對(duì)立體幾何教學(xué)的幾點(diǎn)思考

陳聲光

立體幾何是高中數(shù)學(xué)很重要的一個(gè)模塊，每年高考6道解答題中必有一道立體幾何問(wèn)題，學(xué)考并重，以考促學(xué)。它主要研究空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，著重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力等，對(duì)學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成很有幫助。然而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，往往抓不住重點(diǎn)，不能認(rèn)清事物的本質(zhì)，無(wú)法形成良好的思維習(xí)慣。

結(jié)合筆者多年的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何存在的問(wèn)題主要有以下幾個(gè)方面：

一、沒(méi)有建立立體感和空間概念

學(xué)習(xí)立體幾何，我們是從認(rèn)識(shí)空間圖形開(kāi)始的。首先認(rèn)識(shí)的是柱體，錐體，臺(tái)體，還有球，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的時(shí)候?qū)W生往往不能認(rèn)清圖形的特征，對(duì)圖形概念與圖形不能恰當(dāng)?shù)貙?duì)應(yīng)起來(lái)。比如在認(rèn)識(shí)棱柱的時(shí)候，什么是棱柱？棱柱有哪些特征？如何判斷一個(gè)空間幾何體是否為棱柱？棱柱與其他空間圖形（比如棱臺(tái)）的區(qū)別是什么？只有通過(guò)不斷辨析對(duì)比設(shè)疑等，才能加深我們對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，才能形成正確的判斷。當(dāng)然在講授新課的時(shí)候，為了幫助學(xué)生更好地感知什么是棱柱，我們要給學(xué)生實(shí)物模型，讓他們對(duì)棱柱產(chǎn)生直觀印象，在此基礎(chǔ)上再具體分析其中的數(shù)量關(guān)系。好的開(kāi)始是成功的一半，認(rèn)識(shí)清楚了簡(jiǎn)單的空間幾何體，才能為后面學(xué)習(xí)的三視圖、直觀圖，以及點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系等打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、對(duì)公理與定理內(nèi)容一知半解，不能融會(huì)貫通

研究點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系，是從三個(gè)公理開(kāi)始的，由此有了一系列的判定定理與性質(zhì)定理。比如在證明線面垂直的問(wèn)題上，怎么判定一條直線與一個(gè)平面是垂直的？當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，又有哪些性質(zhì)和結(jié)論？怎么由線面垂直推出面面垂直，又怎么由面面垂直推出線面垂直？學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的時(shí)候，要理清這些問(wèn)題之間的相互聯(lián)系是比較困難的。這當(dāng)中涉及較強(qiáng)的邏輯關(guān)系，需要學(xué)生建立較好的推理論證能力。作為教師，我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生克服這些困難顯得尤為重要。

三、表述不規(guī)范，難以達(dá)成抽象概括

主要原因是學(xué)生思路不清，知識(shí)相互混淆，沒(méi)有形成對(duì)每一個(gè)判定定理與性質(zhì)定理的感性認(rèn)識(shí)?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》在立體幾何模塊說(shuō)明與建議中提出，“幾何教育應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)物模型的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言；通過(guò)了解平行，垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)幾何對(duì)象的位置關(guān)系”。因此，當(dāng)學(xué)生積累了一定的感性認(rèn)識(shí)后，就應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)他們進(jìn)行抽象、概括，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖和用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述。

既然學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中遇到這些困難，那么我們應(yīng)該怎樣幫助學(xué)生克服這些困難，取得學(xué)習(xí)上的進(jìn)步呢？以下是筆者在教學(xué)實(shí)踐中積累的幾點(diǎn)思考：

1.建立空間概念，強(qiáng)化空間思維能力

從認(rèn)識(shí)平面圖形到認(rèn)識(shí)立體圖形是一次飛躍，要有一個(gè)過(guò)程。建立空間觀念要做到：（1）重視看圖能力的培養(yǎng)：對(duì)于一個(gè)幾何體，可從不同的角度去觀察，可以是俯視、正視、側(cè)視，體會(huì)不同的感覺(jué)，以開(kāi)拓空間視野，培養(yǎng)空間感。（2）加強(qiáng)畫(huà)圖能力的培養(yǎng)：掌握基本圖形的畫(huà)法；如異面直線的幾種畫(huà)法、二面角的幾種畫(huà)法等等；對(duì)線面的位置關(guān)系，所成的角，所有的定理、公理都要畫(huà)出其圖形，而且要畫(huà)出具有較強(qiáng)的立體感。（3）加強(qiáng)認(rèn)圖能力的培養(yǎng)：對(duì)立體幾何題，既要由復(fù)雜的幾何圖形體看出基本圖形，如點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；又要從點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系想到復(fù)雜的幾何圖形，既要看到所畫(huà)出的圖形，又要想到未畫(huà)出的部分。能實(shí)現(xiàn)這一些，可使有些問(wèn)題一眼看穿。此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構(gòu)造定理的“圖”，對(duì)于建立空間觀念也是很有幫助的。

2.合理恰當(dāng)?shù)厥褂脤?shí)物模型建立形象思維

立體幾何中的命題都是在經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯論證后才能被稱為定理。但我們必須承認(rèn)，所有的定理只有在直覺(jué)理解，想通領(lǐng)悟的前提下才能被學(xué)生真正的接受。正如數(shù)學(xué)家克萊因所說(shuō)“一個(gè)數(shù)學(xué)主題只有在成為直覺(jué)上的顯然后，才算研究到家”。因此在教學(xué)中要幫助學(xué)生在生活中找出命題的原型，利用學(xué)生的生活體驗(yàn)和直觀感知，使其成為“直覺(jué)上的顯然”。而實(shí)物或生活的空間（如教室）及自己制作的模具都是很好的載體。

在講授空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系的時(shí)候要不失時(shí)機(jī)地運(yùn)用各種實(shí)物模型或者規(guī)則幾何圖形來(lái)幫助學(xué)生形成直觀印象，輔助學(xué)生去理解其中的數(shù)量關(guān)系。比如，在講解線面平行、面面平行的問(wèn)題時(shí)，我們就可以我們的教室為例。教室就是一個(gè)長(zhǎng)方體，這里面的線面平行、面面平行關(guān)系，學(xué)生置身其中一看便很容易理解。因?yàn)樗菀妆挥^察、被觸摸、被感知，所以在教學(xué)上，我們要盡量化抽象的理論為形象的思維，這樣就能貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

3.教學(xué)中注重 “轉(zhuǎn)化”思維的培養(yǎng)

解立體幾何的問(wèn)題，很重要的一點(diǎn)是要充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想。要明確在轉(zhuǎn)化過(guò)程中什么變了，什么沒(méi)變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的。例如：（1）兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角即過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角。（2）點(diǎn)到面的距離可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的平行與該平面的直線與平面間的距離，也可以轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的三棱錐的高。而面面距離同樣可以轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，點(diǎn)面距離又可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離。（3）面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。同樣面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直。

4.注重空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

空間向量的引入為處理立體幾何中的推理論證及計(jì)算問(wèn)題提供了新視角，為立體幾何中的證明、計(jì)算提供了現(xiàn)成的，規(guī)范的通性通法。

雖然許多同學(xué)在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)遇到了困難，感到力不從心，甚至畏懼灰心，但只要我們明確學(xué)生存在的問(wèn)題，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，優(yōu)化教學(xué)思路，多與學(xué)生溝通交流，就一定能幫助學(xué)生戰(zhàn)勝困難，取得更大的進(jìn)步，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)！