一類SIR和SIS組合的復(fù)雜金融網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險傳染模型穩(wěn)定性分析

劉曉宇 呂 琳

（哈爾濱金融學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150030）

引言

網(wǎng)絡(luò)理論是數(shù)學(xué)理論的一個分支，具有拓撲性質(zhì)。如果網(wǎng)絡(luò)中存在多主體節(jié)點，且可以演化成為多種不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這種網(wǎng)絡(luò)稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)可以準確描述金融市場之間復(fù)雜關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點通過各種金融關(guān)聯(lián)相互連接起來，這種金融關(guān)聯(lián)直接反映金融各個節(jié)點之間的風(fēng)險。基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的金融風(fēng)險分析能夠研究不同風(fēng)險蔓延，可以清晰地分析金融市場風(fēng)險蔓延趨勢，直接而形象地刻畫出金融系統(tǒng)內(nèi)在聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上分析金融市場之間的互動與關(guān)聯(lián)。由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在描述市場間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和投資者間交互作用具有明顯優(yōu)勢，越來越多的學(xué)者將其引入金融領(lǐng)域研究風(fēng)險傳染問題。Allen等研究銀行間市場風(fēng)險傳染問題[1]。May等認為傳染病的傳播和金融風(fēng)險的傳染非常相似，Garas等將傳染系統(tǒng)動力學(xué)SIR傳染模型應(yīng)用于金融危機在世界各國間擴散的研究，說明金融風(fēng)險研究進入新階段[2-3]。Allen等認為不完全市場結(jié)構(gòu)造就易感群體，發(fā)現(xiàn)市場結(jié)構(gòu)越完全，風(fēng)險越容易阻斷傳染[4]；Gao運用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)工程理論構(gòu)建銀行網(wǎng)絡(luò)SIR模型，得到風(fēng)險傳染閾值[5]。Demiris等運用貝葉斯估計方法研究金融危機擴散SIR模型，考慮國家金融聯(lián)系和貿(mào)易聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)推行降低金融系統(tǒng)脆弱性政策有助于減緩危機的擴散[6]。Toivanen構(gòu)建銀行間同業(yè)市場風(fēng)險傳染SIR模型，將傳染概率設(shè)定為離散的比值[7]。李守偉借助傳染病思想建立銀行風(fēng)險傳染的隨機模型，發(fā)現(xiàn)增加治理率和降低關(guān)聯(lián)度可以有效減少風(fēng)險的傳染[8]。馬源源運用SIR模型模擬股市危機擴散過程，給出股市危機擴散模型計算方法[9]。鑒于此，本文將傳染病動力學(xué)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論有機結(jié)合，建立一類SIR和SIS組合的金融市場風(fēng)險傳染系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析模型平衡點存在性和穩(wěn)定性，確定金融風(fēng)險傳染閾值R0。

一、模型建立

（一）研究假設(shè)

金融系統(tǒng)中不同市場抗風(fēng)險能力不同，各個子市場被風(fēng)險傳染后，其中部分節(jié)點子市場能夠通過有效防范對策對風(fēng)險永久免疫；恢復(fù)為風(fēng)險免疫子市場，另一部分節(jié)點子市場在被風(fēng)險傳染后，沒有及時有效控制，因而無法形成對風(fēng)險的免疫，再次進入風(fēng)險暴露子市場。

（二）模型構(gòu)建

借助于傳染病模型[10-11]構(gòu)建一類SIR和SIS組合的金融市場風(fēng)險傳染系統(tǒng)動力學(xué)模型，變量和參數(shù)設(shè)定如下：

在金融網(wǎng)絡(luò)中將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點為三個類別，即S（t），I（t），R（t）。

S（t）為風(fēng)險暴露子市場，表示t時刻尚未被傳染，但缺乏風(fēng)險防御能力且容易被傳染風(fēng)險的子市場節(jié)點數(shù)量，在風(fēng)險傳染中起到主導(dǎo)作用；

I（t）為風(fēng)險感染子市場，表示t時刻已被風(fēng)險傳染的且可將風(fēng)險傳染給其他子市場節(jié)點數(shù)量；

R（t）為風(fēng)險免疫子市場，表示t時刻在金融市場風(fēng)險傳染過程中具有免疫能力的子市場節(jié)點數(shù)量；

N（t）表示t時刻金融網(wǎng)絡(luò)各子市場節(jié)點的總量，A表示單位時間內(nèi)各子市場節(jié)點增加的數(shù)量；d表示子市場退出率；由于各個子市場的參與主體、業(yè)務(wù)類型和監(jiān)管規(guī)則等存在差異，各類子市場抗風(fēng)險能力不同。設(shè)在單位時間內(nèi)由I（t）子市場進入S（t）子市場節(jié)點的數(shù)量在I（t）子市場節(jié)點中所占比例為c，稱為無免疫易感率。r表示移出率，也稱風(fēng)險管理系數(shù)，β表示各個節(jié)點子市場之間風(fēng)險傳染概率，風(fēng)險暴露子市場與其他子市場的接觸率為f（S），由于風(fēng)險只能傳染給風(fēng)險暴露的子市場，故有效接觸率為βf（S），為非線性傳染率，因此t時刻新增風(fēng)險傳染的子市場數(shù)量為βf（S）I（t），假設(shè)A，d，α，r，β均是正常數(shù)。由此建立一類SIR和SIS組合復(fù)雜金融網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險傳染模型：

由模型可得t時刻S（t），I（t），R（t）子市場節(jié)點數(shù)量滿足的微分方程為：

模型（1）的基本假設(shè)

①f（S）滿足在S≥0上是一個非負不減連續(xù)函數(shù)，且f（0）=0。在S≥0上連續(xù)可微，f'（S）＞0；

②基于模型（1）的金融學(xué)意義，S（t），I（t），R（t）均為非負。

將模型（1）的三個方程相加可得出金融網(wǎng)絡(luò)各子市場節(jié)點總數(shù)量N（t）滿足方程：

由比較原理可知 ?T＞0，當t＞T時，N（t）≤A/d。因此從模型（1）出發(fā)的解將最終進入或停留在D?R3+

其 中D={（S（t），I（t），R（t））∈R3+|0 ≤S（t）+I（t）+R（t）≤A/d，S（t），I（t），R（t）≥0}

D是模型（1）的正向最大不變集[12]。

二、模型平衡點的存在性和穩(wěn)定性分析

（一）平衡點的存在性分析

模型（1）的前兩個方程不含R，所以可從前兩個方程研究S，I的性態(tài)，若要了解R的性態(tài)可再由模型（1）第三個方程討論。

性質(zhì)1模型（3）總有非零平衡點（A/d，0，0）；當R0＞1且A＞dS*時，模型（3）除存在無風(fēng)險平衡點P0外，還存在非零風(fēng)險平衡點P*（S*，I*）。

（3）有唯一正平衡點，由（3）求得模型（3）的平衡點應(yīng)滿足下列關(guān)系式：

（二）無風(fēng)險平衡點P0的穩(wěn)定性分析

性質(zhì)2 當R0≤1時，模型（3）無風(fēng)險平衡點P0全局漸近穩(wěn)定；當R0＞1時，P0不穩(wěn)定。

證明：考慮Liapunov函數(shù)V（t）=I（t）

將V（t）關(guān)于模型（3）對t求導(dǎo)

（三）非零風(fēng)險平衡點P*的穩(wěn)定性分析

性質(zhì)3 當R0＞1且A＞dS*時，模型（3）的非零風(fēng)險平衡點P*全局漸近穩(wěn)定。

證明：考慮Liapunov函數(shù)

其中g(shù)（x）=βf（S）-（d+c+r），由模型的基本假設(shè)可知g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，且f（S*）=0，c1，c2是正常數(shù)，故V（S（t），I（t））≥0當且僅當S=S*，I=I*時V（S（t），I（t））-0。

將V關(guān)于模型（3）對t求導(dǎo)

因為c2＞0（βf（S*））＞c，

由（3）式的第二個方程可知：

又因為

所以

三、結(jié)論

四、控制金融風(fēng)險的對策建議

（一）構(gòu)建健全風(fēng)險預(yù)警機制和管控機制

構(gòu)建風(fēng)險預(yù)警機制，需要選取能夠反映金融市場風(fēng)險影響的內(nèi)外部潛在因素指標，構(gòu)建高度關(guān)聯(lián)的子市場風(fēng)險監(jiān)測指標體系，根據(jù)指標變動情況識別風(fēng)險。目前，數(shù)字經(jīng)濟帶來新的風(fēng)險，應(yīng)更新風(fēng)險管理工具，利用金融工程方法、人工智能技術(shù)、機器學(xué)習(xí)算法和統(tǒng)計分析方法建立新型風(fēng)險預(yù)警模型。當金融市場外部環(huán)境發(fā)生改變，會改變風(fēng)險的發(fā)生概率和損失程度，引起指標變動即可預(yù)警風(fēng)險。除構(gòu)建風(fēng)險預(yù)警機制，防范金融風(fēng)險的第一道防線是金融市場內(nèi)部風(fēng)險管控機制。一般來說，短期內(nèi)金融市場風(fēng)險容易隱藏，但中長期來看，積累金融風(fēng)險會越來越大，蔓延整個金融體系，以短期內(nèi)金融市場風(fēng)險防控非常重要，但目前我國防范及控制金融風(fēng)險時卻忽略了這一點。因此，對各類子市場實時監(jiān)測預(yù)警，對預(yù)警機制實行管理，同時對金融市場中異常交易重點監(jiān)測，可有效預(yù)防風(fēng)險發(fā)生和惡化，縮小風(fēng)險傳染范圍。

（二）建立有效的風(fēng)險隔離機制

一些子市場關(guān)聯(lián)度較高，即模型（1）中的βf（S）較大，當一類子市場感染風(fēng)險后會立即傳染給其他子市場。因此，當個別子市場感染風(fēng)險后，要建立有效的風(fēng)險隔離機制，防止風(fēng)險進一步蔓延和傳遞，風(fēng)險隔離機制可有效地控制風(fēng)險引起的連鎖反應(yīng)，降低各類子市場之間的風(fēng)險傳染概率，從總體上減少風(fēng)險造成的損失程度。要重視識別可影響金融主體的潛在風(fēng)險，管理風(fēng)險以使其在該主體的風(fēng)險偏好之內(nèi)，并為主體目標的實現(xiàn)提供合理保證。此外，還可考慮將風(fēng)險隔離機制逐級延伸覆蓋至鄉(xiāng)鎮(zhèn)、街道乃至社區(qū)、村委，建立多層次的金融風(fēng)險隔離機制，在全國率先實現(xiàn)金融風(fēng)險防控全覆蓋。

（三）優(yōu)化金融監(jiān)管體系

金融監(jiān)管是防范和化解金融風(fēng)險的必要條件，模型（1）風(fēng)險管理系數(shù)r主要與子市場風(fēng)險防范和金融監(jiān)管部門監(jiān)管力度相關(guān)。監(jiān)管部門力度越大，越有利于風(fēng)險防控。監(jiān)管目的是防范金融風(fēng)險，同時兼顧培育金融市場，鼓勵金融創(chuàng)新和制度創(chuàng)新，監(jiān)管部門通過建立健全監(jiān)管制度，優(yōu)化金融監(jiān)管體系，監(jiān)督金融機構(gòu)的經(jīng)營活動，降低和控制金融體系風(fēng)險。金融監(jiān)管體系構(gòu)建，要結(jié)合金融發(fā)展的實際。目前互聯(lián)網(wǎng)金融在金融體系中發(fā)揮著越來越重要的作用，各種互聯(lián)網(wǎng)+金融已經(jīng)遍布金融領(lǐng)域，優(yōu)化金融監(jiān)管體系，要結(jié)合目前金融風(fēng)險新特點。我國目前尚無風(fēng)險管理的創(chuàng)新經(jīng)驗，可選擇與互聯(lián)網(wǎng)金融風(fēng)險防范能力較強的國家和機構(gòu)合作，優(yōu)化金融監(jiān)管體系，促進金融市場健康有序發(fā)展。除此之外，優(yōu)化金融監(jiān)管體系要利用網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，按照匹配性、全覆蓋、獨立性和有效性原則，建立健全全面風(fēng)險管理體系，加強金融市場外部監(jiān)管。利用網(wǎng)絡(luò)技術(shù)對金融市場的各類參與者及其融資、交易活動及對市場運行的組織、協(xié)調(diào)和監(jiān)督措施等全面監(jiān)管。同時通過金融風(fēng)險監(jiān)管體系，對各類金融風(fēng)險，強化功能監(jiān)管，協(xié)同分業(yè)監(jiān)管。

（四）完善金融法制法規(guī)

隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的普及及發(fā)展，金融風(fēng)險呈現(xiàn)隱蔽性、復(fù)雜性及擴散性特點，除有效預(yù)警機制、風(fēng)險隔離機制以及金融監(jiān)管體系，還需要與之配套的金融法制法規(guī)規(guī)避和管理金融風(fēng)險。首先，細化金融監(jiān)管機構(gòu)的法律責(zé)任，金融監(jiān)管機構(gòu)的考核內(nèi)容和責(zé)任要更加細化，明確規(guī)定相應(yīng)處罰獎勵措施。其次，完善金融監(jiān)管法律，隨著經(jīng)濟的發(fā)展，金融創(chuàng)新層出不窮，但與之配套的相關(guān)監(jiān)管法律法規(guī)相對滯后。此外，金融機構(gòu)內(nèi)部也應(yīng)建立完善的風(fēng)險規(guī)避制度。從內(nèi)部控制入手，建立相應(yīng)制度獨立負責(zé)金融風(fēng)險預(yù)防和控制，及時發(fā)現(xiàn)風(fēng)險并加以防范。

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