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    兩條幾何規(guī)律在圓邊界磁場(chǎng)中的應(yīng)用

    2018-05-18 08:26:09
    物理通報(bào) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:磁場(chǎng)方向

    柯 堯

    (九江市第一中學(xué) 江西 九江 332000

    帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高考物理的重要考點(diǎn),以考查粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為主,它有效地考查了學(xué)生利用幾何知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力.磁場(chǎng)邊界類型主要包括直線邊界、矩形邊界、圓邊界、拋物線邊界等,每種邊界都有相應(yīng)的規(guī)律,這些規(guī)律是解決問(wèn)題的前提,甚至是突破口.圓邊界磁場(chǎng),由于對(duì)稱性,更有特殊規(guī)律可尋.

    規(guī)律1:同一平面內(nèi),兩相交圓關(guān)于連心線對(duì)稱.

    圖1 例1題圖

    解析:粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),解題思路可總結(jié)為簡(jiǎn)單的9個(gè)字“畫軌跡、定圓心、求半徑”.本題作為該卷物理部分的壓軸題,難度較大,其原因是考生在作出軌跡圓后找不到合適的幾何關(guān)系求半徑.對(duì)于這類圓邊界問(wèn)題,如果能夠利用規(guī)律“同一平面內(nèi),兩相交圓關(guān)于連心線對(duì)稱”來(lái)求解,將會(huì)十分簡(jiǎn)便,甚至不必作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡.

    如圖2所示,過(guò)圓邊界的圓心作出入射方向的平行線與邊界交于e和f,過(guò)入射點(diǎn)a作入射方向的垂線段ga,且g為軌跡圓圓心,ga交線段ef于c點(diǎn).

    圖2 作輔助線

    由題意知,出射方向與入射方向垂直,磁偏角為90°,根據(jù)對(duì)稱性有:∠Oga=45°,在Rt△Oca中

    在Rt△gOc中

    gc=Occot45°

    因此軌跡半徑

    其他解答略.

    點(diǎn)評(píng):此解法利用了一個(gè)很基本的幾何規(guī)律,避免了畫軌跡和找復(fù)雜的幾何關(guān)系.利用上面的幾何規(guī)律可進(jìn)一步得到結(jié)論:帶電粒子射入圓磁場(chǎng)時(shí),入射點(diǎn)處的軌跡半徑所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為軌跡圓圓心,且?jiàn)A角總等于粒子飛出磁場(chǎng)過(guò)程中磁偏角的一半.這條物理規(guī)律可以處理粒子從圓上某點(diǎn)沿任何方向入射的大部分問(wèn)題.

    如圖3所示,正粒子從P點(diǎn)射入垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),P點(diǎn)到與入射方向平行的直徑距離為d,粒子射出磁場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)角為θ. 由上面物理規(guī)律不難求得粒子軌跡半徑為

    圖3 舉例

    此方法極大地簡(jiǎn)化了相關(guān)題的求解,甚至解題時(shí)直接利用公式即可,比如公式可以直接解答2013年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷選擇題第18題.上面結(jié)論的特殊情況為d=0,入射點(diǎn)軌跡半徑所在直線與邊界圓相切,由對(duì)稱性知粒子出射點(diǎn)軌跡半徑所在直線亦與邊界圓相切,即粒子對(duì)著圓心入射,出射方向必過(guò)圓心,如2013年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷選擇題第17題可用此規(guī)律.

    規(guī)律2:同一平面內(nèi),半徑相等的兩相交圓的交點(diǎn)與兩圓圓心構(gòu)成菱形.

    【例2】(2009年高考浙江卷第25題)如圖4所示,x軸正方向水平向右,y軸正方向豎直向上.在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng),在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng).在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置,它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m,電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發(fā)射時(shí),這束帶電微粒分布在0

    (1)從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域,并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開(kāi),求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向.

    (2)請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域,并說(shuō)明理由.

    圖4 例2題圖

    解析:第(1)問(wèn)解答略.

    第(2)問(wèn),由上問(wèn)知:mg=qE,軌跡半徑r=R,根據(jù)幾何規(guī)律“同一平面內(nèi),半徑相等的兩相交圓的交點(diǎn)及兩圓圓心構(gòu)成菱形”,可從邊界入射點(diǎn)中任取一點(diǎn)P進(jìn)行分析說(shuō)明,如圖5所示.設(shè)Q為出射點(diǎn),O1,O2分別為磁場(chǎng)邊界圓和軌跡圓圓心,順次連接4點(diǎn),顯然四邊形四邊相等,知四邊形PQO1O2為菱形,PO2∥O1Q,由于入射方向水平,PO2必為豎直方向,O1Q也為豎直方向,且長(zhǎng)度為R,Q必與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,P為任意點(diǎn),所以這束帶電微粒均與x軸交于原點(diǎn)O.

    圖5 第(2)問(wèn)的分析用圖

    點(diǎn)評(píng):粒子軌跡半徑與圓邊界半徑相等是粒子在圓邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的重要特征條件,相關(guān)問(wèn)題都可通過(guò)作菱形求解.利用特殊的4點(diǎn)構(gòu)成菱形可以得到結(jié)論:大量軌跡半徑等于磁場(chǎng)邊界半徑的粒子若平行入射至圓形磁場(chǎng)區(qū),出射時(shí)必匯聚于邊界的某一點(diǎn)(磁聚焦);若從圓邊界上某點(diǎn)沿邊界平面向圓內(nèi)任意方向發(fā)射,必平行出射.

    對(duì)于幾乎所有的帶電粒子在從圓邊界入、出射的問(wèn)題,都可嘗試用本文的規(guī)律,半徑相等就采用第二條規(guī)律,其他問(wèn)題基本上利用第一條規(guī)律都可以得到解決.從上面兩道高考?jí)狠S題可看出,一些需要利用復(fù)雜幾何關(guān)系或者其他數(shù)學(xué)方法才能求解的粒子運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,如果能結(jié)合恰當(dāng)?shù)囊?guī)律,將會(huì)使題目求解變得簡(jiǎn)單明了.作為物理教師,有必要去總結(jié)和發(fā)現(xiàn)這樣的有利于解題的規(guī)律.

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