基于完善雙線性遲滯模型的干摩擦阻尼系統(tǒng)動力學(xué)分析

何冰冰 何尚文 賈文禎 王穎 田勇

摘 要：針對接觸正壓力較大時干摩擦力主要表現(xiàn)出剛度特性的情況，結(jié)合已有文獻(xiàn)的實驗研究結(jié)論，對雙線性遲滯模型進(jìn)行完善。通過龍格庫塔方法計算干摩擦阻尼系統(tǒng)的動力響應(yīng)，結(jié)合傅里葉變換、龐加萊圖及相圖分析系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性。仿真結(jié)果表明，在干摩擦接觸不脫離的情況下，系統(tǒng)沒有出現(xiàn)分叉與混沌現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與摩擦力沒有出現(xiàn)次諧波響應(yīng)且高次諧波分量很小，證明了基于一次諧波平衡的等效線性化方法求解接觸不脫離的干摩擦阻尼系統(tǒng)是較為精確的；得到了接觸剛度、外激勵幅值、正壓力對干摩擦阻尼系統(tǒng)減振效果影響的規(guī)律，與相關(guān)實驗結(jié)果基本相符。相關(guān)結(jié)論可為工程中干摩擦阻尼器的設(shè)計提供參考。

關(guān)鍵詞：機(jī)械動力學(xué)與振動；干摩擦阻尼系統(tǒng)；完善的雙線性遲滯模型；非線性分析；減振

中圖分類號：V232.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-1542（2018）03-0214-07

振動故障是旋轉(zhuǎn)機(jī)械葉片設(shè)計的一個重要問題。實踐證明，給葉片附加干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)可以有效抑制葉片的動力響應(yīng)，從而減少由振動引起的葉片高周疲勞問題，而且，干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)在渦輪葉片減振中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[1-6]。目前，葉片振動故障仍時有發(fā)生，故繼續(xù)對渦輪葉片干摩擦減振問題進(jìn)行研究具有一定的理論意義和重要的工程價值。

在摩擦接觸模型中，雙線性遲滯模型考慮了接觸剛度，修正了庫倫摩擦無法考慮黏、滑轉(zhuǎn)換的局限性，從而被研究者廣泛采用，文獻(xiàn)[7—9]在研究干摩擦系統(tǒng)時均采用了這種模型。BARAA等[10]研究了能量消耗和摩擦接觸狀態(tài)的黏、滑轉(zhuǎn)換分別對單自由度干摩擦阻尼系統(tǒng)峰值響應(yīng)影響的效果，揭示了系統(tǒng)的減振機(jī)理；郝燕平等[11]將遲滯彈簧模型推廣應(yīng)用于二維接觸運(yùn)動下的摩擦分析，發(fā)展了一種將有限元法和動柔度法相結(jié)合的干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析方法；單穎春等[12]將軌跡跟蹤法和一種二維運(yùn)動下的雙線性遲滯滑動模型相結(jié)合求解了二維摩擦接觸時摩擦力的數(shù)值解，并考慮了高次諧波的影響；曾亮等[13]將葉片?；癁閱钨|(zhì)量塊，對二維摩擦接觸運(yùn)動時系統(tǒng)的減振特性進(jìn)行了分析；李全通等[14]在實驗研究中發(fā)現(xiàn)接觸面間正壓力過大附加干摩擦阻尼器相當(dāng)于附加支撐剛度的現(xiàn)象。何尚文等[15]考慮了雙線性遲滯由不穩(wěn)到穩(wěn)態(tài)的過程，在此基礎(chǔ)上發(fā)展了一種干摩擦系統(tǒng)求解方法；王本利等[16]通過諧波平衡法研究了由Iwan模型和1個質(zhì)量塊構(gòu)成的干摩擦振子系統(tǒng)的自由振動和受迫振動問題；李琳等[17]在雙線性遲滯模型基礎(chǔ)上對典型航空發(fā)動機(jī)葉片緣板阻尼器寬頻多階次激勵的減振效果進(jìn)行了計算與分析；余慧杰等[18]對雙線性滯遲振子的無諧振機(jī)理進(jìn)行了理論和試驗研究；徐超等[19]考慮法向荷載變化并結(jié)合并聯(lián)的彈簧遲滯模型發(fā)展了一種微滑移模型?；陔p線性遲滯模型對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解中，特別是利用等效線性化求解時多忽略了正壓力較大時阻尼器只有剛度特性的情況?；谖墨I(xiàn)[14]中的實驗現(xiàn)象，此時雙線性遲滯模型已不能準(zhǔn)確表述摩擦力與位移間的關(guān)系，應(yīng)進(jìn)行完善。另外，摩擦接觸的復(fù)雜性以及接觸面間干摩擦力的非線性，給干摩擦系統(tǒng)動力響應(yīng)的高效、科學(xué)求解帶來了困難。

本文結(jié)合相關(guān)實驗結(jié)論對雙線性遲滯摩擦接觸模型進(jìn)行了完善，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用龍格庫塔方法對非線性振動方程進(jìn)行求解，應(yīng)用傅里葉變換、龐加萊圖及相圖分析了系統(tǒng)的非線性，得到了干摩擦阻尼器減振特性隨相關(guān)參數(shù)變化的規(guī)律，所得結(jié)果可為工程中干摩擦阻尼器設(shè)計、計算提供參考。

1 理論基礎(chǔ)及計算模型

圖1 干摩擦系統(tǒng)力學(xué)模型

Fig.1 Mechanical model of dry friction system

考慮葉片的一彎振型，干摩擦阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型可?；癁槿鐖D1所示。則系統(tǒng)的動力學(xué)方程為[20]

m[AKy¨]+c[AKy·]+ky+f1=F0 sin（ωt），

式中：m為葉片質(zhì)量；y為葉片一彎振動位移；k為一彎振型的振動剛度；c為一彎振型下黏性阻尼系數(shù)；f1為系統(tǒng)的干摩擦接觸力；F0 sin（ωt）為給干摩擦阻尼系統(tǒng)施加的外簡諧激勵。

圖2 [WB]完善的干摩擦力f1與振動位移[DW]y的遲滯關(guān)系

[WT5”BZ]Fig.2 [WB]Improved hysteretic constructive relation of

[DW]dry friction f1 and displacement y

圖2為完善的雙線性遲滯模型下接觸摩擦力與相對位移的關(guān)系。

圖2雙線性遲滯模型的完善：考慮響應(yīng)穩(wěn)態(tài)前實際運(yùn)動，遲滯關(guān)系是動態(tài)變化的平行四邊形，即每個循環(huán)響應(yīng)幅值不斷變化；考慮正壓力較大時，摩擦力-位移遲滯曲線經(jīng)歷oa段后可能不能進(jìn)入ab段開始遲滯循環(huán)，需判斷系統(tǒng)從ab還是cd段進(jìn)入遲滯循環(huán)，使模型更加符合工程實際；結(jié)合文獻(xiàn)[15]的實驗，考慮正壓力過大時，摩擦力-位移不能進(jìn)入平行四邊形循環(huán)（遲滯曲線一直在oa段或oa1段），摩擦力-位移恒為正比例關(guān)系：f1=k1y。

運(yùn)用龍格庫塔法求解系統(tǒng)的動力響應(yīng)，計算流程圖如圖3所示。

2 動力學(xué)特性分析

參考工程中渦輪葉片阻尼器參數(shù)[5]及有限元軟件進(jìn)行模態(tài)分析的結(jié)果，相關(guān)參數(shù)可取為m=0.05 kg，c=16 N·s/m，k=1×105 N/m，ω=200 rad/s，μ=0.5，y和[AKy·]分別為振動響應(yīng)的位移和速度，t為時間，頻域圖中的f為激振頻率。

2.1 剛度比變化時系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

取F0=50 N，N=50 N，定義接觸剛度與系統(tǒng)一彎剛度之比γ=k1/k，剛度比γ（無量綱）的取值范圍為[6，20]，仿真結(jié)果如圖4—圖7所示。

分析圖4—圖7可知，不同的剛度比下系統(tǒng)響應(yīng)和摩擦力沒有出現(xiàn)次諧波，且高次諧波分量非常小，系統(tǒng)未出現(xiàn)分叉及混沌現(xiàn)象；減振效果隨接觸剛度變化出現(xiàn)波動。

2.2 接觸正壓力變化時系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

取F0=50 N，k1=1×106 N·m，正壓力N（單位為N）的取值范圍為[10，120]，仿真結(jié)果如圖8—圖11所示。

分析圖8—圖11可知，不同接觸正壓力作用下系統(tǒng)響應(yīng)和摩擦力沒有出現(xiàn)次諧波，且高次諧波分量非常小，系統(tǒng)未出現(xiàn)分叉及混沌現(xiàn)象；減振效果隨正壓力變化而變化，正壓力增大至一定值后系統(tǒng)減幅率不再改變，與文獻(xiàn)[14]實驗結(jié)果相符。

2.3 外激勵幅值[WTHX]F0變化時系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

取N=50 N，k1=1×106 N·m，外激勵幅值F0（單位為N）的取值范圍為[5，100]，仿真結(jié)果如圖12—圖15所示。

分析圖12—圖15可知，不同的外激勵幅值作用下系統(tǒng)響應(yīng)和摩擦力沒有出現(xiàn)次諧波，且高次諧波分量非常小，系統(tǒng)未出現(xiàn)分叉及混沌現(xiàn)象；不改變正壓力，減振效果隨外激勵幅值增加有所下降。

3 結(jié) 論

在對雙線性遲滯模型進(jìn)行完善的基礎(chǔ)上分析了系統(tǒng)的非線性與減振特性，研究表明：

1）各種工況下系統(tǒng)響應(yīng)未出現(xiàn)分叉與混沌現(xiàn)象；響應(yīng)中沒有次諧波分量，高次諧波分量很小，證明了在干摩擦接觸不脫離的情況下基于一次諧波平衡的等效線性化方法求解干摩擦阻尼系統(tǒng)，其結(jié)果是足夠精確的。

2）接觸剛度、接觸正壓力、外激勵幅值的改變影響干摩擦阻尼器的減振效果；正壓力足夠大時附加干摩擦阻尼器等效于附加一個剛度，干摩擦力阻尼特性基本消失，與文獻(xiàn)[14]的實驗結(jié)論相符。

目前求解葉片響應(yīng)時多假設(shè)葉盤靜止，下一步要考慮葉盤旋轉(zhuǎn)并研究葉片相對葉盤的運(yùn)動；另外要結(jié)合有限元方法用接觸單元對對接觸面部分滑動、部分黏滯進(jìn)行研究，進(jìn)一步完善摩擦接觸模型。

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