兩條幾何規(guī)律在圓邊界磁場中的應(yīng)用

柯 堯

(九江市第一中學(xué) 江西 九江 332000

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)是高考物理的重要考點(diǎn)，以考查粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)為主，它有效地考查了學(xué)生利用幾何知識處理物理問題的能力．磁場邊界類型主要包括直線邊界、矩形邊界、圓邊界、拋物線邊界等，每種邊界都有相應(yīng)的規(guī)律，這些規(guī)律是解決問題的前提，甚至是突破口．圓邊界磁場，由于對稱性，更有特殊規(guī)律可尋．

規(guī)律1：同一平面內(nèi)，兩相交圓關(guān)于連心線對稱．

圖1 例1題圖

解析：粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)，解題思路可總結(jié)為簡單的9個(gè)字“畫軌跡、定圓心、求半徑”．本題作為該卷物理部分的壓軸題，難度較大，其原因是考生在作出軌跡圓后找不到合適的幾何關(guān)系求半徑．對于這類圓邊界問題，如果能夠利用規(guī)律“同一平面內(nèi)，兩相交圓關(guān)于連心線對稱”來求解，將會十分簡便，甚至不必作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．

如圖2所示，過圓邊界的圓心作出入射方向的平行線與邊界交于e和f，過入射點(diǎn)a作入射方向的垂線段ga，且g為軌跡圓圓心，ga交線段ef于c點(diǎn)．

圖2 作輔助線

由題意知，出射方向與入射方向垂直，磁偏角為90°，根據(jù)對稱性有：∠Oga=45°,在Rt△Oca中

在Rt△gOc中

gc=Occot45°

因此軌跡半徑

其他解答略．

點(diǎn)評：此解法利用了一個(gè)很基本的幾何規(guī)律，避免了畫軌跡和找復(fù)雜的幾何關(guān)系．利用上面的幾何規(guī)律可進(jìn)一步得到結(jié)論：帶電粒子射入圓磁場時(shí)，入射點(diǎn)處的軌跡半徑所在直線與對稱軸的交點(diǎn)為軌跡圓圓心，且夾角總等于粒子飛出磁場過程中磁偏角的一半．這條物理規(guī)律可以處理粒子從圓上某點(diǎn)沿任何方向入射的大部分問題．

如圖3所示，正粒子從P點(diǎn)射入垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，P點(diǎn)到與入射方向平行的直徑距離為d，粒子射出磁場時(shí)偏轉(zhuǎn)角為θ． 由上面物理規(guī)律不難求得粒子軌跡半徑為

圖3 舉例

此方法極大地簡化了相關(guān)題的求解，甚至解題時(shí)直接利用公式即可，比如公式可以直接解答2013年全國新課標(biāo)Ⅰ卷選擇題第18題．上面結(jié)論的特殊情況為d=0，入射點(diǎn)軌跡半徑所在直線與邊界圓相切，由對稱性知粒子出射點(diǎn)軌跡半徑所在直線亦與邊界圓相切，即粒子對著圓心入射，出射方向必過圓心，如2013年全國新課標(biāo)Ⅱ卷選擇題第17題可用此規(guī)律．

規(guī)律2：同一平面內(nèi)，半徑相等的兩相交圓的交點(diǎn)與兩圓圓心構(gòu)成菱形．

【例2】(2009年高考浙江卷第25題)如圖4所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場．在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m，電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒．發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0

(1)從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向．

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由．

圖4 例2題圖

解析：第(1)問解答略．

第(2)問，由上問知：mg=qE，軌跡半徑r=R，根據(jù)幾何規(guī)律“同一平面內(nèi)，半徑相等的兩相交圓的交點(diǎn)及兩圓圓心構(gòu)成菱形”，可從邊界入射點(diǎn)中任取一點(diǎn)P進(jìn)行分析說明，如圖5所示.設(shè)Q為出射點(diǎn),O1，O2分別為磁場邊界圓和軌跡圓圓心，順次連接4點(diǎn)，顯然四邊形四邊相等，知四邊形PQO1O2為菱形，PO2∥O1Q，由于入射方向水平，PO2必為豎直方向，O1Q也為豎直方向，且長度為R，Q必與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,P為任意點(diǎn)，所以這束帶電微粒均與x軸交于原點(diǎn)O．

圖5 第(2)問的分析用圖

點(diǎn)評：粒子軌跡半徑與圓邊界半徑相等是粒子在圓邊界磁場中運(yùn)動(dòng)的重要特征條件，相關(guān)問題都可通過作菱形求解．利用特殊的4點(diǎn)構(gòu)成菱形可以得到結(jié)論：大量軌跡半徑等于磁場邊界半徑的粒子若平行入射至圓形磁場區(qū)，出射時(shí)必匯聚于邊界的某一點(diǎn)(磁聚焦)；若從圓邊界上某點(diǎn)沿邊界平面向圓內(nèi)任意方向發(fā)射，必平行出射．

對于幾乎所有的帶電粒子在從圓邊界入、出射的問題，都可嘗試用本文的規(guī)律，半徑相等就采用第二條規(guī)律，其他問題基本上利用第一條規(guī)律都可以得到解決．從上面兩道高考壓軸題可看出，一些需要利用復(fù)雜幾何關(guān)系或者其他數(shù)學(xué)方法才能求解的粒子運(yùn)動(dòng)問題，如果能結(jié)合恰當(dāng)?shù)囊?guī)律，將會使題目求解變得簡單明了．作為物理教師，有必要去總結(jié)和發(fā)現(xiàn)這樣的有利于解題的規(guī)律．