極坐標(biāo)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

王文剛

極坐標(biāo)是新課標(biāo)選考內(nèi)容之一，由于是新增的內(nèi)容，考綱要求比較簡(jiǎn)單，只有理科學(xué)生學(xué)，所以在高考中一般以基礎(chǔ)題目出現(xiàn)，而圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)，常以壓軸題的形式出現(xiàn)。圓錐曲線問(wèn)題的基本解題思路，就是借助點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表達(dá)條件，但是，在很多具體問(wèn)題中，很多幾何條件并不方便借助點(diǎn)的直角坐標(biāo)來(lái)表達(dá)，從而導(dǎo)至運(yùn)算繁瑣，運(yùn)算量過(guò)大，使得學(xué)生望而生畏，半途而廢。隨著對(duì)極坐標(biāo)知識(shí)的深入學(xué)習(xí)，利用極坐標(biāo)知識(shí)解決某些圓錐曲線問(wèn)題，?？梢曰睘楹?jiǎn)，高效解答。特別在圓錐曲線的焦點(diǎn)弦類(lèi)問(wèn)題及題設(shè)中含有垂直、特殊三角形等等這類(lèi)問(wèn)題時(shí)帶來(lái)方便。下面舉例說(shuō)明。

一、題設(shè)中含有垂直關(guān)系

例1：（貴港、來(lái)賓市12月聯(lián)考卷）已知橢圓 的離心率為 ，以原點(diǎn) 為圓心，橢圓 的焦距為直徑的圓與直線 相切.

（1） 求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 為橢圓 上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 在第一象限， 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

求 的面積最小值時(shí)， 點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1） （過(guò)程略）

（2） 方法一：（常規(guī)解法）由題意知 ，設(shè) ，

，設(shè) ，由

，所以 ，同理可得 ， = ，所以：

= ，

當(dāng) ，即 時(shí)， 取最小值，此時(shí)： .

方法二：（極坐標(biāo)法）如圖：以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)

為極點(diǎn)， 軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)

則 ，由（1）可得橢圓的直角坐標(biāo)

方程為 ，化成極坐標(biāo)方程為

，因?yàn)?都在橢圓上，所以有：

------①

------②

------③

由①②③式得： ------④

------⑤

從而有④+⑤得： ，所以有 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)由 得 ，又由

，依題題知 ，又因?yàn)?= ，所求D點(diǎn)極坐標(biāo)為 ，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為 .

評(píng)注：比較以上兩個(gè)方法我們可以看到，合理建立極坐標(biāo)系，利用極坐標(biāo)系建立相關(guān)關(guān)系，可以避免繁瑣的運(yùn)算而使問(wèn)題得到快速解決，彰顯極坐標(biāo)法的好處。

二、圓錐曲線焦點(diǎn)弦問(wèn)題

1、1.圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程的推導(dǎo)及結(jié)論

如圖，以定點(diǎn)O為極點(diǎn)，使極軸 所在的直線垂直于定直線 且 的反向延長(zhǎng)線交 于點(diǎn) ，設(shè) 為圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，則

，

根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有：

解得 ，該式為圓錐曲線的極坐標(biāo)方程，其中 是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離， 為離心率，焦點(diǎn)位于極點(diǎn)，極軸是圓錐曲線的對(duì)稱軸。按上面的推導(dǎo)的方法，可得到圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程的其它形式：

析 當(dāng) 時(shí)，表示以左焦點(diǎn)為極點(diǎn)的橢圓；

當(dāng) 時(shí)，表示以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，開(kāi)中向右的拋物線；

當(dāng) 時(shí)，表示以右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的雙曲線的右支. 當(dāng) 時(shí)，表示以右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的橢圓；

當(dāng) 時(shí)，表示以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，開(kāi)中向左的拋物線；

當(dāng) 時(shí)，表示以左焦點(diǎn)為極點(diǎn)的雙曲線的左支. 當(dāng) 時(shí)，表示以下焦點(diǎn)為極點(diǎn)的橢圓；

當(dāng) 時(shí)，表示以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，開(kāi)中向上的拋物線；

當(dāng) 時(shí)，表示以上焦點(diǎn)為極點(diǎn)的雙曲線的上支. 當(dāng) 時(shí)，表示以上焦點(diǎn)為極點(diǎn)的橢圓；

當(dāng) 時(shí)，表示以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，開(kāi)中向下的拋物線；

當(dāng) 時(shí)，表示以下焦點(diǎn)為極點(diǎn)的雙曲線的下支.

2、2.圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，熱點(diǎn)，圓錐曲線的極坐標(biāo)方程解決這類(lèi)問(wèn)題帶來(lái)了簡(jiǎn)便方法，有效地避免繁瑣的代數(shù)運(yùn)算。

例2：（柳州市高三摸底考卷）已知橢圓 ，點(diǎn) 分別為其左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)且 為等腰直角三角形，拋物線 的焦點(diǎn)是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn).

（1） 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 若拋物線 上存在兩個(gè)點(diǎn) ，橢圓上也存在兩個(gè)點(diǎn) ，使 三點(diǎn)共線，

三點(diǎn)共線，且 ，求四邊形 面積的最小值.

解：（1） （過(guò)程略）；

（2）如圖以橢圓的右焦點(diǎn) 為極點(diǎn)， 為極軸建立極坐標(biāo)系，

設(shè) ， ， ， ，由建立的極坐

標(biāo)系得橢圓的極坐標(biāo)方程是： ，其中 ，雙曲線的極坐標(biāo)方程是：

，其中 ，所以

，

，有 ，又四邊形 面積為

=

= ，又因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， .

評(píng)注：本題若用常規(guī)方法求解，要經(jīng)過(guò)繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，給解答帶來(lái)不便，而利用極坐標(biāo)方法，合理選擇相應(yīng)的方程解決問(wèn)題，可起到事半功倍的作用。以上角度只是對(duì)極坐標(biāo)在求解圓錐曲線某些類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)初探，事實(shí)上，在高考中考查類(lèi)似的問(wèn)題有很多，這里就不一一列舉了，這里起到一個(gè)拋磚引玉的作用。