柔順桿大變形分析的A-T-S方法

楊鵬飛，張學(xué)良，權(quán) 諾，侯曉丹

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原030024)

包含柔順桿連接的柔順機(jī)構(gòu)有很多潛在的優(yōu)點(diǎn)，與傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)相比，它積極地利用構(gòu)件自身的變形來傳遞運(yùn)動(dòng)、力和能量，具有減少構(gòu)件數(shù)量，節(jié)約裝配時(shí)間、簡化加工程序、避免摩擦和噪音等優(yōu)點(diǎn)[1]。目前對(duì)柔順桿的分析更多的集中在對(duì)等截面柔順桿的簡化和精確分析中，文獻(xiàn)[2]應(yīng)用橢圓積分方法來計(jì)算柔順桿受力和位移、角度之間的關(guān)系，但其方法復(fù)雜 、計(jì)算難度大，且只能表示桿的末端運(yùn)動(dòng)情況。在柔順機(jī)構(gòu)的簡化分析中，HOWELL[3-5]、SU[6]、馮忠磊[7]等分別提出了1R、3R和2R偽剛體模型，在柔順桿的分析中各有優(yōu)劣，但其誤差較大，適合于柔順桿的簡化分析。Howell, Midha等[8-9]在對(duì)構(gòu)件分類時(shí)，提出段的直觀概念，將構(gòu)件由于橫截面的不同區(qū)分為若干段，并分析了柔順桿的段與段的自由度、以及段間的連接類型情況，提出了一個(gè)柔順段的劃分及柔順機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于分析柔順機(jī)構(gòu)時(shí)使用的Adams方法，王英慧等[10，11]進(jìn)行了研究。L.Saggere等[12]提出了一種數(shù)值方法對(duì)柔順桿進(jìn)行分析，如圖1，針對(duì)末端受力F和同向力矩M0的柔順桿，將其用多個(gè)剛桿和剛度為EI/L的扭簧相連接的等長小段模型來代替(Model of curved beam using torsional springs and rigid elements簡稱T-S模型)，然后對(duì)各段之間的受力參數(shù)進(jìn)行擬合，進(jìn)而達(dá)到近似計(jì)算桿末端以及桿各部位變形情況的目的，但是其擬合難度較大，計(jì)算過程中需同時(shí)滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)平衡約束，導(dǎo)致當(dāng)分段數(shù)較大時(shí)，其計(jì)算速度變得很慢，文中用此方法通過桿末端的位移和角度變化來反向設(shè)計(jì)柔順桿。綜上所述，當(dāng)前對(duì)桿狀柔順機(jī)構(gòu)的研究包括應(yīng)用橢圓積分對(duì)其末端運(yùn)動(dòng)情況的研究、應(yīng)用偽剛體方法對(duì)其末端運(yùn)動(dòng)狀況的近似研究等，而此類方法并不能精確得出柔順桿受力和力矩后各部分的應(yīng)變能、變形、受力等情況。

本文對(duì)T-S模型進(jìn)行了改進(jìn)，由一系列的剛性桿和剛度為EI/L的扭簧來等效替代柔順桿，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行大變形分析。將其對(duì)桿的分段方法由T-S模型中按桿長平均分段化為了按末端轉(zhuǎn)角分段，每段桿相對(duì)于上一段桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角為固定值，得出了一種新的t-s模型(Model of curved beam using torsional springs and rigid elements which devided by angle, 簡稱A-T-S模型)，如圖2.根據(jù)相對(duì)轉(zhuǎn)角固定推出了相鄰兩桿的長度之間的關(guān)系，再利用桿右邊界所受力矩為集中力矩M0的邊界條件，通過數(shù)值搜索得出合適的桿長組合，進(jìn)而得出桿末端轉(zhuǎn)角和所受力之間互相計(jì)算的方法。最后與橢圓積分算法進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了此方法的可行性,從而為柔順桿的分析及設(shè)計(jì)提供了一種新的思路和方法。

圖1 末端受力柔順桿及其T-S模型
Fig.1 The compliant bar with tip load and its T-S model

1 A-T-S模型

如圖2(a)所示，研究對(duì)象為末端受到集中力和同向力矩的均質(zhì)柔順桿，其桿長為L0，桿的彈性模量為E，慣性矩為I.桿受到縱向力P，橫向力n×P和末端力矩M0后變形情況如圖中實(shí)線所示，變形前桿位置如圖中虛線所示。受力后末端轉(zhuǎn)角為θ°，右端點(diǎn)的橫向坐標(biāo)為a，縱向坐標(biāo)為b，所受力矩M0和力P的關(guān)系為M0=P*K1*L0,(K1用以表示末端受力和力矩對(duì)桿變形的貢獻(xiàn)率[7])。

分析模型如圖2(b)所示，將柔順桿設(shè)為多個(gè)剛桿和扭簧的組合，利用T-S模型，設(shè)第i段的扭簧剛度為W=E*I/Li，其中E為桿彈性模量，I為桿的慣性矩，Li為第i段的長度。對(duì)T-S模型進(jìn)行了改變，每段桿長不再相等，而是假設(shè)每一段相對(duì)上一段的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角度都一樣。每段的左端點(diǎn)所受的力矩分別用Mi來表示，則第一段在復(fù)合力F的作用下扭轉(zhuǎn)角度為Φ，于是對(duì)第一段有等式(1)：

圖2 自由端受力的柔性梁及其A-T-S模型
Fig.2Acompliantbeamwithatiploadandasamedirectionmomentwithit’sA-T-Smodel

(1)

同理對(duì)第2、…和第i、m段有等式(2)：

(2)

…

(3)

…

(4)

相鄰兩段之間的力矩差為：

M1-M2=P×L1×cosΦ1+nP×L1×sinΦ1

(5)

…

Mi-1-Mi=P×Li-1×cosΦi-1+

nP×Li-1×sinΦi-1

式中，M為FFT點(diǎn)數(shù)，l=Round(2NMvΔfTr/c)，繼續(xù)對(duì)s(i)作FFT后歸一化取模，可得

(6)

…

Mm-1-Mm=P×Lm-1×cosΦm-1+nP×Lm-1×sinΦm

(7)

連列式(1)- (7)得：

(8)

…

(9)

…

(10)

于是當(dāng)分段數(shù)趨于無窮時(shí)各桿長L之和滿足：

(11)

根據(jù)邊界條件，桿最末端所受力矩為M0，于是當(dāng)分段數(shù)趨于無窮時(shí)有：

nP×Li×sinΦi)-M0=0

(12)

其中Φi=Φ×i

(13)

于是由式(1)、式(7)-(12)可得到一個(gè)n+2元非線性方程組。當(dāng)已知末端轉(zhuǎn)角和末端對(duì)上面所得的方程組求解，得到其滿足精度的解即可得到每小段桿的長度和末端受力P的值，進(jìn)而可得到桿各個(gè)部分的位移、變形和儲(chǔ)能狀況以及各部分所受力的大小。

2 模型求解

2.1 目標(biāo)函數(shù)及約束定義

nP×Li×sinΦi)-M0|

(14)

s.tLi=

(i=2、3…m)

(15)

(16)

(17)

2.2 求解流程

3 算例驗(yàn)證

3.1 末端軌跡誤差分析

當(dāng)用A-T-S方法獲得了最佳桿長度向量之后，桿末端的軌跡可以用累加得到，公式如下：

(18)

(19)

取一參數(shù)已知的桿為研究對(duì)象，其幾何和物理參數(shù)如下：各材料均為柔性鋼梁，其彈性模量E=30×106 N/cm2,長L0=20 cm，寬w=1.25 cm以及高h(yuǎn)=1/32 cm，即慣性矩I=3.28×10-6cm4，橫縱方向受力比為1，在末端轉(zhuǎn)角不同時(shí)，對(duì)末端軌跡和末端受力進(jìn)行計(jì)算，橢圓積分和A-T-S方法的比較結(jié)果如圖4.

如圖4(a)所示，隨著分段數(shù)的增加，A-T-S方法對(duì)末端位移計(jì)算所得的結(jié)果越來越接近于傳統(tǒng)橢圓積分的計(jì)算結(jié)果。

定義偽剛體模型末端變形位置與柔順桿的末端變形位置的距離和柔順桿原長L0之比為相對(duì)變形誤差e來衡量偽剛體模型對(duì)柔順桿的模擬效果。相對(duì)變形誤差公式為[7]:

(20)

圖3 模型求解流程圖
Fig.3 The flow chart of the model’s solution process

于是得出圖4(b),由圖可得，當(dāng)分段數(shù)為10 000時(shí)，在末端轉(zhuǎn)角不大于134°(此受力下極值角135°)，桿長和力F近似誤差限定在10-5時(shí)，最大相對(duì)變形誤差e小于0.1%，末端力F的相對(duì)計(jì)算誤差小于0.5%.而當(dāng)分段數(shù)為100 000時(shí)，經(jīng)計(jì)算得，最大變形誤差e小于0.03%，力F相對(duì)計(jì)算誤差小于0.07%，且其誤差隨著分段數(shù)的增加而不斷減小。

3.2 大變形柔順桿的應(yīng)變能分布情況

對(duì)末端受力矩的大變形柔順桿，其每一段的應(yīng)變能可用下式計(jì)算：

(21)

其中Wi為第i段的扭簧剛度。

于是對(duì)上述大變形柔順桿，當(dāng)其末端轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，利用公式(20)及利用A-T-S方法累加，輸出了其應(yīng)變能沿著桿長位置的變化情況如圖5所示：

由圖5可得，變形能隨著桿長的增大，逐步變大，但其趨勢越來越平緩，這是由于越接近右端，力對(duì)桿的力矩越小的原因，在此情況下計(jì)算得桿的總變形能為8.44 N·cm.

圖4 A-T-S方法和橢圓積分的誤差對(duì)比
Fig.4 Comparison of the error about A-T-S model and elliptical method

圖5 末端受力的柔順桿變形能分布情況
Fig.5 Deformation energy’s distribution of the compliantlink with tip load

4 結(jié) 論

本文將鏈?zhǔn)剿惴ê蛅-s模型相結(jié)合，提出了A-T-S方法，為柔順桿的大變形分析提供了一種新的思路。該方法不僅可以計(jì)算大變形柔順桿的末端位移和受力，還可以對(duì)柔順桿受力后的變形情況、應(yīng)變能的分布情況進(jìn)行表示。它對(duì)桿末端位置、轉(zhuǎn)角和受力計(jì)算的誤差隨著桿長分段數(shù)的增大而逐漸變小，在實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)問題的精度要求適當(dāng)選擇分段數(shù)，進(jìn)而達(dá)到速度和精度的平衡。由于通過此方法可以得到每一個(gè)小段所受拉力的情況，進(jìn)而可以通過引入胡克定律，得到柔順桿受力后的軸向拉伸變形，使得柔順桿的力學(xué)分析更加精確，從而更適于實(shí)際應(yīng)用。

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