經(jīng)歷“數(shù)數(shù)過程”，抽象數(shù)概念本質(zhì)

楊宏

一、問題的提出

（一）問題的提出

“數(shù)概念”是指分數(shù)、負數(shù)、平均數(shù)等與“數(shù)”有密切關(guān)系的概念，是小學數(shù)學教學的重要組成部分，是學生進一步學習數(shù)的運算、與數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學生數(shù)感、符號感的重要載體。

小學數(shù)概念是小學生正確進行列式、計算、判斷、推理等教學活動的基礎(chǔ)，是小學數(shù)學教學的一項重要內(nèi)容，其主要任務是要使學生獲得科學、完整的數(shù)概念。教材對小學各年級學生要求掌握的廣度和深度是不一樣的，正如列寧所說：“認識是思維對客體的永遠的、沒有止境的接近?！?/p>

（二）研究的意義

在日常教學中，許多教師不能把握概念本質(zhì)，以致學生對數(shù)概念的理解和認識淺嘗輒止、浮于表面。教師往往把一個新的概念和盤托出，讓學生去記憶，然后借助大量的練習去加以鞏固。這樣，常常看似學生掌握較好，但理解不深，不會靈活運用。我們認為，教師要緊扣概念的本質(zhì)，展示概念的形成過程，幫助學生全面理解、準確把握概念的實質(zhì)。

二、研究內(nèi)容

（一）自然數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展

自然數(shù)是最自然的數(shù)，自然數(shù)理論是整個數(shù)學的基礎(chǔ)。自然數(shù)產(chǎn)生于計數(shù)（數(shù)數(shù)）。隨著歷史的發(fā)展，人類的進步，千百萬次地重復計數(shù)，人們慢慢發(fā)現(xiàn)，在數(shù)各種集合中的事物時，數(shù)與被數(shù)物的特性無關(guān)。正是數(shù)字符號，為人們對自然數(shù)的認識起了重要的作用。有了數(shù)字符號，數(shù)學的抽象性特征也就開始展現(xiàn)出來了。

因此，從各種具體事物中抽象出數(shù)概念的本質(zhì)，初步理解十進位位值制記數(shù)法是低年級數(shù)概念教學要關(guān)注的重點內(nèi)容。

（二）數(shù)概念的特點

在所有數(shù)學概念中，離學生日常生活最近的是數(shù)概念和初等幾何概念，絕大多數(shù)的數(shù)概念都可以在現(xiàn)實生活中找到模型。正因為大多數(shù)的數(shù)概念都貼近人類的生活源泉，因此，在數(shù)概念的教學中一般都可以借助于實際的情境和活動。

三、相關(guān)研究

（一）小學數(shù)學數(shù)概念的界定及確定依據(jù)

1.數(shù)概念的形成

從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和復數(shù)。但從學習心理的研究來看，主要集中在有理數(shù)，特別是自然數(shù)上，有關(guān)無理數(shù)和虛數(shù)的研究則寥寥無幾（Zazkis & Sirotic，2004）。

2.數(shù)概念的認識有三個發(fā)展階段

第一階段（4～5歲）是對數(shù)概念無法理解的階段，無法運用一對一的對應關(guān)系趨建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實物。第二階段（5～6歲）是過渡時期，會運用一對一對應關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但對于一對一關(guān)系不是充分理解。第三階段（6歲半以后）是對數(shù)概念能真正理解的階段，兒童已能用各種方法建構(gòu)同等性。

3.學生理解位值概念時的困難

位值是小學階段一個比較難學的概念，涉及一系列復雜的想法及關(guān)系。對位值缺乏理解的學生在理解小數(shù)時有一段困難時期。

（二）小學數(shù)學教學中數(shù)概念本質(zhì)的相關(guān)研究

為了減少位值概念的教學困難，一些教學輔助工具便應運而生，其中比較著名的是狄恩斯（Dienes，1971）的“狄氏多層算術(shù)積木”（Dienes Multibase Arithmetic Blocks）。除了用于手工操作的教學輔助工具外，近年來隨著計算機輔助教學的興起，研究人員還開發(fā)了許多用于位值概念教學的軟件。

四、經(jīng)歷“數(shù)數(shù)過程”，抽象數(shù)概念本質(zhì)的教學建議

（一）幫助學生從具體實物中抽象出數(shù)概念

《課程標準》中明確指出“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學。”現(xiàn)代教育理論主張讓學生動手去“做”數(shù)學，而不是用耳朵“聽”數(shù)學。因此，教學要留給學生足夠的時間和空間，讓每個學生都有參與活動的機會，使學生在動手中學習，在動手中思維，在思維中動手，讓學生在動手、思維的過程中探索、創(chuàng)新。

（二）重視“數(shù)數(shù)”活動，讓學生經(jīng)歷數(shù)概念的產(chǎn)生“過程”

例如，教學《1000以內(nèi)數(shù)的認識》，讓學生經(jīng)歷數(shù)的產(chǎn)生過程。學生在一年級學習認數(shù)時，也是分階段學習的。而對于二年級的學生來說，雖然有了一定的認數(shù)基礎(chǔ)，但是這些較大數(shù)對于學生來說是比較抽象的，通過于學生的課前調(diào)查，學生對于以前學過的一、十、百計數(shù)單位的關(guān)系和百以內(nèi)數(shù)的組成掌握比較好，看到一個兩位數(shù)能夠準確的說出組成（ ）個十和（ ）個一，在按順序數(shù)數(shù)上一個一個數(shù)沒有問題，幾個幾個數(shù)就會出現(xiàn)問題。把離散的一個一個的抽象成聚合的以計數(shù)單位形式呈現(xiàn)的聚合的量。這也是數(shù)概念學習的一次飛躍。這也是學習萬的一個基礎(chǔ)。所以我認為需要利用多種直觀而又形象的素材如小正方體、計數(shù)器、人民幣等來幫助學生認識，支撐較大數(shù)概念的建立。

（三）為學生提供不同層次的學具來理解位值思想

例如：教學《11～20各數(shù)的認識》，通過比較體驗，讓學生真真實實地感受到把10根扎成一捆是最容易看出是多少根，并體會到10根扎成一捆這種方法的優(yōu)越性，進而引發(fā)出要認識的新的計數(shù)單位‘十。這樣的活動，突破了10個一就是1個十的難點，從而使學生理解了數(shù)的意義，建立正確的數(shù)概念，也為培養(yǎng)數(shù)感奠定了扎實的基礎(chǔ)。

用于現(xiàn)代社會生活信息交流的記數(shù)法是我們現(xiàn)在已習慣的10進位位值制記數(shù)法，又稱十進位制。含義有二，其一是“十進制”，即用10個不同的數(shù)字，按照每滿十數(shù)向上進一個單位（逢10進1）的原則進行書寫，十個一進為一個十，十個十進為一個百，十個百進為一個千……；其二是“位值制”，即每個數(shù)碼所表示的數(shù)值，不僅取決于這個數(shù)碼本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。如同樣是一個數(shù)碼“2”，放在個位上表示2，放在十位上表示20，放在百位上就表示200，等等。十進制與人類有10個指頭有關(guān)，初學算術(shù)的兒童總是拿10個指頭來幫助計算可能就是最好的證明。

這節(jié)課是在學生認識計數(shù)單位一的基礎(chǔ)上認識新的計數(shù)單位十的第一節(jié)課， 學生對于數(shù)位的知識以及十進制概念更是第一次接觸。因此，本節(jié)課重點要使學生初步建立十進概念。

總之，數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，各個概念不是孤立存在，而是緊密聯(lián)系著的，要很好地掌握數(shù)概念和運用數(shù)概念，必須了解數(shù)概念的本質(zhì)和概念間的聯(lián)系。