基于改進(jìn)模糊滑?？刂频臋C(jī)械臂運(yùn)動軌跡仿真

李愛民,王啟廣

(1.江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,江蘇 徐州 221116; 2.中國礦業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,江蘇 徐州 221008)

隨著制造業(yè)的快速發(fā)展,工業(yè)機(jī)械臂控制技術(shù)得到了很大改進(jìn).根據(jù)機(jī)械臂承載能力的大小可以將其劃分為大型、中型和小型3類[1].大型機(jī)械臂通常適用于裝配、碼垛及搬運(yùn)等場合;中小型機(jī)械臂通常適用于檢測、噴漆及焊接等場合.中小型機(jī)械臂因具有體積小、精度高、質(zhì)量輕及控制可靠等優(yōu)點在生活中廣泛應(yīng)用.與發(fā)達(dá)國家相比,我國機(jī)械臂技術(shù)的發(fā)展起步較晚,控制系統(tǒng)不穩(wěn)定,容易受到外界因素的干擾,造成機(jī)械臂運(yùn)動軌跡精度下降[2].為了盡快趕上發(fā)達(dá)國家機(jī)械臂控制技術(shù)水平,研究機(jī)械臂穩(wěn)定控制技術(shù)具有重要的意義.

機(jī)械臂在復(fù)雜環(huán)境中工作時,其運(yùn)動軌跡的精確定位尤其重要.目前,國內(nèi)外許多學(xué)者對機(jī)械臂控制方法展開了研究.例如,文獻(xiàn)[3-5]采用粒子群算法對機(jī)械臂PID控制進(jìn)行改進(jìn)研究,建立了平面欠驅(qū)動機(jī)械臂模型,在機(jī)械臂末端采用了PID控制器,應(yīng)用粒子群算法對PID控制參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化,并且將優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了仿真,相比傳統(tǒng)控制方法,機(jī)械臂跟蹤效果較好.文獻(xiàn)[6-7]采用模糊魯棒控制對機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行了研究,建立了多關(guān)節(jié)機(jī)械臂動力學(xué)模型,分析了模糊自適應(yīng)控制基本原理,設(shè)計了模糊補(bǔ)償自適應(yīng)控制方法,利用李雅普諾夫函數(shù)對模糊逼近誤差穩(wěn)定性進(jìn)行了證明,運(yùn)用仿真軟件對雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂進(jìn)行跟蹤誤差仿真,從而改善了機(jī)械臂控制的性能.文獻(xiàn)[8-9]采用混合控制研究機(jī)械臂的定位和振動問題,設(shè)計帶濾波器的混合閉環(huán)控制系統(tǒng),采用系統(tǒng)輸出等于系統(tǒng)參考的約束條件,能夠快速地實現(xiàn)機(jī)械臂關(guān)節(jié)的準(zhǔn)確定位和振動抑制,提高了機(jī)械臂定位精度和工作效率.但是,以往研究的機(jī)械臂角位移跟蹤都是在沒有外界干擾因素狀態(tài)下進(jìn)行仿真驗證的,在現(xiàn)實中應(yīng)用較少.對此,本文給出了多關(guān)節(jié)機(jī)械臂動力學(xué)微分方程式,分析了機(jī)械臂運(yùn)動特性,定義了關(guān)節(jié)運(yùn)動的角位移誤差函數(shù),推導(dǎo)了模糊滑?？刂品椒?應(yīng)用改進(jìn)粒子群算法對模糊滑?？刂七M(jìn)行優(yōu)化,給出了改進(jìn)模糊滑模控制的具體過程.以雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂為具體實例,采用Matlab軟件對雙關(guān)節(jié)運(yùn)動的角位移和輸入轉(zhuǎn)矩進(jìn)行仿真,并與滑?？刂品椒ㄐ纬蓪Ρ?為機(jī)械臂準(zhǔn)確定位的深入研究提供了參考.

1 多關(guān)節(jié)機(jī)械臂動力學(xué)

對于n關(guān)節(jié)的機(jī)械臂,其動力學(xué)可以由二階非線性微分方程式[10]表示如下:

(1)

式中:q(t)∈Rn為機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角;q′,q″分別為機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度和角加速度;D(q)∈Rn×n為正定慣性對稱矩陣;Vm(q,q′)q′∈Rn為哥氏力和離心力矢量函數(shù);G(q)∈Rn為重力矢量函數(shù);Fd∈Rn×n為黏性摩擦對角矩陣;Fs(q′)∈Rn為非結(jié)構(gòu)化摩擦向量;Td∈Rn為外部隨機(jī)干擾項;τ(t)∈Rn為控制力矩.

機(jī)械臂的動力學(xué)特性[10]如下.

(1)D(q)是正定對稱矩陣,且存在可逆矩陣D-1(q).

(2)D(q)′-2Vm(q,q′)是一個斜對稱矩陣,滿足以下關(guān)系式:

(2)

2 機(jī)械臂控制

2.1 逆動態(tài)控制

多關(guān)節(jié)機(jī)械臂控制軌跡跟蹤的目標(biāo)是實際角位移q盡可能跟蹤理論的角位移qd∈Rn.為了縮小軌跡跟蹤誤差,控制輸入[11]為

(3)

式中:D1(q),Vm1(q,q′),G1(q),Fd1和Fs1(q′)分別為D(q),Vm(q,q′),G(q),Fd和Fs(q′)的已知部分;V(t)為新的控制向量.

將式(3)代入式(1)得

(4)

式中:ΔVm(q,q′)q′=Vm1(q,q′)q′-Vm(q,q′)q′;ΔG(q)=G1(q)-G(q);ΔFd=Fd1-Fd;ΔFs(q′)=Fs1(q′)-Fs(q′).

令η=[D-1(q)D1(q)-1]V(t)+D-1(q)·[ΔVm(q,q′)q′+ΔG(q)+ΔFdq′+ΔFs(q′)-Td],則

(5)

定義新的控制V(t)為

(6)

將式(6)代入式(1)得

(7)

定義關(guān)節(jié)角位移誤差e(t)=X1(t)和e′(t)=X2(t),根據(jù)式(7)得

(8)

2.2 機(jī)械臂滑?？刂?/h3>

在設(shè)計滑模控制前,先定義滑模面[12]：

(9)

式中:C為常數(shù)系數(shù).

在滑?？刂圃O(shè)計中,W(t)控制輸出路徑包括等效控制We(t)和開關(guān)控制Ws(t)兩個部分:

(10)

在滑模階段,S(t)=0和S′(t)=0,等效項We(t)的目的是使系統(tǒng)保持在滑模表面上.在接近階段,S(t)≠0,開關(guān)控制項需滿足S(t)S′(t)<0.

由S′(t)=0,可得

(11)

在等效項控制設(shè)計中,假設(shè)滑模表面是零,因此,We(t)的目的是預(yù)防滑模表面發(fā)生變化.根據(jù)這個假設(shè),在這部分設(shè)計過程中,Ws(t)=0,可得

(12)

因為

(13)

所以,We(t)可以假定為

(14)

Ws(t)的設(shè)計方式是滑模表面趨于零,根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)[13]可得

(15)

對式(15)求導(dǎo)后得

(16)

由式(9),(10),(11),(14)可得

(17)

因此,V′[S(t)]≤0.

2.3 T-S模糊滑?？刂?/h3>

T-S模糊滑?？刂剖腔谥苯臃答伩刂撇呗?因此,模糊推理規(guī)則[14]建立為

若S(t)>0,則W(t)=We(t)+Ws(t);

若S(t)<0,則W(t)=We(t)-Ws(t).

采用重力消除法,系統(tǒng)控制W(t)為

(18)

3 改進(jìn)模糊滑模控制

3.1 改進(jìn)粒子群優(yōu)化

粒子群算法是一種并行算法,簡稱為PSO,在對動物集群活動行為觀察基礎(chǔ)上,利用群體中的個體對信息的共享,使整個群體運(yùn)動從無序到有序,從而達(dá)到最優(yōu)解[15].在粒子群優(yōu)化中,任何被提名的解決方案都被命名為“粒子”,蜂群中的每一個粒子都顯示出一個被提名的解決方案,如果這個解決方案是由一系列變量組成的,那就是粒子可以是變量的向量.在粒子群優(yōu)化中,每個粒子都是通過多維搜索空間,基于自身和整體來調(diào)整其在搜索空間中的位置.然后,粒子利用自身的最佳位置和它的鄰域來定位一個最優(yōu)解.根據(jù)優(yōu)化問題的成本函數(shù),可以對每個粒子的適當(dāng)性進(jìn)行評估.每一次重復(fù),每一個粒子的速度將被計算如下[15]:

(19)

式中:xi(t)為粒子的當(dāng)前位置;Pid為個體粒子最優(yōu)位置;Pgd為所有粒子中最優(yōu)位置;ω為慣性權(quán)重系數(shù);c1，c2為0和2之間學(xué)習(xí)因子;r1，r2為在[0,1]的隨機(jī)數(shù).

計算速度后,每一個粒子的新位置計算如下:

(20)

本文采用改進(jìn)權(quán)重系數(shù),從而平衡粒子群整體和局部的搜索能力,改進(jìn)后的慣性權(quán)重系數(shù)為

(21)

式中:r為一個均勻分布的隨機(jī)數(shù),在[0,1]區(qū)間.

3.2 改進(jìn)模糊滑?？刂七^程

根據(jù)上述討論,機(jī)械臂的模糊滑?？刂破鞯脑O(shè)計過程如下:

(1) 定義D1(q),Vm1(q,q′),G1(q),Fd1和Fs1(q′)的已知部分D(q),Vm(q,q′),G(q),Fd和Fs(q′),然后指定它們的上界和下界;

(2) 指定機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動軌跡路徑;

(3) 定義跟蹤誤差變量;

(4) 選擇正的常數(shù)系數(shù)C作為滑模控制面S(t)的向量;

(5) 采用式(14)得出We(t);

(6) 設(shè)計T-S模糊模型控制法則W(t)和相關(guān)的模糊隸屬函數(shù);

(7) 通過選擇模糊隸屬函數(shù)的參數(shù)來優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù);

(8) 建立模糊推理規(guī)則基礎(chǔ);

(9) 將模糊變量通過重心法進(jìn)行模糊化,得到控制規(guī)律W(t);

(10) 通過使用式(3)指定機(jī)械臂操作器的輸入控制.

4 機(jī)械臂運(yùn)動軌跡仿真及分析

為了驗證改進(jìn)模糊滑?？刂破鞯男阅?本文將上述控制器應(yīng)用到雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂上,如圖1所示.

機(jī)械臂運(yùn)動軌跡誤差采用Matlab軟件進(jìn)行仿真驗證,機(jī)械臂運(yùn)動仿真參數(shù)如下所示:機(jī)械臂理論運(yùn)動角位移為q1=q2=0.8cos(πt/2) rad,機(jī)械臂初始位置為q(0)=[0 0]T,滑模控制參數(shù)為K=diag{30,30},種群大小為50,最大迭代次數(shù)為200,學(xué)習(xí)因子為c1=c2=1,外界干擾參數(shù)為Td1=Td2=1.2cos(πt) rad,機(jī)械臂長度l1=l2=1.0 m,m1=1.2 kg,m2=0.6 kg,g=9.8 m/s2,Fd1=Fd2=1,Fs1=Fs2=1,仿真時間為t=8 s.假設(shè)外界沒有干擾因素,分別采用改進(jìn)模糊滑?？刂啤⒒？刂频臋C(jī)械臂運(yùn)動角位移和輸入轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果，如圖2所示.假設(shè)外界有干擾因素,分別采用改進(jìn)模糊滑?？刂?、滑?？刂频臋C(jī)械臂運(yùn)動角位移和輸入轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果，如圖3所示.

圖1 雙關(guān)節(jié)簡圖模型Fig.1 Double joint sketch model

根據(jù)圖2仿真曲線可知,在理想狀態(tài)下(外界沒有干擾因素),分別采用改進(jìn)模糊滑?？刂坪突？刂品椒?機(jī)械臂運(yùn)動角位移的跟蹤效果很好,兩種控制方法差別不大.但是,采用滑?？刂品椒?機(jī)械臂輸入力矩跳動幅度較大,振動現(xiàn)象較為嚴(yán)重.因此,采用改進(jìn)模糊滑?？刂品椒ㄐЧ^好.由圖3仿真曲線可知:在實際狀態(tài)下(外界沒有干擾因素),采用改進(jìn)模糊滑模控制方法,機(jī)械臂運(yùn)動角位移的跟蹤效果很好;而采用滑?？刂品椒?機(jī)械臂運(yùn)動角位移跟蹤誤差較大,同時,采用滑模控制的輸入力矩跳動幅度更大,振動現(xiàn)象更加嚴(yán)重.綜合對比后可知,機(jī)械臂運(yùn)動角位移采用改進(jìn)模糊滑?？刂品椒?能夠適應(yīng)實際情況,抑制外界因素的影響,提高機(jī)械臂關(guān)節(jié)的定位精度.

圖2 雙關(guān)節(jié)角位移和力矩仿真曲線(無干擾)Fig.2 Simulation curve of double joint angular displacement and torque (without interference)

圖3 雙關(guān)節(jié)角位移和力矩仿真曲線(有干擾)Fig.3 Simulation curve of double joint angular displacement and torque(with interference)

5 結(jié)語

本文采用了改進(jìn)模糊滑?？刂品椒ㄑ芯苛藱C(jī)械臂角位移的跟蹤誤差.構(gòu)造了多連桿機(jī)械臂動力學(xué)模型,分析了機(jī)械臂動力學(xué)特性.通過逆動態(tài)控制推導(dǎo)出模糊滑模控制方法,應(yīng)用改進(jìn)粒子群算法對控制方法進(jìn)行優(yōu)化,給出了改進(jìn)模糊滑?？刂品椒ǖ木唧w控制過程.以雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂為例,在Matlab軟件中對機(jī)械臂運(yùn)動角位移的跟蹤誤差進(jìn)行仿真,并且與改進(jìn)前的滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行對比分析.仿真結(jié)果顯示,機(jī)械臂采用改進(jìn)模糊滑?？刂品椒?能夠抑制外界不確定因素的影響,機(jī)械臂角位移跟蹤效果很好,振動幅度減弱.

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