對(duì)均值不等式的進(jìn)一步探討

楊楚怡 管明峰

摘 要：本文通過(guò)討論均值不等式的一般形式，對(duì)調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間的關(guān)系及其應(yīng)用條件、注意事項(xiàng)進(jìn)行了分析，以解決實(shí)際生活、生產(chǎn)中對(duì)這幾種平均數(shù)的誤用問(wèn)題，具有一定意義。

關(guān)鍵詞：均值不等式；調(diào)和平均數(shù)；幾何平均數(shù)；算術(shù)平均數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O212文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

高中階段學(xué)習(xí)的均值不等式非常重要，它在高考數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)的頻率也特別高，故高中數(shù)學(xué)老師在講解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候都會(huì)花費(fèi)大量力氣。但是，在高中階段學(xué)習(xí)均值不等式更多地是通過(guò)變換技巧來(lái)應(yīng)付考試。因此，對(duì)于均值不等式的學(xué)習(xí)，還需要我們拓展研究它的一些具體應(yīng)用。高中階段學(xué)習(xí)的均值不等式的形式為

2 算術(shù)平均數(shù)的選擇

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活、生產(chǎn)中，當(dāng)總體單位總量一定時(shí)，且總體標(biāo)志值總量是由總體中各單位標(biāo)志值求和而得，則計(jì)算平均指標(biāo)使用算術(shù)平均數(shù)。

例1：設(shè)某工廠有4個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一型號(hào)產(chǎn)品，八月份的產(chǎn)量分別為80臺(tái)、76臺(tái)、68臺(tái)和84臺(tái)，問(wèn)八月份這四個(gè)車(chē)間的平均產(chǎn)量是多少？

分析：總體單位總量（車(chē)間總數(shù)）為4個(gè)，各單位標(biāo)志值（每車(chē)間生產(chǎn)臺(tái)數(shù)）分別為80臺(tái)、76臺(tái)、68臺(tái)和84臺(tái)，總體標(biāo)志值總量（總臺(tái)數(shù)）為308臺(tái)，故八月份這四個(gè)車(chē)間的平均產(chǎn)量為：

平均產(chǎn)量=3084=77（臺(tái)）

3 幾何平均數(shù)的選擇

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活、生產(chǎn)中，當(dāng)討論的總比率或總速度是由各項(xiàng)變量值的連乘積獲得的時(shí)候，要計(jì)算對(duì)應(yīng)的平均速率或平均速度，應(yīng)使用幾何平均數(shù)來(lái)求。

例2：某瓷器生產(chǎn)廠在備好料泥以后，要依次經(jīng)過(guò)成型車(chē)間、刻繪車(chē)間、施釉車(chē)間和燒制車(chē)間的處理，最終才能生產(chǎn)出精美的瓷器，某一月份這四個(gè)車(chē)間的生產(chǎn)合格率分別為98%、95%、99%和90%，求這一月份這四個(gè)車(chē)間的平均合格率？

分析：由于這四個(gè)車(chē)間生產(chǎn)是四道工序，是對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行處理，前一車(chē)間合格品是后一車(chē)間加工對(duì)象，四個(gè)車(chē)間的總合格率是每個(gè)車(chē)間合格率的連乘積。在這里，要使用幾何平均數(shù)處理平均合格率問(wèn)題，也即：

除了例2中討論的情況外，一般在描述事物前后單位時(shí)間內(nèi)的連續(xù)增長(zhǎng)變化的環(huán)比情況時(shí)，處理平均數(shù)問(wèn)題也要使用幾何平均數(shù)。比如，經(jīng)濟(jì)逐年環(huán)比增長(zhǎng)、人口逐年環(huán)比增長(zhǎng)、復(fù)利計(jì)息問(wèn)題[2]等。

4 調(diào)和平均數(shù)的選擇

從實(shí)際應(yīng)用的角度看，調(diào)和平均數(shù)可由算術(shù)平均數(shù)變形得到，是由掌握不同資料對(duì)同一問(wèn)題以?xún)煞N形式加以解決。故實(shí)際應(yīng)用中，能使用調(diào)和平均數(shù)的地方，也?？捎盟阈g(shù)平均數(shù)來(lái)解決。

例3：有三種款式的書(shū)簽標(biāo)價(jià)分別為0.1元/張、0.2元/張和0.5元/張，小明買(mǎi)下三款書(shū)簽分別花費(fèi)1元錢(qián)，求小明買(mǎi)的書(shū)簽每張平均價(jià)格是多少？

分析：直接使用調(diào)和平均數(shù)來(lái)求，可得

對(duì)于調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系問(wèn)題，也存在不同看法，如有的學(xué)者認(rèn)為從平均數(shù)的數(shù)理意義上理解，調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)是兩種不同的平均數(shù)，不存在變形的問(wèn)題[3]，從數(shù)理意義上理解也有其道理，也是我們應(yīng)該了解的。

5 加權(quán)平均數(shù)

在平均數(shù)應(yīng)用中，經(jīng)常還要考慮總體中不同個(gè)體的作用或貢獻(xiàn)度的區(qū)別，也就是要考慮權(quán)重因素，最常見(jiàn)的就是在跳水比賽中每個(gè)運(yùn)動(dòng)員每一跳得到的平均成績(jī)都是使用了加權(quán)平均數(shù)的處理方式。

加權(quán)平均數(shù)中的“權(quán)數(shù)”的表現(xiàn)形式多樣，當(dāng)權(quán)數(shù)發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)得到的結(jié)果可能會(huì)大相徑庭，這一特殊性，越來(lái)越受到人們的重視，在實(shí)踐中應(yīng)用越來(lái)越廣泛，使得分析問(wèn)題更公正客觀。

以上主要通過(guò)對(duì)高中階段學(xué)習(xí)的均值不等式進(jìn)行進(jìn)一步探討，給出一般的均值不等式的形式。對(duì)不等式中的平均數(shù)概念進(jìn)行了討論，更好的明確了各平均數(shù)應(yīng)用的條件，及注意的事項(xiàng)，為實(shí)際生產(chǎn)中正確使用平均數(shù)提供了較清晰的方法，防止張冠李戴，具有一定意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]舒曉慧，劉建平.關(guān)于幾種平均數(shù)關(guān)系的構(gòu)造法證明及推廣[J].懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，23（2）：20-21.

[2]朱艷，季桂林.淺談統(tǒng)計(jì)中算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的正確應(yīng)用[J].濟(jì)南職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，6：54-55.

[3]馮勝群.正確認(rèn)識(shí)平均數(shù)、平均指標(biāo)、集中趨勢(shì)的涵義和關(guān)系[J].江蘇統(tǒng)計(jì)應(yīng)用研究，2001，9：13-16.

作者簡(jiǎn)介：楊楚怡（2002-），女，安徽蚌埠人，安徽省固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)高三二班學(xué)生；管明峰（1982-），男，安徽蚌埠人，理學(xué)學(xué)士，安徽省固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)一級(jí)教師。