求解廣義正則長波方程的新型守恒差分方法

陳佳欣, 邵新慧

(1. 遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 撫順 113001; 2. 東北大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽 110819)

考慮如下一類廣義正則長波(GRLW)方程的初邊值問題:

此問題具有如下守恒律:

(4)

其中C為一般正常數(shù),由于方程的物理邊界滿足當(dāng)|x|→∞時(shí),u→0,方程單個(gè)孤波解為

(5)

σ和x0是任意常數(shù)(p≥2).當(dāng)-xL,xR充分大時(shí),初邊值問題與方程的柯西問題是一致的.

對廣義正則長波進(jìn)行研究,當(dāng)p=2時(shí),此方程為正則長波方程,正則化長波(RLW)方程是一個(gè)重要的非線性波動(dòng)方程,在非線性色散介質(zhì)中傳播[1-4].其中廣義正則長波方程在物理介質(zhì)中扮演著非常重要的作用,因?yàn)樗枋隽嗽S多非線性現(xiàn)象,包括在淺水中含有非線性橫波的色散波、等離子體中的離子聲和磁流體波.因此廣義正則長波方程理論的研究具有重要的意義[5-7],尤其是它所描述的運(yùn)動(dòng)有與KDV方程相同的逼近界,也能很好地模擬KDV的幾乎所有應(yīng)用.關(guān)于廣義正則長波方程的研究較為普遍,但是KDV方程在求解過程中少有解析解,所以討論方程的數(shù)值解法十分有意義.

針對廣義正則長波方程(GRLW)建立一種新型的保守差分格式.對于廣義正則長波方程過程(GRLW),多數(shù)是采用數(shù)值解法,Chen研究了廣義對稱正則長波方程孤立波解的軌道穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性[8];Bona通過Fourier譜方法對GRLW方程的初邊值問題進(jìn)行了研究[9];Dogan針對長波方程提出了Galerkin求解方法[10];Tian等人借助計(jì)算機(jī)計(jì)算,使用廣義雙曲函數(shù)方法獲得(2+1)維對稱正則化長波方程的精確解析解[11];Kaya考慮廣義正則長波方程的孤立波解解決方案,該文求得了廣義正則長波方程的確切孤立波解,并通過使用Adomian分解方法而不是傳統(tǒng)方法求出了廣義正則長波方程的數(shù)值解[12];Soliman為了解決廣義正則長波方程數(shù)值解問題,使用了變分迭代法[13];Cai在求解正則長波方程過程中使用新的六點(diǎn)多辛和十點(diǎn)顯式多辛2個(gè)格式[14];Mohammadi等人為了解決GRLW方程的數(shù)值解,在研究中運(yùn)用正弦基函數(shù)的無網(wǎng)格技術(shù).此外,他們提出了一個(gè)新的迭代算法解決GRLW方程[15];徐友才等人提出了廣義正則長波方程的一個(gè)兩層非線性守恒差分格式[16];胡勁松提出了擬緊致守恒差分格式[17].這些研究成果的出現(xiàn),使廣義正則長波方程數(shù)值解法的研究變得系統(tǒng)化和理論化,為后續(xù)研究提供了充足的理論保障和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).

對于徐友才對問題(1)～(3)提出了具有二階精確度的兩層守恒格式[16],但是方程中的非線性項(xiàng)(up)離散太過復(fù)雜,當(dāng)參數(shù)p較大時(shí),由于每項(xiàng)打開分別求和,此格式計(jì)算耗時(shí)很大.胡勁松提出了一個(gè)兩層擬緊致守恒差分格式[17],雖然差分格式較為簡單,但結(jié)果的精度一般.為此,本文構(gòu)造了一個(gè)新的差分格式,此格式為一個(gè)帶有權(quán)系數(shù)的3層差分格式,3層差分格式比徐友才提出格式更為簡單,新格式合理地模擬了守恒量,從而適合長時(shí)間計(jì)算,當(dāng)θ取不同值時(shí),精度會(huì)發(fā)生變化,數(shù)值算例表明,相對于胡勁松提出的2層二階格式,該格式的精度有了提高.

1 預(yù)備知識(shí)及相關(guān)引理

廣義正則長波方程作為非線性偏微分方程的一種,通常被用來解釋很多科學(xué)分支和物理現(xiàn)象.但是求解偏微分方程的解析解非常困難,所以討論方程的數(shù)值解法十分有意義[18-19].

有限差分法作為求解偏微分方程的主要數(shù)值方法,由于數(shù)字電子計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限個(gè)數(shù)據(jù)和做有限次運(yùn)算,所以任何一種用計(jì)算機(jī)解題的方法,都必須把連續(xù)問題離散化,最終化成有限形式的線性代數(shù)方程組.用差分法將連續(xù)問題離散化的步驟是,首先對求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分,用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)區(qū)域;其次將微分算子離散化,從而把微分方程的定解問題化為線性代數(shù)方程組的求解問題[20].

差分法的基本問題有:

(1) 對求解域作網(wǎng)格剖分.一維情形是把區(qū)間分成一些等距或不等距的小區(qū)間,稱之為單元.二維情形則把區(qū)域分割成一些均勻或不均勻的矩形,其邊與坐標(biāo)軸平行,也可分割成一些三角形或凸四邊形等[20].

(2) 構(gòu)造逼近微分方程定解問題的差分格式.

(3) 差分解的存在唯一性、收斂性及穩(wěn)定性的研究.這些理論問題都?xì)w納到對差分解作出先驗(yàn)估計(jì).

(4) 差分方程的解法.

作為模型,考慮一維熱傳導(dǎo)方程

(6)

其中,a是正常數(shù),f(x)是給定的連續(xù)函數(shù)按照定解條件的不同給法,可將式(6)的定解問題分為2類:

第1類 初值問題(也稱Cauchy問題):求具有所需次數(shù)偏微商的函數(shù)u(x,t),滿足方程(6)(-∞

u(x,0)=φ(x),-∞

(7)

第2類 初邊值問題(也稱混合問題):求具有所需次數(shù)偏微商的函數(shù)u(x,t),滿足方程(6)(0

u(x,0)=φ(x),0

(8)

及邊值條件

u(0,t)=u(l,t)=0,0≤t≤T.

(9)

假定φ(x)在相應(yīng)區(qū)域光滑,并且在x=0,l與邊值相容,使上述問題有唯一充分光滑的解.

(1) 向前差分格式[21],即

其中,j=1,2,…,N-1,k=1,2,…M-1.以r=aτ/h2表示網(wǎng)比,將式(10)改寫成便于計(jì)算的形式,使第k層值在等式右邊,第k+1層值在等式左邊,則得

(12)

由于第(k+1)層值通過第k層值表成為(12)無需求解線性代數(shù)方程組,如此的差分格式稱為顯格式.

截?cái)嗾`差為O(τ+h2),其增長因子為

(13)

(2) 向后差分格式,即

其中,j=1,2,…,N-1,k=1,2,…,M-1.將式(14)改寫為

(16)

由于第(k+1)層值不能用第k層值明顯表示,而是由線性代數(shù)方程組(16)確定,如此的差分格式稱為隱格式.

截?cái)嗾`差為O(τ+h2),其增長因子為

(17)

(3) Crank-Nicolson格式(CN格式)為

截?cái)嗾`差為O(τ2+h2),其增長因子為

(19)

差分格式穩(wěn)定性分析的方法有Fourier級(jí)數(shù)法、矩陣分析法和能量法.

(1) Fourier級(jí)數(shù)法

考慮下面實(shí)直線R上的一個(gè)初值問題

定義u關(guān)于x的空間Fourier變換為

逆Fourier變換為

假定偏微分方程的解在±∞處足夠好,使得積分存在且在±∞處為零.Fourier變換的一個(gè)性質(zhì)是Parseval等式,即

Parseval等式表示函數(shù)的模與其變換后的模在各自的空間中相等.

為分析關(guān)于初邊值問題差分格式的穩(wěn)定性,需要考慮離散Fourier變換.假定在實(shí)或復(fù)l2空間中給定向量u=(…,u-1,u0,u1,…)T.定義

若特別強(qiáng)調(diào)空間離散步長的影響,可定義

(2) 矩陣分析法

命題2[22]對如下形式的兩層格式

un+1=Qun,n≥0,(n+1)Δt≤T,

(20)

差分格式(20)關(guān)于?！ぁ欠€(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在正常數(shù)Δx0和Δt0以及非負(fù)常數(shù)K使得

‖Qn+1‖≤K

(21)

對0<Δx≤Δx0,0<Δt≤t0成立.

上面介紹了初邊值問題穩(wěn)定性分析的Fourier級(jí)數(shù)法,對初邊值問題,還可以用矩陣法來進(jìn)行分析.初邊值問題的差分格式可以寫成下面的形式

un+1=Qun.

(22)

如果是隱式格式

Q1un+1=Q2un

則可變成

這仍然是式(22)的形式.根據(jù)命題2,為了討論穩(wěn)定性,尋求滿足不等式(21)的K,這就要計(jì)算Qn+1的模,而這是很困難的.設(shè)ρ(Q)為矩陣Q的譜半徑,因?yàn)棣?Q)≤‖Q‖恒成立,于是得到下面的結(jié)果.

定理1[22]差分格式(22)穩(wěn)定的必要條件是

ρ(Q)≤1+CΔt,

其中,C是某一與Δt無關(guān)的非負(fù)常數(shù).

(3) 能量方法

考慮熱傳導(dǎo)問題

對方程(23)兩邊乘以u關(guān)于x積分,得:

(26)

從而

(27)

(28)

方程(23)的顯示格式是

(30)

當(dāng)n→∞時(shí)保持有界.

也即滿足

在邊界上滿足條件

(33)

及

先將式(34)右端改寫成

(37)

化簡可得:

若定義

則

將式(38)代入式(41)中,得

因此En是n的單調(diào)下降函數(shù).下面證明當(dāng)n→∞時(shí),‖zn‖2有界.對不等式

從j=0,1,…,M-1求和,得:

由En的定義,結(jié)合上式,得:

En≥(1-2r)‖zn‖2,

又已證得En是n的單調(diào)下降函數(shù),故

En≤En-1≤…≤E0≤‖z0‖2,

所以

由于‖z‖2稱為能量,因此這種方法稱為能量方法,能量方法原則上可用于變系數(shù)非線性方程.

定義2[23]空間L2(Ω)上面內(nèi)積與范數(shù)分別定義如下:

定義3[23]空間L2(Ω)上面離散范數(shù)定義如下:

定義4[24](Taylor)如果f(x)的n+1階導(dǎo)數(shù)連續(xù),且fn+1(x)有界,那么

定理2[24]Schwarz不等式

|(u,v)|≤‖u‖·‖v‖,

引理1[25](離散Sobloev不等式)存在常數(shù)C1和C2有:

ω(k)≤ρ(k)eCτk,?k,

引理3[24](分部求和公式)對任意兩個(gè)離散函數(shù)uh={uj|j=0,1,2,…,J}和vh={vj|j=0,1,2,…,J},有

文中記號(hào)如下:

‖un‖2=(un,un),un的2范數(shù);

2 差分格式的建立

故對問題(1)～(3)考慮如下有限差分格式:

格式1 三層非線性差分格式

其中系數(shù)θ∈[0,1],還需要另一個(gè)二層的差分格式去計(jì)算u1.

格式2 二層格式

其中

又

將式(53)、式(54)代入式(52)中,然后得:

(55)

將式(58)～式(60)代入式(57)得到:

3 差分格式的可解性分析

定理4 式(45)～式(47)是唯一可解的.

證明 很顯然u0被式(46)唯一確定,根據(jù)格式2,可知u1被u0確定.現(xiàn)可以猜想u0,u1,…,un是唯一可解的.考慮un+1.

取式(62)與un+1作內(nèi)積,可得:

(63)

根據(jù)差分性質(zhì)和邊界條件有

由式(63)、式(64)可得:

(65)

即只有零解,因此式(45)～式(47)中un+1是唯一可解的.

4 差分格式的誤差分析

‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,‖u‖∞≤C.

(66)

證明 由式(43)得到‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,再由引理1知‖u‖∞≤C.

證明 由式(56)及Schwarz不等式有

即

5 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性分析

由引理5、定理5及Cauchy-Schwarz不等式有

將式(70)～式(73)代入式(69)可以得到

并令

則式(75)變?yōu)?/p>

Bn+1-Bn≤2τ‖rn‖2+Cτ(Bn+1+Bn),

整理得:

(1-Cτ)(Bn+1-Bn)≤2τ‖rn‖2+2CτBn.

如果τ適當(dāng)小,滿足1-Cτ>0,則有

Bn+1-Bn≤Cτ‖rn‖2+CτBn.

(75)

將式(75)從0到n-1求和得:

(76)

記

并且B0≤(O(τ2+h2))2,于是有

從定理6,可得:

Bn≤(O(τ2+h2))2,

即

再由引理1有

‖en‖∞≤(O(τ2+h2).

定理7 在定理6的條件下,式(45)～式(47)得解,un以‖·‖∞穩(wěn)定.

6 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮廣義正則長波方程,現(xiàn)計(jì)算如下數(shù)值算列

在式(5)中,固定

由于本文的格式是3層的差分格式,但是3層格式在計(jì)算的時(shí)候不是自啟動(dòng)的,一般是需要先用2層格式計(jì)算第1層的數(shù)值解,然后才可以計(jì)算剩余時(shí)間層的數(shù)值解.為此考慮p=2和p=4兩種情況進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn).為了便于比較,記本文的格式為格式1,把θ分別取0,0.25,0.5,0.75,1.表1給出了當(dāng)p=2時(shí)τ=0.1,h=0.05下的平方誤差;表2給出了當(dāng)p=2時(shí)本文差分格式與其他數(shù)值解法的平方誤差的比較;表3給出了p=4時(shí)τ=h=0.1下的平方誤差;表4給出了當(dāng)p=4時(shí)本文差分格式與其他數(shù)值解法的平方誤差的比較.通過表2和表4可以看出本文的差分方法是有效的和可行的.

表1 當(dāng)p=2時(shí)取τ=0.1,h=0.05時(shí),θ取不同值的平方誤差Table 1 The square error of θ when taking different values,p=2,τ=0.1,h=0.05

表2 當(dāng)p=2時(shí)取τ=0.1,h=0.05,本文差分格式與其他數(shù)值解法的平方誤差

表3 當(dāng)p=4時(shí)取τ=h=0.1時(shí),θ取不同值的平方誤差Table 3 The square error of θ when taking different values, p=4,τ=h=0.1

表4 當(dāng)p=4時(shí)取τ=h=0.1時(shí),本文差分格式與其他數(shù)值解法的平方誤差

7 結(jié) 論

本文針對廣義正則長波方程的數(shù)值解法進(jìn)行了較為深入的研究,并提出了兩個(gè)差分格式,通過分析可以獲得這兩個(gè)有限差分格式都滿足能量守恒性質(zhì),同時(shí)通過用離散泛函的方法驗(yàn)證了求解廣義正則長波方程的有限差分格式的收斂性和穩(wěn)定性.此差分格式相對于前人(up)x復(fù)雜的離散過程中,計(jì)算量小,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文差分格式比前人在求解數(shù)值解的誤差精度方面得到了優(yōu)化.但是廣義正則方程的研究仍存在不足,有待進(jìn)一步深化,例如在數(shù)值解方法方面可以對現(xiàn)有方法進(jìn)一步優(yōu)化或者尋找新的求解方法,使數(shù)值解更精確及滿足更多的物理特征.

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