8字曲線路徑規(guī)劃凸輪設(shè)計(jì)

趙磊

摘 要：為使小車按8字形狀軌跡走，順利繞過(guò)兩個(gè)相距一定間距的障礙物，使用凸輪機(jī)構(gòu)是行之有效的一種方法。由于凸輪存在周期性的特性，小車可以周期性的按8字形軌跡行走，從而實(shí)現(xiàn)小車在重錘的重力下持續(xù)繞過(guò)障礙物的過(guò)程。其中尋找或構(gòu)造8字形曲線的常見(jiàn)方法有兩種：一種是尋覓現(xiàn)有的連續(xù)曲線，并能直接得到該曲線方程，而另一種是構(gòu)造8字形軌跡。本次課題是使用圓弧和三角函數(shù)線來(lái)構(gòu)造類8字形軌跡。本課題主要從分析前輪轉(zhuǎn)角，并結(jié)合轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)凸輪相應(yīng)的半徑和角度方面進(jìn)行設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造；轉(zhuǎn)角；凸輪機(jī)構(gòu)；8字軌跡

一、8字軌跡的確定及說(shuō)明

（一）關(guān)于建立8字軌跡的規(guī)律特征說(shuō)明

小車走8字的軌跡，本課題是運(yùn)用已知基本函數(shù)構(gòu)造出類8字，即利用圓和三角函數(shù)構(gòu)造出類8字軌跡。首先根據(jù)比賽樁距選用兩段自定義角度圓弧來(lái)參與構(gòu)造過(guò)程，再使用三角函數(shù)連接圓弧使其封閉。（軌跡為后輪中心的軌跡）

（二）8字軌跡函數(shù)關(guān)系說(shuō)明

關(guān)于坐標(biāo)的說(shuō)明。小車軌跡來(lái)說(shuō)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中X代表水平方向，坐標(biāo)單位為mm而Y則代表了豎直方向，坐標(biāo)單位mm。左邊圓弧AB和右邊圓弧CD為一半圓弧，兩圓圓心為兩樁且樁距為兩圓的直徑長(zhǎng)即400mm，中間弧BC和弧AD均為三角函數(shù)，而三角函數(shù)BC和AD是由sinx變化得到兩線段的解析式。

二、小車軌跡轉(zhuǎn)角的計(jì)算

（一）關(guān)于小車轉(zhuǎn)角的設(shè)計(jì)說(shuō)明

根據(jù)分析后輪與前輪的結(jié)構(gòu)關(guān)系。前輪控制轉(zhuǎn)向，后輪提供動(dòng)力，通過(guò)四個(gè)參數(shù)L、r、R、θ計(jì)算前輪轉(zhuǎn)角以實(shí)現(xiàn)8字軌跡的生成。

由于小車在轉(zhuǎn)彎時(shí)前輪和后輪為同心不等徑圓環(huán)（近似處理）。因此，對(duì)于小車前輪的轉(zhuǎn)角為一定值，這個(gè)值的大小取決于車身和圓弧軌跡的半徑。其中L為車身即前輪到后輪中心的距離，θ為前輪轉(zhuǎn)角，R是轉(zhuǎn)彎時(shí)前輪的半徑，r為轉(zhuǎn)彎時(shí)后輪兩輪中心的半徑。而圓心在前輪的法向和后輪的法向交點(diǎn)出，因此當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角發(fā)生變化則圓心位置發(fā)生改變導(dǎo)致半徑變化所以由軌跡來(lái)確定轉(zhuǎn)角。（該課題以后輪中心8字為主）

（二）小車轉(zhuǎn)角的計(jì)算

將BC段轉(zhuǎn)角公式輸入MATLAB中如圖1所示。

（三）確定新軌跡圖

使用數(shù)學(xué)中的二分法最后得到在X=131.4處的轉(zhuǎn)角29.6739度與圓弧的轉(zhuǎn)角近似相等。所以得到新軌跡如圖2所示：

中間橫線的兩端點(diǎn)即為兩樁距離400mm。該圖是由原圖截取三角函數(shù)x∈-131.4，131.4的線段，再拼接200mm半徑的部分圓而得到的軌跡具體操作如下：

（1）截取0到131.4的三角函數(shù)線段。

（2）移動(dòng)OC使C與C重合，在旋轉(zhuǎn)OC使其在C處的一階導(dǎo)數(shù)等于CD在C處的一階導(dǎo)數(shù)。

（3）移動(dòng)OCD使得O和O重合。

（4）旋轉(zhuǎn)OCD使得圓弧的圓心在OE所在的直線上。

（5）OF即為軌跡的四分之一鏡像即可得到新軌跡。

（四）整合曲線

新圖是原曲線經(jīng)過(guò)一系列的平移和旋轉(zhuǎn)，若還在原坐標(biāo)下曲線的函數(shù)關(guān)系將發(fā)生改變，而前面的計(jì)算方法只是計(jì)算在某一位置的轉(zhuǎn)角并不能由該公式?jīng)Q定，決定轉(zhuǎn)角大小只與曲線的形狀和小車的長(zhǎng)度有關(guān)。

參考文獻(xiàn)：

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