小球在粗糙斜面上的一般運(yùn)動(dòng)

吳 洵

(鄱陽中學(xué) 江西 上饒 333100)

黃亦斌

(江西師范大學(xué)物理與電子通信學(xué)院 江西 南昌 330022)

物體在粗糙斜面上的運(yùn)動(dòng)是一種常見的討論內(nèi)容．如果物體是滑塊，那么它將受到滑動(dòng)摩擦力；如果是小球，那么摩擦力既可能是滑動(dòng)摩擦力，也可能是靜摩擦力，從而可討論的內(nèi)容較為豐富．但針對(duì)小球的討論幾乎都是在平面平行運(yùn)動(dòng)(在斜面內(nèi)沿“最斜”方向的一維運(yùn)動(dòng))范圍內(nèi)進(jìn)行，鮮見針對(duì)斜面內(nèi)二維運(yùn)動(dòng)的討論．本文就此做一般論述．

首先假定：

(1)小球的質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ的，繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=kmR2，其中k為無量綱的常數(shù)(決定于小球的質(zhì)量分布狀況)，m為小球質(zhì)量，R為其半徑；

(2)忽略靜摩擦系數(shù)與滑動(dòng)摩擦系數(shù)的差別，設(shè)它們都是μ；

(3)小球在斜面上沒有蹦跳，一直緊貼斜面．

1 一般討論

如圖1建立直角坐標(biāo)系．小球受支持力N=Nk，重力G=mg和摩擦力f，其中重力加速度g=g1+g2，g1=-g1j=-gsinαj，g2=-g2k=-gcosαk．由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有

N=mg2=mgcosα

和

(1)

由對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理，有

(2)

圖1

其中R=-Rk從球心指向觸地點(diǎn)D．由于摩擦力只是跟小球觸地點(diǎn)的速度有關(guān)(與質(zhì)心速度無直接關(guān)系)，故還需要觸地點(diǎn)D的速度公式

vD=vDet=vC+ω×R

(3)

其中et為vD方向的單位矢量，vD非負(fù)．對(duì)于有滑滾動(dòng)，有vD≠0，且滑動(dòng)摩擦力的方向永遠(yuǎn)跟vD的方向相反，有

f=-μN(yùn)et=-μmg2et

(4)

對(duì)于無滑滾動(dòng)，有vD=0，且靜摩擦力存在最大值

f≤μN(yùn)

(5)

以上就是計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)．

在進(jìn)一步進(jìn)行具體討論之前，我們先導(dǎo)出vC與vD的一般關(guān)系式．R×(1)-(2)，消去f，得

(6)

而式(3)求導(dǎo)(注意R是常矢量[1]，因?yàn)槿我鈺r(shí)刻都只關(guān)心觸地點(diǎn)D)，可得

(7)

(8)

故一般而言，vC與vD無確定關(guān)系，但它們的改變有確定的關(guān)系．

2 無滑滾動(dòng)

先討論簡單情形：小球保持做無滑滾動(dòng)．由于恒有vD=0，故由式(8)得

(9)

即小球的質(zhì)心加速度沿斜面向下且恒定．故有

(10)

但由于質(zhì)心初速度vC0方向在斜面內(nèi)任意，故此時(shí)小球的一般運(yùn)動(dòng)是拋物線運(yùn)動(dòng)．把式(9)代入式(1)，可得

(11)

這是一個(gè)常矢量．關(guān)系式(5)進(jìn)一步給出

(12)

這就是無滑滾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的要求．下文將看到，參數(shù)λ對(duì)小球運(yùn)動(dòng)有重要影響．摩擦系數(shù)μ越大，斜面傾角α越小，小球質(zhì)量分布越集中于球心(k越小)，則λ越大，就越有利于無滑滾動(dòng)的出現(xiàn)．

對(duì)于小球的角速度，把式(11)代入式(2)，得到

(13)

故角速度的y,z分量ωy,ωz守恒，而ωx隨時(shí)間均勻變化．而由式(3)和vD=0，可以得到

vC+ω//×R=0

(14)

其中ω//是角速度的平行分量(x，y分量)．這就是說，無滑滾動(dòng)條件對(duì)角速度的垂直分量ωz沒有限制，但對(duì)其平行分量(特別是其初值)提出了要求

(15)

故而，小球做無滑滾動(dòng)時(shí)，ωz任意且守恒，ωy受約束且守恒，而ωx也受約束，且隨時(shí)間做線性變化．

作為無滑滾動(dòng)的一種特殊情形，由式(10)，如果vC0沿y方向，則小球(即小球質(zhì)心)會(huì)一直沿y方向做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．但這并不一定就是平面平行運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榇藭r(shí)只有ωy=0[見式(15)]．當(dāng)ωz=0也滿足時(shí)，小球才做常見的平面平行運(yùn)動(dòng)．

當(dāng)式(12)滿足時(shí)，若初始時(shí)vD=0，則此后小球?qū)⒁恢弊鰺o滑滾動(dòng)；若初始時(shí)vD≠0，則小球?qū)⑾茸鲆欢斡谢瑵L動(dòng)，直至vD=0時(shí)進(jìn)入無滑滾動(dòng)．但當(dāng)式(12)不滿足時(shí)，即使初始時(shí)vD=0，此后小球也將做有滑滾動(dòng)，vD變得不為零．故此時(shí)小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中至多在某一瞬間滿足vD=0，不可能出現(xiàn)在某段時(shí)間內(nèi)維持vD=0的情況．

3 有滑滾動(dòng)

以下一般性地討論有滑滾動(dòng)．此時(shí)由式(1)和式(4)，得

(16)

(17)

其中常數(shù)λ見式(12)．這就是觸地點(diǎn)速度滿足的方程．將其沿如圖1(b)所示的vD方向et和在斜面內(nèi)與其垂直的方向en做正交分解，得

(18)

兩式消dt，得

兩邊積分，設(shè)vD,θ的初始值分別為vD0,θ0(vD0≠0且θ0≠0,±π)，則

(19)

注意，θ和θ0必須同正同負(fù)，處于(-π,0)和(0,π)這兩個(gè)不連通分支中的同一支．將式(19)代入式(18)中的任一式，都可得到

(20)

上式兩邊積分(設(shè)λ≠1)，有

(21)

式(20)表明|θ|隨時(shí)間t單調(diào)增加，而式(19)給出vD隨θ或|θ|的關(guān)系：vD∝f(θ)．分析函數(shù)f(θ)本身，或作出其圖像(圖2)，可以得到，f(θ)=0的充要條件是λ>1且|θ|=π．故而，僅當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)λ>1[見式(12)]時(shí)，小球才能經(jīng)過一段時(shí)間后進(jìn)入無滑滾動(dòng)狀態(tài)(vD=0)．把|θ|=π或f(θ)=0代入式(21)，得到有滑滾動(dòng)的持續(xù)時(shí)間為

(22)

若λ<1，則小球永遠(yuǎn)做有滑滾動(dòng)，而vD依初始條件的不同或先變小后變大，或一直變大，且終將無限增大(只要斜面的尺度足夠)．對(duì)于λ=1的臨界情形，其討論意義不大，從略．

圖2 函數(shù)f(θ)的圖像，其中θ以弧度為單位

下面討論小球的運(yùn)動(dòng)軌道．首先要指出的是，分解式(18)所使用的兩個(gè)正交方向并非小球軌道的切向和法向．后者決定于vC，而vC不同于vD(故而摩擦力的方向與軌道的切向無直接關(guān)系)，這在圖1(b)中已明確畫出．式(19)～(21)給出了vD的詳盡信息，于是由式(8)也就可以得到vC的詳盡信息，從而可以得到小球軌道．具體地，式(8)給出

取其直角分量，有

λ+(1+k-kλ2)cosθ0]

-[4(λ2-1)-(kλ2-k-2)

(23)

其中，xC中的η=sign(θ)=sign(θ0)是θ0,θ(二者同號(hào))的符號(hào)函數(shù)，即當(dāng)θ>0時(shí)η=1，而當(dāng)θ<0時(shí)η=-1．它的出現(xiàn)很容易理解：當(dāng)初始條件vC0x,θ0都反號(hào)而vC0y不變時(shí)，兩條軌道顯然關(guān)于y軸對(duì)稱，故需要xC也反號(hào)．η就保證了這一點(diǎn)．

圖3 小球的質(zhì)心軌道

4 一些特殊情形

(1)vD0沿y軸負(fù)方向，即vD0≠0且θ0=π．此時(shí)，小球一直保持θ=π(除非vD=0使得θ無定義)．式(18)給出

(24)

故有

vD=-j[vD0+(1-λ)g1t]

(25)

式(8)給出

(26)

故一般而言小球在斜面上做拋物線運(yùn)動(dòng)(以沿y軸方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)為特例)．若λ<1，則式(25)表明vD一直增加，小球一直做有滑滾動(dòng)，會(huì)如上所述一直運(yùn)動(dòng)下去．若λ>1，則經(jīng)過一段時(shí)間后vD=0．此后小球一直做無滑滾動(dòng)，由式(9)～(10)所描述．

(2)vD0=0，這使得θ0無意義．此時(shí)，若λ>1，則小球一直保持vD=0而做無滑滾動(dòng)．若λ<1，則可以先假設(shè)沒有摩擦，即令式(17)中λ=0，于是極短時(shí)間后vD沿g1方向，于是et也沿g1方向．此時(shí)恢復(fù)摩擦，式(17)給出同情形(1)一樣的結(jié)果．小球的運(yùn)動(dòng)軌跡一般而言也是拋物線．

(3)vD0沿y軸正方向，即vD0≠0且θ0=0．此時(shí)，小球至少在開始后的一段時(shí)間內(nèi)保持θ=0．式(18)給出

(27)

式(8)給出

(28)

(注意此時(shí)g1=-g1j=-g1et)式(27)說明，經(jīng)過一段時(shí)間后一定會(huì)出現(xiàn)vD=0．此后的運(yùn)動(dòng)已由情形(2)給出．一般而言，不論λ如何，前一階段(有滑滾動(dòng))的軌跡與后一階段(無滑滾動(dòng)或新的有滑滾動(dòng))的軌跡不是同一條拋物線．

(4)α=0，即斜面其實(shí)是水平面．此時(shí)

g1=0λ→

(29)

小球最終一定做無滑滾動(dòng)．式(17)變?yōu)閇1]

由于dvD=d(vDet)=etdvD+vDdet，而et⊥det，故上式給出det=0和

(31)

于是，vD的方向不變，而大小隨時(shí)間線性減小．由式(30)和式(8)可求出

aC=-μget

(32)

故而小球一般而言也是做拋物線運(yùn)動(dòng)，且其質(zhì)心加速度的方向決定于初始時(shí)vD0的方向．由式(31)得到，經(jīng)過時(shí)間

(33)

后，小球轉(zhuǎn)為無滑滾動(dòng)．此后，式(9)給出aC=0，即小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)．式(32)亦可由式(16)、(26)或(28)得到，而式(33)也可由式(22)得到，只要考慮到條件式(29)即可．

(5)yz平面中的平面平行運(yùn)動(dòng)，這是最常見的情形．此時(shí)，ωy=ωz=0，即角速度只有x分量，而小球上任一點(diǎn)的速度只有y，z分量．前面的無滑滾動(dòng)和上面的情形(1)～(4)都存在這種特殊情形，其討論皆對(duì)此情形成立，只要再加上“vD0,vC0都沿y方向”的條件即可．

5 小結(jié)

本文從剛體力學(xué)出發(fā)，研究了粗糙斜面上小球的一般運(yùn)動(dòng)(質(zhì)心做二維運(yùn)動(dòng)，球體本身做三維轉(zhuǎn)動(dòng))．研究表明，系統(tǒng)(斜面與小球)存在一個(gè)參數(shù) ，它對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)(無滑還是有滑滾動(dòng))有決定作用．無滑滾動(dòng)時(shí)的一般軌跡是拋物線，而有滑滾動(dòng)時(shí)的一般情形則要更復(fù)雜，本文給出了其理論分析和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡圖也分析了一些特殊情形還指出了一些易混淆之處，如，摩擦力的方向與軌道的切向無直接關(guān)系，小球沿最斜方向運(yùn)動(dòng)時(shí)并不一定做平面平行運(yùn)動(dòng)．

參 考 文 獻(xiàn)

1 馬爾契夫.理論力學(xué)(第三版).李俊峰譯．北京：高等教育出版社，2006.287