中心天體運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r，由萬(wàn)有引力提供向心力，即GMmr2=m2πT2r，得M=4π2r3GT2。

方法2：已知中心天體的半徑R及其表面的重力加速度g，不考慮地球自轉(zhuǎn)，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力約等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即mg=GMmR2，M=gR2G。

2. 密度的計(jì)算：

將天體視作半徑為R的球體，則天體的密度ρ=M43πR3。

將上述兩種方法所求得中心天體的質(zhì)量代入，

（1） 將M=4π2r3GT2代入上式得：ρ=3πr3GT2R3，且當(dāng)天體在中心天體表面附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ=3πGT2。

（2） 將M=gR2G代入，且已知中心天體表面上的重力加速度為g，則ρ=3g4πRG。

題型二：估算天體表面重力加速度值

在2015年全國(guó)卷Ⅰ、2012年全國(guó)卷Ⅰ中也出現(xiàn)了這類考題的考查，以選擇題形式出現(xiàn)。

設(shè)有一質(zhì)量為m的天體，繞著另一質(zhì)量為M、半徑為R的中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，中心天體表面的重力加速度為g，不考慮天體自轉(zhuǎn)，則萬(wàn)有引力等于重力，即有基本關(guān)系式：

GMmR2=mg

即GM=gR2或g=GMR2

但在同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM（R+h）2。

在此基礎(chǔ)之上，常常結(jié)合拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律一起考查。

題型三：環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)情況與機(jī)械能變化分析

在2013年全國(guó)卷Ⅰ和Ⅱ，2012年全國(guó)卷Ⅱ中就出現(xiàn)了這類考題，以選擇題形式出現(xiàn)。

設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由萬(wàn)有引力提供向心力，則可得到該天體繞行的周期、線速度、角速度、向心加速度：

由GMmr2=m2πT2r=mv2r=mω2r=man，可得相關(guān)結(jié)論。

在此基礎(chǔ)上可能結(jié)合環(huán)繞天體的變軌問(wèn)題進(jìn)行考查，環(huán)繞天體穩(wěn)定繞行時(shí)由萬(wàn)有引力提供向心力，但是由于某種原因環(huán)繞天體的速度突然改變時(shí)，環(huán)繞天體所受萬(wàn)有引力與所需向心力不再相等，則可能做近心運(yùn)動(dòng)或離心運(yùn)動(dòng)。

在此基礎(chǔ)之上，還可能結(jié)合天體的機(jī)械能來(lái)考查，天體機(jī)械能包括動(dòng)能與引力勢(shì)能，動(dòng)能與質(zhì)量和線速度大小有關(guān)，引力勢(shì)能與質(zhì)量和距中心天體的距離有關(guān)。在天體質(zhì)量不變的情況下，r越大，線速度v越小，天體的動(dòng)能越小，引力勢(shì)能越大，在只有萬(wàn)有引力做功的情況下，天體的機(jī)械能守恒。

題型四：同步衛(wèi)星問(wèn)題

在2016年全國(guó)卷Ⅰ，2011年全國(guó)卷Ⅰ，2010年全國(guó)卷Ⅱ中都出現(xiàn)了這類題，以選擇題的形式出現(xiàn)。

同步衛(wèi)星就是與地球同步運(yùn)轉(zhuǎn)，可用來(lái)作為通信衛(wèi)星。同步衛(wèi)星有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1） 周期確定：同步衛(wèi)星在赤道正上方相對(duì)地球靜止，它繞地球的運(yùn)動(dòng)與地球自轉(zhuǎn)同步，它的運(yùn)動(dòng)周期就等于地球自轉(zhuǎn)的周期，T=24 h。

（2） 角速度確定：同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度。

（3） 軌道確定。

① 因提供向心力的萬(wàn)有引力指向圓心，所有同步衛(wèi)星的軌道必在赤道平面內(nèi)。

② 由于所有同步衛(wèi)星的周期相同，所有同步衛(wèi)星的軌道半徑都相同，即在同一軌道上運(yùn)動(dòng)，其確定的高度約為3.6×104 km。

（4） 運(yùn)行速度大小確定：所有同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。

題型五：第一宇宙速度

在2015年全國(guó)卷Ⅰ中就出現(xiàn)了這類題目，出現(xiàn)在選擇題的某個(gè)選項(xiàng)中。

（1） 由萬(wàn)有引力提供向心力得，GMmr2=mv2r，所以衛(wèi)星的線速度v=GMr，第一宇宙速度是指物體在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，則當(dāng)r=R時(shí)得第一宇宙速度v=GMR（M為地球質(zhì)量，R為地球半徑）。

（2） 對(duì)于近地衛(wèi)星，重力近似等于萬(wàn)有引力，提供向心力：mg=mv2R得v=gR，g為地球表面的重力加速度。

第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度、最小的發(fā)射速度，且對(duì)于別的天體也同樣可以采用上述兩種方法求其第一宇宙速度。

二、 兩條解題思路總結(jié)

上述各類題型的解題方法在本質(zhì)上都可以歸為以下兩條思路：（1）利用萬(wàn)有引力提供向心力列式；（2）利用萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系列式。下面對(duì)這兩條思路進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

1. 萬(wàn)有引力提供向心力

一般情況下，行星或衛(wèi)星等天體的運(yùn)動(dòng)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需要的向心力由中心天體對(duì)它的萬(wàn)有引力提供。設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度為a，即有基本關(guān)系式：

GMmr2=ma

而向心加速度a=v2r=ω2r=4π2T2r，故有關(guān)系式：

GMmr2=mv2r=mω2r=m4π2T2r

2. 萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系

（1） 不考慮天體自轉(zhuǎn)時(shí)，萬(wàn)有引力近似等于重力

對(duì)于在中心天體表面附近的繞行的天體，重力近似等于萬(wàn)有引力，提供向心力。設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M、半徑為R的中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，中心天體表面的重力加速度為g，即有基本關(guān)系式：

GMmR2=mg

即GM=gR2（黃金代換式）

同理，如果不在天體表面附近，而是在距離天體表面一定高度處，依然有萬(wàn)有引力近似等于萬(wàn)有引力，只是g值改變?yōu)間′，即有基本關(guān)系式：

g′=GM（R+h）2

（2） 考慮天體自轉(zhuǎn)時(shí)，重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力

當(dāng)某物體置于天體表面，伴隨天體自轉(zhuǎn)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，因此由萬(wàn)有引力，考慮地球自轉(zhuǎn)，

在兩極上，萬(wàn)有引力等于重力：mg=GMmR2。

在赤道上，重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力：mg′=GMmR2-mω2R。

通過(guò)對(duì)近十年高考題的總結(jié)分析，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三點(diǎn)：

1. 近十年來(lái)，萬(wàn)有引力定律相關(guān)試題的考查方式比較穩(wěn)定，只以計(jì)算題和選擇題的方式出現(xiàn)，且逐漸趨于主要以選擇題進(jìn)行考查，故所占分值也比較穩(wěn)定。

2. 難度不大，主要題型穩(wěn)定，一般為上述總結(jié)題型的直接考查或者靈活變換形式考查。

3. 不管試題背景信息如何變化，題型如何變化，解題思路就只有兩種，掌握方法就能舉一反三。

三、 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)近十年來(lái)高考新課標(biāo)卷關(guān)于萬(wàn)有引力定律的考題進(jìn)行的系統(tǒng)的分類與統(tǒng)計(jì)分析，我們發(fā)現(xiàn)了兩條有效的解題思路。新課標(biāo)對(duì)我們的要求是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，掌握終生學(xué)習(xí)所需要的基本技能。這對(duì)我們有很大的啟發(fā)：對(duì)教師，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要授人以漁，教學(xué)生掌握核心方法，理清解題思路，多進(jìn)行物理模型的總結(jié)。對(duì)學(xué)生，我們要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，理解物理量的物理意義及物理量之間的本質(zhì)聯(lián)系，不要搞題海戰(zhàn)術(shù)，要學(xué)會(huì)舉一反三。

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作者簡(jiǎn)介：

屠一凡，福建省福州市，福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院；

鄭衛(wèi)峰，福建省福州市，物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心（福建師范大學(xué)）。