高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法分析

陳愛(ài)麗

不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，同時(shí)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，教師開(kāi)展不等式教學(xué)面臨著重大的挑戰(zhàn)。很多時(shí)候，學(xué)生無(wú)法掌握基本的解題思路，無(wú)法下手，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)不等式學(xué)習(xí)喪失興趣，甚至對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)課程產(chǎn)生恐懼心理。所謂：“授人以魚(yú)不如授人以漁”，教師一定要讓學(xué)生自己掌握不等式的證明方法，才能達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。不等式的證明思路非常豐富多樣，方法更加靈活多樣，學(xué)生只有掌握靈活的證明方法，掌握多種不等式證明方法，才能靈活運(yùn)用，發(fā)散思維，提高自己的解題能力，提升自己的答題技巧。所以，教師一定要重視不等式證明方法的教學(xué)。

1 比較法證明不等式

比較法主要是通過(guò)對(duì)比，采用對(duì)照組和觀察組進(jìn)行比較，將定量作為對(duì)照，對(duì)變量進(jìn)行觀察，兩邊作差，或者作商，判斷其大小。將兩邊相減的結(jié)果與“0”作比較，作商時(shí)，將其結(jié)果與“1”作比較。

例1：求解不等式（X-1）/X≥2的解集。證明方法如下，因?yàn)椋╔-1）/X≥2，當(dāng)X≥0時(shí)，X-1<2X，得-X>-1，進(jìn)而當(dāng)X<-1時(shí)，無(wú)解；當(dāng)X≤0時(shí)，此時(shí)X-1=2X，-X=1，X=1，即得到最終證明結(jié)果-1

例2：設(shè)a>0，b>0，求證b2/a+a2/b≥a+b。求解思路：因?yàn)閍>0，b>0，表示等式兩邊均>0，采用兩邊相減方法，推算情況如下，及a-b≤0，即a≤b；采用兩邊相除法，a/b≤1，即a≤b（b>0）。通過(guò)兩邊相減得到b2/a+a/b=[（a2+b2）-ab（a+b）]/ab=（a-b）2（a+b）/ab≥0；相除得到（b2/a+a2/b）/（a+b）=（a-ab+b2）/ab≥（2ab-ab）/ab=1。

通過(guò)上述兩個(gè)案例，由案例2得知，對(duì)于同一個(gè)不等式，在證明時(shí)，可以有兩種結(jié)果，證明在同一類型的題目中，通過(guò)對(duì)比，能幫助我們更加清晰的學(xué)習(xí)不等式，并且能真正認(rèn)識(shí)到不等式證明方法的靈活性，努力去學(xué)習(xí)和掌握不等式證明的方法，并且發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和奧妙。在教學(xué)中，教師一定要讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，對(duì)于同一類型的題目，換湯不換藥，要善于利用證明方法，去解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題，真正達(dá)到學(xué)以致用的目標(biāo)，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。

2 換元法證明不等式

換元法是在不等式中，定量保持不變，對(duì)變量進(jìn)行替換，讓不等式證明更加方便，降低不等式證明的難度。換元法一般常用的有代數(shù)換元法和三角換元法。其中三角換元法及時(shí)根據(jù)三角形的勾股定理，如：sin2θ+cos2θ=1及a=Rsinφ，b=cosφ等。

例1：已知：a2+b2=1，求證：丨a2+2ab+b2丨≤亅2。不等式證明過(guò)程如下：首先設(shè)定a=cosa，b=sina，得到丨a2+2ab+b2丨=丨cos2a=2sinacosa+sin2a丨=丨sin2a+cos2a丨=亅2丨sin（2a+π/4）丨≤亅2?；蛘邔2+b2=r2，這個(gè)進(jìn)行替換，可以得到a=rcosa，b=rsina。在這個(gè)不等式證明過(guò)程中，使用換元法之后，首先整個(gè)不等式變得簡(jiǎn)單，學(xué)生在看到不等式之后，證明的目標(biāo)和思路更加清晰，并且融合了三角形勾股定理方面知識(shí)，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行融合貫通，真正讓學(xué)生能掌握不等式證明方法，在遇到較為難以拆分和辨識(shí)的不等式時(shí)，學(xué)生能第一時(shí)間正確使用換元法，將復(fù)雜的不等式簡(jiǎn)單化，一眼看清題目，并且通過(guò)還原，最終能找到清晰的證明思路。換元法證明不等式具有簡(jiǎn)單，便于分析等特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，學(xué)生掌握了換元法之后，在解決不等式問(wèn)題上，速率更加精準(zhǔn)，思路更加清晰。數(shù)學(xué)不等式的證明是高考考核的重點(diǎn)內(nèi)容，除了上述介紹的兩種常見(jiàn)的證明方法之外，教師還應(yīng)該讓學(xué)生掌握更加豐富的方法，如，均值不等式證明方法、構(gòu)造函數(shù)法等，這些都是不等式解題中常用的方法，每一種的使用，都應(yīng)該根據(jù)具體題目類型，詳細(xì)判斷、正確選擇證明方法。

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上，不等式一直是高考考核的一個(gè)重要內(nèi)容和方面，在全國(guó)高考總每年都可以見(jiàn)到不等式證明題目。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不等式是一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)解題技能。教師也應(yīng)該重視不等式教學(xué)，攻克教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，消除學(xué)生心中對(duì)不等式的恐懼，讓學(xué)生能輕松自如的學(xué)習(xí)不等式。在現(xiàn)代信息技術(shù)的輔助和支持下，教師一定要善于利用現(xiàn)代信息化的教學(xué)手段，將不同的不等式證明方法，與現(xiàn)代教學(xué)手段進(jìn)行融合，更加直觀的展示給學(xué)生，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，提升學(xué)習(xí)的積極性，從而達(dá)到理想的教學(xué)效果。

（作者單位：湖北新產(chǎn)業(yè)技師學(xué)院）