在繼承中變通 在變通中創(chuàng)新
——“雞兔同籠”問題的教學(xué)探究

江蘇啟東市海復(fù)小學(xué)（226200） 黃永娟

當今的課堂，在面對古代的問題時，絕不能簡單地學(xué)習(xí)積累前人的解決方法，也不能單純地從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的價值來考量，而是應(yīng)該充分領(lǐng)會并吸收前人留下的寶貴經(jīng)驗和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者深入鉆研教材后，發(fā)現(xiàn)各個年級都涉及對“雞兔同籠”問題的探究。那么，如何利用“雞兔同籠”問題激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

一、問題導(dǎo)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究解題方法

【例題1】鐵籠里有雞、兔共8只，26只腳，試問雞、兔各多少？

1.猜測（列表）法（如下表所示）

雞 7 6 5 4 3 2 1兔 1 2 3 4 5 6 7腳 18 20 22 24 26 28 30

對雞與兔的只數(shù)一一進行猜測，并將相關(guān)數(shù)據(jù)填入表格，分析表格中各項數(shù)據(jù)，找出符合要求的那一項即為答案。

2.畫圖法

畫法1：先單獨畫8只雞，合計16只腳，少了10只腳。1只雞變?yōu)橥镁蜁黾?只腳，于是只要用畫筆添上兩只腳，雞就變成兔。而要增加10只腳，就要換掉5只雞。

畫法2：先畫8只兔，共計32只腳，多出6只。1只兔變?yōu)殡u就會減少2只腳，于是只要用橡皮擦除兩只腳，兔就變成雞。而要刪去6只腳，就要換掉3只兔。

3.假設(shè)法

（1）假定全是雞，8×2=16（只）（試驗?zāi)_數(shù)），26-16=10（只）（10只腳的差額是因為兔子的缺位造成的），4-2=2（只）（一只兔換成一只雞后缺損的腳數(shù)），10÷2=5（只）（有5只雞要還原成兔，兔子數(shù)為5），8-5=3（只）（實際的雞數(shù)）。

（2）假定都是兔（解題過程略）。

二、創(chuàng)設(shè)新情境，引發(fā)創(chuàng)新思考

創(chuàng)設(shè)新情境：在聯(lián)歡會上公雞們表演“金雞獨立”，它們一只腳站立在地面上，另一只腳抬起，而玉兔則表演兔子作揖，將前肢抬起。

這個情境實際上是娛樂版的“雞兔同籠”。用題目創(chuàng)新激勵學(xué)生進行解法創(chuàng)新思考。實際上如果理解了“抬腳法”，解答便會開啟極簡模式。

解法如下：26÷2＝13（只）（都舉起半數(shù)的腳，落地的腳數(shù)），13-8＝5（只）（兔）（在此基礎(chǔ)上每個動物再“交出”一只腳，多余的就是兔子的腳數(shù)，也就是兔子數(shù)），8-5＝3（只）（雞）。

實際上，如果雞都抬起左腳，兔都抬起前肢，總腳數(shù)就減少一半。這時的情境為：1只雞還余1只腳撐地，雞腳數(shù)與只數(shù)對應(yīng)；但1只兔還站著2只腳，腳數(shù)比只數(shù)“多1”。對此，比基本腳數(shù)（只數(shù)）多出的腳數(shù)全部是兔子的。“比基本腳數(shù)多出幾只腳，就有幾只兔”這個原理我們稱之為“余額再分配原理”。所謂“余額再分配”，指兩種事物的數(shù)量相比較，一種事物某部件數(shù)量和整體數(shù)目對等，另一種事物相關(guān)部件數(shù)量則比整體數(shù)恰好多一倍。

三、共性轉(zhuǎn)為特性，創(chuàng)造創(chuàng)新多法解題

實際案例中，符合這種苛刻條件的情境少之又少，但是，如果細心研究，找到共性，轉(zhuǎn)化成“余額再分配”特性，就能將所有問題劃歸為一類。

【例題2】30名同學(xué)一共折疊80只紙鶴，男生每人折3只，女生每人折2只，求男、女生的人數(shù)。

乍看此題并無“余額再分配”特性。仔細分析發(fā)現(xiàn)：如果用總數(shù)量除以2，女生人數(shù)就和折后的只數(shù)對應(yīng)，男生人數(shù)與折后只數(shù)的對應(yīng)關(guān)系就是每人對應(yīng)1.5只，多出了半只，即每多出0.5只就對應(yīng)一位男生。

實際上還可以做另類變通，不做除法讓每位學(xué)生拿出半數(shù)的紙鶴，而是做減法讓每位都“捐出”1只紙鶴，解答會更簡單。

綜上可知，“余額再分配原理”的適用范圍還是很寬泛的。不管怎樣，實用才是鐵律。解題時，只要靈活掌握“余額再分配”思想，隨機應(yīng)變，通過有效轉(zhuǎn)化一定能實現(xiàn)簡便解題。