基于Simulink的圓形限制性三體運動模型可視化

石云鳳，張洪銀，胡宇，楊洪明，梁攀

（1.西南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，綿陽621010；2.西南科技大學(xué)信息與計算科學(xué)系，綿陽 621010）

0 引言

3個質(zhì)點，在只有萬有引力相互作用下的運動問題，就是三體問題。由于三體運動方程的非線性，使得其運動軌跡非常依賴于初值，初值改變那怕微乎其微，運動也會從周期性轉(zhuǎn)化為混沌[1]。因此本文旨在通過建立三體問題的數(shù)學(xué)模型，再利用Simulink仿真軟件，實現(xiàn)對地球、太陽和月球的圓形限制性三體運動的仿真，從而克服由于初值改變使得三體運動軌跡有較大變動的特點，便于觀察三體運動的軌跡，得到三體運動的規(guī)律。

1 三體運動模型的建立

1.1 坐標(biāo)系建立

可視為質(zhì)點的三個天體相互作圓周運動,取質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,且旋轉(zhuǎn)速度等于兩天體的圓周運動角速度。則質(zhì)心在此坐標(biāo)系中處于靜止,三體在直角坐標(biāo)系中的相對位置示意圖如圖1所示。

1.2 數(shù)學(xué)模型建立

當(dāng)所討論的三個天體中，有一個天體的質(zhì)量與其他兩個天體的質(zhì)量相比小到可以忽略時，這樣的三體問題稱為限制性三體問題。一般地把小質(zhì)量的天體稱為無限小質(zhì)量體，或簡稱小天體，把兩個大質(zhì)量的天體稱為有限質(zhì)量體。由于小天體的質(zhì)量被視為無限小，則它不影響兩個有限質(zhì)量體的運動。

圖1 三體相對位置示意圖

根據(jù)牛頓萬有引力定理和牛頓第二定律，可以視為質(zhì)點的兩個天體之間產(chǎn)生的萬有引力關(guān)系為：

式中M為天體一的質(zhì)量，m為天體二的質(zhì)量，G為萬有引力常數(shù)，r為兩個天體的距離。故在空間直角坐標(biāo)系中，天體二在x軸方向上的加速度分量為：

式中，表示天體二與天體一的所在向量與x軸的夾角。同理可得天體二在y軸方向上的加速度分量與z軸方向上的加速度分量為：

各加速度的分量與天體二質(zhì)心投影在x、y、z軸上的距離關(guān)系為：

本文在建立仿真系統(tǒng)時討論太陽、地球和月球三體問題。由于太陽、月球和地球距離較遠(yuǎn)且質(zhì)量分布較均勻，故可將它們視為質(zhì)點。在仿真系統(tǒng)中，不考慮其他天體對該三體運動問題的影響。以太陽中心作為坐標(biāo)原點，月球和地球的運動平面為xOz平面，根據(jù)右手法則確定y軸，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)太陽、月球和地球坐標(biāo)分別為：(0 ,0,0)，(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)，質(zhì)量分別為M1,M2,M3。由于萬有引力常量實際值太小，為了提高仿真效果，在建立仿真系統(tǒng)時可取G=1。

（1）子系統(tǒng)Gravity accelerations的數(shù)學(xué)模型：

月球的加速度在x，y和z軸方向的分量分別為：

地球的加速度在x，y和z軸方向的分量分別為：

由于地球的質(zhì)量和月球的質(zhì)量相對太陽質(zhì)量來說太小，故太陽的加速度在x，y和z軸方向的分量均可取0，即：

（2）子系統(tǒng)Distance scaling中數(shù)學(xué)關(guān)系：

考慮到月球繞地球公轉(zhuǎn)，同時為使仿真效果逼真，故對月球的空間坐標(biāo)加以修正。根據(jù)實際情況取地球與月球質(zhì)量的比例系數(shù)為k=49，故可得月球修正后的空間坐標(biāo)：

2 仿真系統(tǒng)的建立

根據(jù)三體運動中建立的微分方程模型，本文利用MATLAB中的Simulink仿真軟件建立仿真系統(tǒng)，如下：

圖2 仿真總圖

圖3 Gravity accelerations子系統(tǒng)中的組件

圖4 Distance scaling子系統(tǒng)中的組件

3 仿真結(jié)果與結(jié)果分析

通過查閱相關(guān)資料，結(jié)合實際，在仿真系統(tǒng)中設(shè)定初值如下表1。

表1 仿真系統(tǒng)中的初值

最終通過組件的運行計算，可在VR組件部分得到三體運動的仿真軌跡：以下是仿真結(jié)果的動態(tài)圖形部分時刻的截圖，如圖5。

由圖可清晰看到地球、太陽、月球三個天體在不同時刻的運動狀態(tài)，實現(xiàn)了該三體問題的運動軌跡可視化。通過改變相應(yīng)初值，還可方便看到該三體的運動狀態(tài)的改變，非常地直觀形象。

圖5 三體仿真在不同時刻的運動圖形

4 結(jié)語

一般三體問題的運動方程為十八階方程,必須得到18個積分才能得到完全解。然而,目前還只能得到三體問題的10個初積分,還遠(yuǎn)不能解決三體問題[2]。通過利用Simulink仿真軟件對太陽、地球、月球三體運動問題進(jìn)行仿真，得到較為直觀的三體運動模型，這種方法對于三體問題的研究有很好的效果。利用這樣的方法，還可以對其他三體問題進(jìn)行研究,從而得到更為直觀逼真的三體運動過程。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊潔，姜付錦，邱為鋼.三體問題的一種初等解[J].大學(xué)物理，2017，36（11）：70-72.

[2]徐衛(wèi)青，陳朋，連磊,陳亮，謝欣欣.三體問題初探[J].中國高新技術(shù)企業(yè)，2007（05）：243+245.