王航 崔尚 鄭維連 張振榮
摘要:將數(shù)據(jù)進(jìn)行解析變換,引入 Radon 逆變換,推導(dǎo)出各種不同形式的逼近表達(dá)式,再離散計(jì)算,最后運(yùn)用MATLAB進(jìn)行編程得到關(guān)于未知介質(zhì)形狀的幾何圖形與圖形的吸收率數(shù)據(jù)。
關(guān)鍵詞:MATLAB;解析變換;Radon 變換
1 未知介質(zhì)幾何形狀與吸收率的確定
首先將數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB,畫(huà)圖。
根據(jù)已有結(jié)果知該系統(tǒng)的初始掃描位置為,鉛直方向直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)29.6463°處(鉛直線向下正方向)。需要對(duì)圖形數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。經(jīng)修正后,才能真正反映未知介質(zhì)在正方形托盤(pán)中的位置關(guān)系。修正后附件3的數(shù)據(jù)畫(huà)出圖形:
由圖可知,未知介質(zhì)在xy 平面內(nèi)分布不均勻,即衰減系數(shù) μ =μ(x, y) ,則可得在某一方向l ,沿某一路徑 L 的總衰減為:
[JZ(][XCimage310.tif;%50%50,JZ][JZ)][JY](1)
衰減的集合[XCimage311.tif;%50%50,JZ]稱(chēng)為投影,即接收信息,反投影重建圖像的原理就是根據(jù)一系列的投影[XCimage311.tif;%50%50,JZ],求出被積函數(shù)[XCimage312.tif;%50%50,JZ],從而得出[XCimage313.tif;%50%50,JZ]分布(密度分布)的
圖像,即我們所要求的圖形經(jīng)過(guò)CT掃描之后的最終圖像以及個(gè)點(diǎn)的吸收率。所以我們引入Radon 變換。
Radon 變換的定義為:若[XCimage314.tif;%50%50,JZ]基本空間[XCimage315.tif;%50%50,JZ],[XCimage316.tif;%50%50,JZ]對(duì)于所有的[XCimage317.tif;%50%50,JZ]是已知的,則稱(chēng)[XCimage316.tif;%50%50,JZ]是二維函數(shù)[XCimage318.tif;%50%50,JZ]的Radon變換,記為Rf。
由于研究的圖形為二維圖形所以,在Radon 變換中考慮直線表達(dá)為[XCimage319.tif;%50%50,JZ]
其中[XCimage320.tif;%50%50,JZ]為法線長(zhǎng)(即原點(diǎn)到直線的垂線長(zhǎng)),[XCimage321.tif;%50%50,JZ]為法線與[XCimage322.tif;%50%50,JZ]軸的交點(diǎn)。[XCimage323.tif;%50%50,JZ]為直
線[XCimage324.tif;%50%50,JZ]的位置參數(shù)。
積分表達(dá)為:
[JZ][XCimage325.tif;%50%50,JZ]
現(xiàn)令[XCimage326.tif;%50%50,JZ]為直線[XCimage327.tif;%50%50,JZ]的方向,[XCimage328.tif;%50%50,JZ]為[XCimage329.tif;%50%50,JZ]的法線方向,則可得到[XCimage330.tif;%50%50,JZ]得新的坐標(biāo)系,
[JZ(][XCimage331.tif;%50%50,JZ][JZ)][JY](2)
則有積分[XCimage332.tif;%50%50,JZ][JY](3)
記[XCimage333.tif;%50%50,JZ]
[JZ][XCimage334.tif;%50%50,JZ]
其中[XCimage335.tif;%50%50,JZ]表示[XCimage336.tif;%50%50,JZ]方向,[XCimage337.tif;%50%50,JZ]表示[XCimage338.tif;%50%50,JZ]的法線上的單位向量。
最后得到直線[XCimage339.tif;%50%50,JZ]的方程為
[JZ(][XCimage340.tif;%50%50,JZ][JZ)][JY](4)
即[XCimage341.tif;%50%50,JZ]
所以經(jīng)過(guò)Radon變換的Rf函數(shù)為[XCimage342.tif;%50%50,JZ]
[JZ(][XCimage343.tif;%50%50,JZ][JZ)][JY](5)
Radon 變換的求逆公式:
[JZ(][XCimage344.tif;%65%65,JZ][JZ)][JY](6)
其中被積函數(shù)[XCimage345.tif;%50%50,JZ]為的集合矩陣為我們要求的未知介質(zhì)的幾何形狀的圖形;[XCimage346.tif;%50%50,JZ]為[XCimage347.tif;%50%50,JZ]的投影,即我們已知的數(shù)據(jù);圖形[XCimage348.tif;%50%50,JZ]在點(diǎn)[XCimage349.tif;%50%50,JZ]的值稱(chēng)為[XCimage349.tif;%50%50,JZ]的密度,即未知介質(zhì)每個(gè)點(diǎn)的吸收率。[1]
通過(guò)MATLAB對(duì)Radon變換模型變成進(jìn)行運(yùn)算,可以得到結(jié)果如下:
未知介質(zhì)的形狀為一橢圓形,橢圓內(nèi)部又分布著5個(gè)不同的小橢圓。
2 確定介質(zhì)在正方形托盤(pán)上的位置
由已有的結(jié)論可知:附件提供的是CT系統(tǒng)512個(gè)射線與探測(cè)單元以第256與257個(gè)單元中點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的接收數(shù)據(jù),邊界數(shù)據(jù)是CT系統(tǒng)探測(cè)器的探測(cè)邊緣,而不是正方形托盤(pán)的的邊緣,所以,需要先確定正方形托盤(pán)在圖形中的具體位置。
由已知數(shù)據(jù)可知正方形托盤(pán)的邊長(zhǎng),中心點(diǎn),和CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在托盤(pán)上的位置。所以旋轉(zhuǎn)中心至中心點(diǎn)的水平距離與豎直距離為:9.2663mm、6.2729mm。
將兩個(gè)距離分別除以問(wèn)題一中求解的兩個(gè)單元點(diǎn)的距離得到兩點(diǎn)相差33、19.5個(gè)單元點(diǎn)。最終求出關(guān)于正方形托盤(pán)中心在圖形上的位置(289.5,276)。
然后求出正方形邊長(zhǎng)為[XCimage350.tif;%50%50,JZ],則正方形邊界到托盤(pán)中心的距離為180.6358。由此可列出求解正方形邊界單元點(diǎn)的式子:
[JZ][XCimage351.tif;%50%50,JZ];[XCimage352.tif;%50%50,JZ]。
3 確定給定的托盤(pán)上的10個(gè)點(diǎn)的吸收率
根據(jù)上面求出的正方形托盤(pán)在圖形中的位置,將10個(gè)點(diǎn)在圖中的位置用單元點(diǎn)表示出來(lái)并找到對(duì)應(yīng)的吸收率。例如,在正方形托盤(pán)中坐標(biāo)為(10,18)的一個(gè)點(diǎn),它在由附件3重建出來(lái)的圖形中的位置可由以下公式表示:
得到它的吸收率為0。
同理得到十個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在圖中的位置,由于接受信息與圖形形狀吸收率已知,所以根據(jù)附件的數(shù)據(jù)用以上方法進(jìn)行推導(dǎo),經(jīng)過(guò)求解后,得到圖形與成像圖基本一致。所以證明此方法有效,模型通過(guò)驗(yàn)證。
參考文獻(xiàn):
[1]孔慧華.加速圖像重建的迭代算法研究[D].中北大學(xué)博士論文,2006:511.
[2]劉成龍.精通MATLAB圖像處理[M].北京:清華大學(xué)出版社,2015.
基金項(xiàng)目:天津農(nóng)學(xué)院高校教師教育改革創(chuàng)新引導(dǎo)發(fā)展項(xiàng)目“高校數(shù)學(xué)教師創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育能力的提升”(20170301)
*通訊作者:張振榮(1978),女,河北正定人,碩士,講師,研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用及高等數(shù)學(xué)教學(xué)。