淺談數(shù)學(xué)解題中新知識的生成

游慶燈 王娟

著名科學(xué)家波普爾認(rèn)為，人類知識的增長實(shí)際上是經(jīng)由“猜想”和“反駁”的途徑從“老問題”到“新問題”的過程。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀與此有異曲同工之妙。按照建構(gòu)主義思想，知識的學(xué)習(xí)是認(rèn)知者在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上小斷構(gòu)建的過程.在被動接受的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，因?yàn)槿鄙賯€人的思維建構(gòu)，學(xué)習(xí)者往往只記住一些概念、原理，或者只是一些字面上的理解，并沒有真正理解它們的含義，只能應(yīng)用于課本上的一些典型習(xí)題等。建構(gòu)性的學(xué)習(xí)則要求學(xué)生對知識進(jìn)行創(chuàng)造性的思維構(gòu)造，這意味著學(xué)習(xí)者必須依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，對知識作出明確的辨別，對有關(guān)的現(xiàn)象用自自己的語言對其重新編碼，作出合理的推斷和預(yù)測，作出自己的解釋、判斷。也就是對知識內(nèi)容和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的適應(yīng)性作出自己的評價和調(diào)整，發(fā)現(xiàn)、概括、提煉其中具有規(guī)律性或一般性新信息，并能把這種自己生成而獲得的新信息運(yùn)用與解決具有一定復(fù)雜性的問題?？梢?，建構(gòu)主義觀下學(xué)習(xí)者自己思維構(gòu)造的知識意義，正是學(xué)習(xí)者生成個體知識，也就是個人的“生成性知識”。

下面筆者從對一道傳統(tǒng)的自轉(zhuǎn)問題的解題探究來談知識的生成。

例如，圖1，⊙O的周長為 cm，⊙A、⊙B的周長都是 cm，⊙A在⊙O內(nèi)沿著⊙O滾動，⊙B在⊙O外沿著⊙O滾動，⊙A、⊙B各需轉(zhuǎn)動幾周才能回到原來的位置？

這個例題出自于人教社1994年編寫的九年義務(wù)教育教材初中《幾何》第三冊第207頁的“想一想”，現(xiàn)在，雖然各地已使用了新課標(biāo)教材，但此類問題時常在中考題目中出現(xiàn)，幾年來，許多老師和學(xué)生對題目的解答進(jìn)行了探究，下面是一種解法：

解：如圖2，設(shè)小球A的初始位置與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)C，沿⊙O內(nèi)壁滾動一周后與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)D.顯然⊙A的周長與⌒CD的長相等.點(diǎn)A移動到點(diǎn) ，當(dāng)小球A沿著⊙O滾動時，點(diǎn)A到圓心O的距離始終不變，所以點(diǎn)A移動到點(diǎn) 經(jīng)過的是一條弧.由兩圓相切連心線必過切點(diǎn)，可知：C、A、O三點(diǎn)共線，D、 、O三點(diǎn)共線，所以⌒CD和⌒AA1所對的圓心角相等，設(shè)為 .易得⌒CD長為 ， ，解得 .⌒AA1的長為 ，這里因兩圓相內(nèi)切，圓心距等于兩圓的半徑之差，所以 .因此，⌒AA1的長為 .圓心A回到原位，其軌跡圓的周長為 ，所以小圓A轉(zhuǎn)動的周數(shù)為： （周）。

同理，如圖3，可求出圓心B回到原位，小圓B轉(zhuǎn)動的周數(shù)為： （周）.故兩小圓都需轉(zhuǎn)動5周回到原來的位置。

沿內(nèi)外壁滾動都是5周回到原來的位置，事實(shí)果真是這樣嗎？學(xué)生可能會根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)提出質(zhì)疑。

如圖4，由于⊙A的周長與⌒CD的長相等，設(shè)⊙A上的有向線段→AP的端點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則⊙A與⊙O再次相切于點(diǎn)P時，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，不妨將此時點(diǎn)P的位置記為 .顯然有向線段→AP還沒有旋轉(zhuǎn) ，因此⊙A并沒有滾動一周.因而上述“兩小圓都需轉(zhuǎn)動5周回到原來的位置”的結(jié)論顯然是錯誤的。

由于有向線段→AP還沒有旋轉(zhuǎn) ，⊙A還要沿⊙O的內(nèi)壁繼續(xù)滾動觀察至⊙A2處，如圖4，當(dāng) ∥ 時，有向線段→AP才旋轉(zhuǎn)完 ，⊙A才轉(zhuǎn)了一周.現(xiàn)在我們來計(jì)算⊙A轉(zhuǎn)了一周時，圓心A經(jīng)過的弧長，不妨設(shè) ，則 .從⊙A滾動的過程不難發(fā)現(xiàn)，⌒DE的長度和⌒P2E的長度相等，所以⌒CE的長等于⊙A的周長與⌒P2E的長度之和，因此， ，解得 . （周）.所以小圓A轉(zhuǎn)動4周后回到原來的位置。

類似地，如圖5，設(shè)⊙B的初始位置與⊙O外切于F，有向線段→BQ為圓⊙B的一半徑，在初始位置時，Q與F重合，O、B、F在一直線上，如圖7，當(dāng)⊙B沿外壁滾動時，→BQ與隨之轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)至 位置時， ∥ ，⊙B已轉(zhuǎn)了一周.而此時⊙B在⊙O上還未滾完一個⊙B的周長.設(shè)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到⊙B與⊙O外切時于點(diǎn)H時，⊙B在⊙O上剛好滾完一個⊙B的周長.此時 、 、O三點(diǎn)在一直線上.這時設(shè) ，則 .從⊙B滾動的過程不難發(fā)現(xiàn)，⌒GH的長與⌒GQ1的長相等，所以⌒FG的長等于⊙B的周長與⌒GQ1的長度之差，因此， ，解得 . （周）.所以小圓B轉(zhuǎn)動6周后回到原來的位置。

上面已探究了動圓在靜止不動的圓上滾動的自轉(zhuǎn)周數(shù)問題。由此可見，數(shù)學(xué)生成性知識是對數(shù)學(xué)知識的提煉和概括，是學(xué)習(xí)者對自身已有數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深加工的產(chǎn)物，是一種自我體驗(yàn)、反思、領(lǐng)悟和提高的結(jié)果。因此它在很大程度上具有個人思維色彩。是學(xué)習(xí)者借助自身的數(shù)學(xué)理解力、判斷力、批判力和洞察力所“創(chuàng)造”出來的個性化的數(shù)學(xué)知識。它不是對自身已有數(shù)學(xué)知識的簡單重復(fù)，而是學(xué)習(xí)者對已經(jīng)建立起來的內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)的反思、調(diào)整、改進(jìn)、重組和超越，這是一種具有積極意義的深刻的內(nèi)部自省活動。這一自省活動的直接產(chǎn)物就是對已有數(shù)學(xué)知識的新認(rèn)識，新體驗(yàn)和新見解，是個人內(nèi)部生成的具有更高思維層次的‘新”知識。體現(xiàn)在解題中，這樣的生成性知識不僅能縮短解題長度，節(jié)約解題所需的時間和精力，而且也是實(shí)現(xiàn)解題創(chuàng)新的一種手段。