中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對解題方法和解題策略的探索與研究

趙建慧 董暉

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來.只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新觀點、新看法、巧解法.也就是說只有內(nèi)化的東西才能充分外顯，只有將知識轉(zhuǎn)化為自己的東西，才能靈活應(yīng)用，所以要注重學(xué)生的自主探索，平時的歸納總結(jié)是很重要的.

目前的高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題、解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光.

目前的高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進行考查：

常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消元法；

數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；

常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等.

但解數(shù)學(xué)題若囿于一種思維方式，按常規(guī)方式分析思考，有時解起來很麻煩，甚至有解不出來的現(xiàn)象.此時不妨從多方面觀察思考，全方位審視題意和多角度探討解法，則有益于解題捷徑的獲得，解題決策的優(yōu)化.

數(shù)學(xué)解題的思維過程都是從理解問題開始，然后經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直到解決問題，進行回顧全過程的思維活動.為了使回想、聯(lián)想、猜想方向更明確，思路更活潑，進一步提高探索成效，我們必須掌握一些數(shù)學(xué)解題的方法和策略.一切解題的策略的基本出發(fā)點在于“變換”，就是把面臨的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，通過對新題的考查，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達到解決原題的目的.通過這樣的認識，常用解題策略主要有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等.解決數(shù)學(xué)問題的過程雖然各有千秋，但都離不開：（1）審題；（2）尋求解題策略；（3）書寫解答過程.這三步中尋求“解題策略”是能否解出這道題的關(guān)鍵.

在教學(xué)中適當選定一些例題，誘導(dǎo)學(xué)生給出多種解法，一題多解，常常能收到拓寬思路，融會貫通的效果.這樣既有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性，又有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題及靈活運用各種知識解決問題的能力.教材中一道不等式的典型例題，它可用最基本、最常用的證明不等式的方法——比較法、綜合法、分析法來證明，也可用前后所學(xué)的知識——向量、三角、柯西不等式來證明，筆者給出六種證明方法，通過一題多解，讓學(xué)生掌握證明不等式常用的方法，巧用代換，貫穿前后知識，解一題帶一片，鍛煉學(xué)生思維的靈活性和廣闊性，也是我們更加明確，精煉的教材蘊藏著無限豐富的數(shù)學(xué)知識和證明方法，有利于學(xué)生去領(lǐng)悟、吸收和探索.因此，挖掘教材，深化例題，發(fā)揮它的典型性是教學(xué)的關(guān)鍵.我們在解數(shù)學(xué)題時，習(xí)慣將參數(shù)方程化為普通方程，而有些題采用逆向轉(zhuǎn)化，即普通方程化為參數(shù)方程，將未知的問題化歸為已知的或易解的問題，效果更佳；我們用代數(shù)法求最值，是常規(guī)的解題思路，但有些題，若能充分利用題目中給出的信息，巧妙地構(gòu)造簡單的幾何圖形，就可使問題直觀形象，解法獨特；我們在解決數(shù)學(xué)中的求值問題，往往從正面入手思考，一般常能解決，但有些題感到此法麻煩，此時對所求結(jié)果進行分析，不妨將直角坐標系轉(zhuǎn)化為極坐標系，可使問題迎刃而解.在解決數(shù)學(xué)問題時，要具體問題具體對待，尋求最捷徑的解法，特別是逆向思維的轉(zhuǎn)化，可培養(yǎng)學(xué)生的靈活性和條理性，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，拓寬學(xué)生的知識面，增強學(xué)生的綜合能力.有些數(shù)學(xué)習(xí)題，所給的并不是函數(shù)，如果按常規(guī)來做，有一定的難度，而且過程復(fù)雜，這時分析所給題的特點，若能換個角度，構(gòu)造一個函數(shù)，可能會起到事半功倍之功效，不僅能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美妙以及構(gòu)造法的神奇，而且更能激發(fā)起學(xué)生探索的意識和創(chuàng)新欲望，突破思維的常規(guī)，使思路更簡捷、明快.

在課堂中我們正確處理好講與練、質(zhì)與量、易與難、分與總的關(guān)系，提高數(shù)學(xué)運算能力，通過“一題多解，一題多變”，使學(xué)生拓寬思路、掌握解題技巧、提高解題能力，把所學(xué)知識能夠融會貫通.當學(xué)生有新想法、新創(chuàng)意時及時進行鼓勵，讓學(xué)生在“練”中獲得知識，在“練”中感悟運用解決問題的機能和技巧，在“練”中養(yǎng)成獨立思考，主動發(fā)現(xiàn)問題，在“練”中培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，在“練”中挖掘創(chuàng)新思維能力，達到加強和鞏固創(chuàng)新意識的目的.

我們知道一般性總是蘊含于特殊之中，以特殊的情況作為研究的起點，有助于掌握一般情況下的性質(zhì)和規(guī)律，因此，在研究比較復(fù)雜的問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先研究問題的一些特殊情況，再進行聯(lián)想類比，歸納得出它們的共性，有時還能將平面問題類比升維為空間問題，起到事半功倍之功效.許多數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家都講過類似的話——最簡單的才是最深刻，與此有異曲同工之妙.著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授有一名言：“數(shù)學(xué)是一個原則，無數(shù)內(nèi)容；一個方法，到處有用”對數(shù)學(xué)的理解才能真正達到本質(zhì)化.

教師要認真鉆研教材，把握教材的思想性和科學(xué)性，要通讀數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，吃透教材，明確讓學(xué)生了解什么，理解掌握什么，教學(xué)思路要清晰，課堂教學(xué)才有效率，學(xué)生學(xué)習(xí)才有效果.教師教學(xué)的形式和方法要多樣化，采用“精講—精練—引思—答疑—點撥”的教學(xué)方式，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動性，鼓勵學(xué)生多思多問多參與，充分體現(xiàn)現(xiàn)代教學(xué)論“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，以訓(xùn)練為主線”的教學(xué)原則.讓學(xué)生在知識的掌握中探索、把握規(guī)律，啟迪學(xué)生思維，挖掘?qū)W生潛能.要指導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、對比、聯(lián)想、判斷、歸納、總結(jié)、綜合運用上下功夫，最終達到思維創(chuàng)新的目的.

通過數(shù)形結(jié)合法解決空間立體幾何中線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角的求角度問題，通過例題講解得出規(guī)律：空間各種角的計算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角來計算；平行和垂直可以看作是空間角的特殊情況.向量方法具有很大的優(yōu)越性，但是它并不是萬能的，只有那些適于建立空間直角坐標系的題目才更加適合.有關(guān)遞推數(shù)列的數(shù)學(xué)問題，從遞推數(shù)列的解題過程中，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.例題的觀察法、遞推法、構(gòu)造法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、取倒數(shù)法、取對數(shù)法等都是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為容易問題，把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題解決，使學(xué)生又多了一種解題策略.引導(dǎo)學(xué)生活學(xué)活用、主動去探索問題，發(fā)現(xiàn)問題，思考問題，解決問題，提高解題效率.

我們看出高考試題來源于教材，高于教材，入口淺，寓意深，思維散，思路寬.從2008年高考數(shù)學(xué)四川卷第16題題目來看，這是一道數(shù)列中運用通項公式和求和公式的極其普通的小題，但在解決問題時要運用線性規(guī)劃的知識或者運用不等式的知識來解決，沒有刻意追求新、奇、異，感覺比較熟悉，題目敘述通俗易懂，的確平淡無奇，一道貌似普通的題目，既考查了數(shù)列的通項公式和求和公式，又考查了線性規(guī)劃的知識或不等式的知識，知識點“跨度”不算太小，感覺既在情理之中，又在預(yù)料之外，本小題以數(shù)列知識為載體，以線性規(guī)劃的知識為工具，以數(shù)形結(jié)合的思想為策略，達到解決問題的目的.或者以不等式的知識為工具，以變形轉(zhuǎn)換為手段，達到解決問題的目的.在解題的過程中，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，等價變形和轉(zhuǎn)換思想，讓人體會到一道難得的好題總是以平凡形態(tài)呈現(xiàn)出來，但卻內(nèi)蘊厚重，縱橫聯(lián)系，從多種角度深思切入解決，應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)知識，呈現(xiàn)出不同的精彩，給人以美的享受.

總之，巧用恰當?shù)慕忸}的方法是解題的手段，解題的通法是解題的基本功，解題的逆向法是解題的嘗試，解題的數(shù)形結(jié)合法是解題的又一次嘗試.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得.可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，“基本練習(xí)”是過程，達到掌握并鞏固是目的.我們平時的教學(xué)面向的是全體學(xué)生，平時的教學(xué)以問題解決為中心，注重知識的建構(gòu)過程與方法，重視學(xué)生思想與情感的設(shè)計理念，積極地探索和實踐新課程理念，改革教師的教學(xué)模式，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，通過這樣的探索歸納過程，相信學(xué)生能從中有所體會，對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展會有一定的幫助.以后留在學(xué)生記憶中的不是知識本身，而是方法與思想，是學(xué)生學(xué)習(xí)的習(xí)慣和熱情，這正是我們教育工作者所追求的結(jié)果.