三角函數(shù)應(yīng)試剖析與教學(xué)建議

鄭勇林

摘 要 本文旨在研究新課標(biāo)高中教材三角函數(shù)有關(guān)知識的應(yīng)試心理以及通過實(shí)例剖析學(xué)生在解決三角函數(shù)相關(guān)問題時存在的問題，并做出相應(yīng)教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞 三角函數(shù) 性質(zhì) 變換 最值

中圖分類號：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，在高考題中是較容易得分的考點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)，不僅公式多且在三角函數(shù)的變形過程中有一定的技巧性，如何發(fā)掘、靈活正確地運(yùn)用這些技巧？本文分三個角度進(jìn)行應(yīng)試剖析并給出粗淺教學(xué)建議。

1基本概念公式牢固掌握

三角函數(shù)涉及知識點(diǎn)龐雜眾多，那么要想真正領(lǐng)會其中的技巧，就要掌握實(shí)質(zhì)，在教學(xué)中重視基礎(chǔ)，避免偏題難題怪題，針對高考教學(xué)，有的放矢。

近幾年高考，三角函數(shù)主要以簡單的選擇題和解答題形式出現(xiàn)，其中選擇題主要考察三角函數(shù)的簡易求值以及判斷簡單三角函數(shù)的周期和奇偶性，解答題主要考察三角函數(shù)與解三角形、三角函數(shù)與向量結(jié)合的綜合應(yīng)用。主要考察內(nèi)容按綜合難度分，有以下幾個層次：

（1）通過誘導(dǎo)公式和倍角公式的簡單運(yùn)用，解決有關(guān)三角函數(shù)基本性質(zhì)的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。

（2）三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運(yùn)用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

（3）充分利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等特殊性質(zhì)，解決較復(fù)雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值，求復(fù)合函數(shù)值域等。

例1.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=2，cosB=.

（1）若b=4，求sinA的值；

（2）若△ABC的面積S△ABC=4，求b，c的值。

點(diǎn)評：以上兩題主要考查同角三角函數(shù)公式，兩角差的正弦，正弦定理、余弦定理等內(nèi)容，綜合考查了三角函數(shù)的知識。這是一道典型的三角形三角函數(shù)問題，那么解決此題先將其劃分知識點(diǎn)：

（1）三角形△ABC內(nèi)角A，B，C，馬上想到知識點(diǎn)：角的變換；

（2）三角形△ABC內(nèi)邊分別為a，b，c，：邊的變換。

2三角函數(shù)中的基本性質(zhì)

（1）求定義域：實(shí)際上就是解最簡單的三角不等式（組），一般可用三角函數(shù)圖像或三角函數(shù)線來確定三角不等式的解。

（2）求值域（最值）

思路：通過三角變換化歸為下列基本類型處理：

類型一：可化為y=Asin（ x+ ）+B型（常用二倍角公式、兩角和與差公式或引入輔助角）。

類型二：y=asin2x+bsinx+c型，通過換元令t=sinx，化為二次函數(shù)y=at2+bt+c在閉區(qū)間上的值域（最值）問題。（注意t的取值范圍）。

（3）單調(diào)性、周期、對稱軸及對稱中心

關(guān)鍵：記住三角函數(shù)的圖像，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可。

（4）平移后函數(shù)性質(zhì)問題，講解時要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)平移的要領(lǐng)，比如y=sin（2 +）的兩種由y=sin 平移得到圖像的方法的差異，教師要著重講解并且強(qiáng)調(diào)“沿著x軸平移伸縮，那么平移伸縮的量只針對x變化”。

例2.已知函數(shù)f（x）=2sin2（+x） cos2x，x∈[，]，求f（x）的最值；

分析：本題是一道規(guī)范的三角函數(shù)化簡求解基本性質(zhì)題，解此類題目應(yīng)正確引導(dǎo)及區(qū)分本題若更改成已知函數(shù)“f（x）=2sin2（+x） cos2x”時兩者解答的不同之處。前者限定函數(shù)的定義域?yàn)榉荝，而后者為R，顯然后者較簡單。

3易錯實(shí)例

上面談及了當(dāng)熟練掌握了三角函數(shù)基本知識以后便會形成相應(yīng)的解題技巧，這種技巧在一定程度上縮減了解題的思考時間，對于高考和平時的做題也在某種程度上是有利的，當(dāng)然也不排除有弊之處。下面為解題技巧下的易錯實(shí)例：

例3.要得到函數(shù)y=cos2x的圖像，只需要將函數(shù)y=-sin2x的圖像向 移 單位

錯解：（1）∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+），向左平移個單位。

（2）∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+）=sin[2（-x+）]，所以向左平移個單位。

剖析：上面兩種解法，都只注意到了“+”號，而忽略了“-”號的含義，雖然解法2考慮了的系數(shù)，但仍然沒有理解“-”對函數(shù)變換的影響，從而產(chǎn)生錯解。

正解：∵y=-sin2x=sin（-2x），y=cos2x=sin（-2x+）=sin[-2（x ）]，所以向右平移個單位。

點(diǎn)評：克服思維定勢帶來的負(fù)遷移，幫助學(xué)生構(gòu)建全面、準(zhǔn)確的思維模式是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要步驟，注意對知識的理解與應(yīng)用。

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它可以與多重知識點(diǎn)相結(jié)合，如：函數(shù)圖像與其它函數(shù)問題結(jié)合，平面向量問題，數(shù)列問題……，那么，如何解決難度較高，綜合性較強(qiáng)的問題關(guān)鍵在于對于三角函數(shù)基礎(chǔ)的掌握。

參考文獻(xiàn)

[1] 人民教育出版社.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007（2）.

[2] 馮忠良，等.教育心理學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2010.