考慮裂隙跡長(zhǎng)和開(kāi)度相關(guān)性的隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)數(shù)值模擬及滲流分析

黃 帆， 姚 池， 周創(chuàng)兵， 楊建華

(南昌大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 江西 南昌 330031)

在水利水電工程、礦山工程和核廢料填埋工程中，面臨著大量的裂隙巖體滲流問(wèn)題。對(duì)裂隙巖體滲流問(wèn)題認(rèn)識(shí)不清造成過(guò)許多重大工程事故，如1959年法國(guó)Malpasset拱壩由于壩肩揚(yáng)壓力異常發(fā)生潰壩，造成500余人的死亡和300億法郎的經(jīng)濟(jì)損失。裂隙巖體在漫長(zhǎng)的地質(zhì)演化過(guò)程中，發(fā)展成為多裂隙切割而成的“不連續(xù)體”，滲流主要發(fā)生在相互連通的裂隙網(wǎng)絡(luò)中。因此，研究裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流、開(kāi)發(fā)更符合實(shí)際情況的裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流模型，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

巖體裂隙系統(tǒng)的幾何參數(shù)通常通過(guò)對(duì)野外巖石露頭進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查獲得。由于采樣范圍有限，因而獲得的裂隙幾何參數(shù)的分布模型包含了很大的不確定性，為了減少這種不確定性，使之更好地反映真實(shí)情況，通常做法是采用離散裂隙網(wǎng)絡(luò)模型(DFN)[1]來(lái)擬合裂隙幾何參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布。

目前運(yùn)用蒙特卡羅法模擬裂隙網(wǎng)絡(luò)方面，Dowd等[2]介紹了一種基于高斯結(jié)構(gòu)的新方法，模擬過(guò)程中考慮了不同裂隙組之間的空間相關(guān)性：Xu等[3]給出了三維裂隙網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)；李?lèi)?ài)華等[4]通過(guò)Fortran程序編制了隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)模擬程序。目前，離散裂隙網(wǎng)絡(luò)模型滲流分析方面的研究有待進(jìn)一步深入。黃勇等[5]應(yīng)用蒙特卡羅法隨機(jī)生成裂隙網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，基于交叉裂隙網(wǎng)絡(luò)的流量守恒定理，推導(dǎo)了隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)的滲流模型；王晉麗等[6]根據(jù)裂隙幾何參數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)特性，基于蒙特卡羅模擬技術(shù)建立了二維裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流模型，在不同邊界條件下分析了二維裂隙網(wǎng)絡(luò)中的流體流動(dòng)。Liu等[7]提出了一種代表巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)幾何特征的分形模型，將分形特征與裂隙網(wǎng)絡(luò)的等效滲透率聯(lián)系起來(lái)，使用蒙特卡羅法生成包含分形維數(shù)的裂隙網(wǎng)絡(luò)模型，其尺寸遵循一定冪律分布。

然而，在以往的DFN建模工作中裂隙各幾何參數(shù)，如裂隙位置、跡長(zhǎng)、方向和水力開(kāi)度等這些參數(shù)通常被認(rèn)為是不相關(guān)的。上述研究在模擬隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)時(shí)也都沒(méi)有考慮裂隙跡長(zhǎng)和開(kāi)度的相關(guān)性，但一些研究人員通過(guò)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)繪結(jié)果的觀察推斷裂隙的長(zhǎng)度和孔徑之間存在一定相關(guān)關(guān)系[8-11]，這種相關(guān)性對(duì)裂隙網(wǎng)絡(luò)的生成和滲流分析具有重大影響，甚至導(dǎo)致分析結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。鑒于此，本文在傳統(tǒng)離散裂隙網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上，引入裂隙跡線(xiàn)長(zhǎng)度和開(kāi)度的相關(guān)性函數(shù)，建立一種具有參數(shù)相關(guān)性的裂隙網(wǎng)絡(luò)模型，模擬出更符合實(shí)際的裂隙場(chǎng)，對(duì)隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)模型的發(fā)展能夠有所補(bǔ)充，并基于此分析了兩種開(kāi)度條件下裂隙網(wǎng)絡(luò)的滲流，對(duì)裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流分析具有一定指導(dǎo)意義。

1 裂隙的幾何參數(shù)和假設(shè)

1.1 裂隙位置

在DFN數(shù)值模擬中裂隙的位置通常被假定為服從泊松分布[12]，為了反映裂隙的位置，采用生成服從泊松分布的裂隙中心點(diǎn)來(lái)表達(dá)，其泊松過(guò)程通過(guò)基于遞歸算法生成的隨機(jī)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，遞推公式如下：

Ri+1=27Ri-INT(27Ri)

(1)

式中：Ri為[0，1]之間隨機(jī)分布的均勻數(shù)，INT(x)為取整函數(shù)，即取內(nèi)部函數(shù)的x整數(shù)部分，初始值R0由線(xiàn)性同余法生成。如果裂隙中心點(diǎn)生成空間定義二維直角坐標(biāo)系，且范圍在[xa1，xa2]和[ya1，ya2]之內(nèi)，根據(jù)直角坐標(biāo)系的定義，可以生成裂隙中心點(diǎn)坐標(biāo)(xi，yi)，表達(dá)式為：

xi=xa1+Ri+1(xa1-xa2)

(2)

圖1 泊松過(guò)程確定的裂隙中心位置(案例尺寸30 m×30 m)Fig.1 Locations of fracture center determined by a Poisson process (example at 30 m×30 m scale)

yi=yb1+Ri(yb1-yb2)

(3)

圖2 不同分形維數(shù)D對(duì)裂隙跡線(xiàn)長(zhǎng)度的影響Fig.2 Effects of different fractal dimension D on fracture trace length

該算法產(chǎn)生裂隙的中心坐標(biāo)應(yīng)用于所有正方形DFN模型。圖1為尺寸30 m×30 m的DFN數(shù)值模型中裂隙中心點(diǎn)的位置坐標(biāo)。圖中裂隙密度為0.45/m2。

1.2 裂隙跡長(zhǎng)

在野外露頭調(diào)查過(guò)程中，通過(guò)分析一些較大規(guī)模裂隙的幾何特征，文獻(xiàn)[13]給出了裂隙跡長(zhǎng)按冪律分布的累積概率密度函數(shù)：

(4)

式中：L為裂隙的跡線(xiàn)長(zhǎng)度，Lmax和Lmin為最大和最小裂隙跡長(zhǎng)，取值范圍為0.5～250 m[13]，F(xiàn)是區(qū)間為[0，1]的隨機(jī)均勻分布；D是擬合的分形維數(shù)[14]，一般取2.2±0.2，圖2顯示了隨著分形維數(shù)D取不同的值，裂隙跡長(zhǎng)累積概率曲線(xiàn)的變化，D取值為2，取值1作為比較。

1.3 裂隙走向

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，裂隙走向遵循Fisher分布，這在離散裂隙網(wǎng)絡(luò)數(shù)值建模中被普遍采用，其平均方位角的偏差角累積概率密度函數(shù)由下式給出：

(5)

圖3 不同F(xiàn)isher常數(shù)K對(duì)裂隙方位角的偏差角θ的影響Fig.3 Influences of different Fisher constant K on deviation angle θ of fracture

式中：K為Fisher常數(shù)；F是區(qū)間為[0，1]的隨機(jī)均勻分布。由圖3可見(jiàn)，偏差角θ隨K變大而減小，當(dāng)K=10時(shí)接近75 %的裂隙走向偏差角θ<0.5 rad，說(shuō)明區(qū)域內(nèi)某一組裂隙整體走向變異性不大，而當(dāng)K=1和K=5時(shí)，裂隙走向偏差角θ普遍較大，有的甚至達(dá)到3 rad，與原走向相反。

1.4 裂隙開(kāi)度

假定通過(guò)單個(gè)裂隙的流體運(yùn)動(dòng)遵循立方定律，可以從實(shí)驗(yàn)室剪切流試驗(yàn)間接計(jì)算出裂隙開(kāi)度[15]：

(6)

式中:h為裂隙開(kāi)度;Q為流量(m3/s);w為流道寬度(m);υ為流體運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)(m2/s);i為水力梯度;g為重力加速度(m/s2)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將裂隙開(kāi)度當(dāng)作恒定值，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)液壓試驗(yàn)結(jié)果[16-17]，裂隙開(kāi)度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為:

(7)

式中:a和b為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的一階矩和二階矩，在使用野外露頭調(diào)查中的裂隙幾何特征數(shù)據(jù)進(jìn)行DNF數(shù)值模擬時(shí)，截?cái)嗔严钝E長(zhǎng)和開(kāi)度的分布函數(shù)是不能避免的。本文研究中，假設(shè)裂隙開(kāi)度截?cái)喾植己瘮?shù)為:

(8)

式中:h為裂隙開(kāi)度，ha和hb分別為裂隙開(kāi)度的上下限，分別取為1和200 μm。當(dāng)開(kāi)度值小于ha和大于hb時(shí)，截?cái)喾植己瘮?shù)的值為0。對(duì)數(shù)正態(tài)分布的截?cái)嗬鄯e分布函數(shù)為:

(9)

經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算，上式可寫(xiě)為:

FLNTR(h)=(g(h)-g(ha))/(g(hb)-g(ha))

(10)

(11)

式中:erfinv(x)是逆誤差函數(shù);F是[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)。

1.5 裂隙開(kāi)度與跡長(zhǎng)的關(guān)系

出于簡(jiǎn)單考慮，裂隙開(kāi)度與跡線(xiàn)長(zhǎng)度通常被假定為不相關(guān)。但國(guó)外學(xué)者在對(duì)黏土拉伸變形過(guò)程中的斷裂模式進(jìn)行研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)了裂隙的長(zhǎng)度和開(kāi)度的相關(guān)性特征[8-11]，并提出了裂隙開(kāi)度與裂隙跡線(xiàn)長(zhǎng)度的冪律相關(guān)函數(shù)：

h=alβ

(12)

式中：β為特征指數(shù)，其取值為0.5～2.0。通過(guò)研究裂隙開(kāi)度與長(zhǎng)度的相關(guān)性[11]，指出隨著裂隙長(zhǎng)度和位移的增加,裂隙的中值寬度趨于增加，裂隙跡長(zhǎng)的截?cái)嗬鄯e概率密度函數(shù)可定義為:

(13)

式中：Lmax和Lmin為最大和最小裂隙跡長(zhǎng)，根據(jù)文獻(xiàn)[18]，將式(13)代入式(11)中，得到了一個(gè)基于裂隙開(kāi)度對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)和跡長(zhǎng)冪律分布函數(shù)的相關(guān)函數(shù)：

(14)

圖4 隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Random fracture network

圖5 裂隙跡長(zhǎng)和走向的玫瑰圖Fig.5 Fracture trace length and rose diagrams of direction

式中：D為裂隙的分形維數(shù)，ha和hb分別為裂隙開(kāi)度大小的上下限(同式(8)中取值一致)，初始值由式(6)給出。因此，a和b可以直接作為輸入?yún)?shù)，然后通過(guò)式(14)計(jì)算出裂隙開(kāi)度。

2 隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)數(shù)值模擬

表1 裂隙幾何參數(shù)Tab.1 Fracture parameters used for DFN generation

本文研究的裂隙數(shù)據(jù)源(表1)基于湖北省黃石市金山店鐵礦項(xiàng)目[19]。該礦采用分段崩落法生產(chǎn)，長(zhǎng)期開(kāi)采后在地表形成多個(gè)大面積的塌陷區(qū)，由于塌陷區(qū)相互交叉覆蓋，造成大量裂隙貫穿地表，裂隙分布很具有代表性。為了更直觀地觀察兩種裂隙生成方法的不同，基于表1中裂隙的初始幾何參數(shù)生成隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)，為了消除尺寸效應(yīng)的影響，采用了統(tǒng)一30 m×30 m的邊界尺寸。圖4為文獻(xiàn)[19]中傳統(tǒng)裂隙生成方法和本文所提出的裂隙生成方法生成的裂隙，可見(jiàn)，傳統(tǒng)的隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)分布更均勻，這是因?yàn)楹笳咄ㄟ^(guò)基于遞歸算法生成的隨機(jī)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)裂隙的位置，即前一個(gè)裂隙位置對(duì)后一個(gè)裂隙位置的生成有影響，而不像傳統(tǒng)裂隙生成方法直接采用隨機(jī)均勻分布來(lái)實(shí)現(xiàn)，相應(yīng)的跡長(zhǎng)和走向的玫瑰圖如圖5所示，圖中顯示本文方法生成的裂隙網(wǎng)絡(luò)中同一裂隙組內(nèi)的各裂隙走向變異性更大，變化區(qū)間尺度大概為30°～35°，而傳統(tǒng)方法生成的裂隙網(wǎng)絡(luò)中同一裂隙組內(nèi)的各裂隙走向變異性更小，變化區(qū)間尺度為25°～30°，因此，裂隙生成方法較傳統(tǒng)方法生成了走向變異性更大的裂隙網(wǎng)絡(luò)，這是因?yàn)橛?jì)算裂隙走向時(shí)對(duì)結(jié)果進(jìn)行偏差角估計(jì)而造成的，從而能夠更好地模擬實(shí)際地質(zhì)裂隙隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)[12]。

3 與真實(shí)裂隙場(chǎng)結(jié)果對(duì)比

圖6 二維真實(shí)裂隙場(chǎng)Fig.6 Two-dimensional real fracture

選取的真實(shí)裂隙場(chǎng)是通過(guò)對(duì)裂隙進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)露頭調(diào)查，統(tǒng)計(jì)分析裂隙幾何參數(shù)的特性，最后用布爾模擬方法隨機(jī)生成的一個(gè)二維裂隙場(chǎng)[20](圖6)。為了方便比較，真實(shí)場(chǎng)的寬度、長(zhǎng)度均取為30 m，總裂隙率約為15%。與真實(shí)場(chǎng)進(jìn)行比較時(shí)假設(shè)所有裂隙的張開(kāi)度均相同。根據(jù)表1所示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，該裂隙真實(shí)場(chǎng)的裂隙走向大致可以分為3組，分別為: 40° ～70°，190°～240°以及 290°～330°，而裂隙跡長(zhǎng)介于0～12 m。將本文所用方法的模擬結(jié)果與真實(shí)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行比較，對(duì)比如圖7，可以看出模擬結(jié)果與真實(shí)場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)之間擬合效果很好，誤差在5% 以?xún)?nèi)。因此，這種隨機(jī)方法能很好地模擬真實(shí)裂隙場(chǎng)，并可應(yīng)用于后續(xù)的裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流分析。

圖7 裂隙統(tǒng)計(jì)特征結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison between statistical characteristics of fracture

圖8 二維真實(shí)裂隙場(chǎng)Fig.8 Two-dimensional real fracture

4 裂隙網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定滲流分析

在離散裂隙網(wǎng)絡(luò)中，巖體中的滲流分布取決于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中裂隙的幾何參數(shù)和連通率，根據(jù)裂隙滲流規(guī)律，可知無(wú)交叉或者只和1條裂隙交叉的裂隙對(duì)滲流沒(méi)有影響，因此不能作為巖體中的滲流通道，所以在進(jìn)行裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流分析前要?jiǎng)h減和截?cái)嗄切](méi)有作用的裂隙，提取出隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的連通裂隙，圖8顯示了經(jīng)過(guò)凈化處理后形成的連通裂隙網(wǎng)絡(luò)。

假定巖塊不透水，流體只在連通裂隙中流動(dòng)。在二維直角坐標(biāo)系中，對(duì)裂隙網(wǎng)絡(luò)中任一點(diǎn)的總水頭，可以定義[21]為：

φ=z+p/rw

(15)

式中：z為垂直坐標(biāo)；p為裂隙中水的壓力；rw為水的重度，工程中一般取值為1×104N/m3。本次研究不考慮裂隙交叉點(diǎn)及裂隙表面粗糙度的影響，假定巖體中單個(gè)裂隙的滲流是一維運(yùn)動(dòng)。根據(jù)Darcy定律，裂隙ij內(nèi)的流速可表示為

uij=-kij?φ/?L

(16)

式中：kij為裂隙ij的滲透系數(shù)；L為裂隙跡長(zhǎng)。則利用局部立方定律，得到kij-hij函數(shù)關(guān)系式

kij=hij2g/(12υ)

(17)

式中：hij為裂隙隙寬；g為重力加速度，一般取值為9.8 m/s2；υ為水的運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)，一般取值范圍為0.72×10-6～1.516×10-6m2/s，υ取25°下的近似值0.897×10-6m2/s。單裂隙內(nèi)水的流動(dòng)應(yīng)滿(mǎn)足連續(xù)性方程：

?uij/?L=0

(18)

根據(jù)質(zhì)量守恒原理，裂隙交叉點(diǎn)總流量的代數(shù)和為0，即

∑hijuij=0

(19)

根據(jù)表1生成DNF模型，采用作者之前開(kāi)發(fā)的裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流計(jì)算程序[21]，在裂隙網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上對(duì)巖體滲流進(jìn)行研究。由于在作者之前的研究中對(duì)該計(jì)算程序已有驗(yàn)證，因此直接采用該方法，而不對(duì)其計(jì)算合理性進(jìn)行重復(fù)驗(yàn)證。假定模型右側(cè)邊界水頭為40 m，左側(cè)邊界水頭為10 m，頂部邊界和底部邊界均不透水。為了研究裂隙開(kāi)度與跡長(zhǎng)的相關(guān)性對(duì)巖體裂隙滲透特性的影響，比較兩種情況：(1)裂隙的隙寬根據(jù)相關(guān)性計(jì)算式(14)得出；(2)所有裂隙的隙寬為常數(shù) 65 μm。

圖9顯示了兩種不同裂隙開(kāi)度條件下裂隙網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部流量分布，圖10給出了裂隙網(wǎng)絡(luò)模型下游邊界裂隙出口的流量分布，可以看出隙寬均勻分布時(shí)裂隙網(wǎng)絡(luò)模型內(nèi)部及下游出口的流量分布比較均勻，且滲透率較大，而對(duì)于裂隙隙寬根據(jù)相關(guān)性計(jì)算式(14)得出的情況，裂隙網(wǎng)絡(luò)模型內(nèi)部及下游出口的流量分布差異性較大，優(yōu)勢(shì)流路徑較為突顯，滲流主要由開(kāi)度較大和跡長(zhǎng)較長(zhǎng)的裂隙所控制，細(xì)小裂隙的流量較小，導(dǎo)水效果很差，圖11給出了裂隙網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部水壓力的分布，裂隙網(wǎng)絡(luò)左下角的水壓力最大，向網(wǎng)絡(luò)模型右上方向逐步遞減，符合滲流水壓力規(guī)律，證明了程序的有效性。

圖9 裂隙網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部流量分布Fig.9 Discharge distribution in DFN model

圖10 下游邊界出口裂隙流量分布Fig.10 Discharge distribution in each fracture intersecting left vertical boundary of model

圖11 裂隙網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部水壓力分布Fig.11 Water pressure distribution in DFN model

5 結(jié) 語(yǔ)

基于蒙特卡羅法，引入裂隙跡線(xiàn)長(zhǎng)度和開(kāi)度的相關(guān)性函數(shù)，建立了一種新的二維裂隙網(wǎng)絡(luò)生成算法，并對(duì)生成的裂隙網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了滲流分析。通過(guò)與不考慮相關(guān)性的傳統(tǒng)隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)方法比較，得出以下結(jié)論：

(1)隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)生成通過(guò)基于遞歸算法生成的隨機(jī)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)裂隙的位置，取代傳統(tǒng)裂隙生成方法中的隨機(jī)均勻分布，同時(shí)對(duì)裂隙走向進(jìn)行偏差角估算，使得裂隙網(wǎng)絡(luò)分布更符合實(shí)際。

(2)基于黏土拉伸模式中裂隙開(kāi)度和跡長(zhǎng)的冪律相關(guān)函數(shù)，同時(shí)結(jié)合裂隙跡長(zhǎng)的累積概率密度函數(shù)，提出了裂隙開(kāi)度和跡長(zhǎng)的相關(guān)函數(shù)，使得隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)生成更符合物理規(guī)律，對(duì)隨機(jī)裂隙網(wǎng)絡(luò)模型的發(fā)展能夠有所補(bǔ)充。

(3)通過(guò)將模擬結(jié)果與真實(shí)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果與真實(shí)場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)之間擬合效果很好，誤差在5% 以?xún)?nèi)。可見(jiàn)本方法能很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)裂隙場(chǎng)的模擬，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性。

(4)對(duì)復(fù)雜裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流過(guò)程的分析表明，考慮開(kāi)度和跡長(zhǎng)的相關(guān)性能反映裂隙網(wǎng)絡(luò)滲流的結(jié)構(gòu)特征，從而證明了所提方法的合理性。

參 考 文 獻(xiàn)：

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