二階變系數(shù)線性微分方程的解法研究

白慧

眾所周知的是，對與二階變系數(shù)線性微分方程其一般解析式：

y"+p（x）y'+q（x）y=f（x） ①

基于其定義我們可以知道P（x）、G（x）、F（x）是連續(xù)的，那么方程的解是存在的。但是其可積性也只能是三者處于特定的情況下才能存在。這部分內(nèi)容比較深奧，在大部分普通高校微積分的教材中雖然沒有對其解法的完整體現(xiàn)，但是學(xué)生們在自行閱讀的時候很可能會閱讀到相關(guān)方面的文獻(xiàn)的時候很可能會看到相關(guān)的問題。因此針對這種情況我們應(yīng)該積極的尋找其中的相通之處進(jìn)而找為學(xué)生們的更好的理解這些問題的重要途徑。

1可積條件

首先在方程①，我們通常所使用的方式是采用變量對上述的方程進(jìn)行替換，并且一般替換的對象是可降價的方程或者是常系數(shù)線性方程。這種方式的制約性就是在選擇使用怎樣的方式來進(jìn)行替換的時候必須要看P（x）和Q（x）之間存在怎樣的關(guān)系來確定。就是在進(jìn)行計算的過程中需要受到很多方面的影響，變量的不確定性大大增加了在解方程過程那種的困難性。

接下來我們探討方程①可積的重要條件：

P（x）、G（x）、F（x）≠0以及常數(shù)b、c

②

經(jīng)過變換我們不難看出當(dāng)①中的p（x）和q（x）分解為②時，即方程：

③

經(jīng)過雙變化之后不難看出其常系數(shù)線性方程：

④

之后可以再次經(jīng)過轉(zhuǎn)化得出：

⑤

在對方程：

⑥

雙變換完成之后：

顯然上述的公式是錯誤的。

上述方程①中是的p（x）和q（x），在進(jìn)行分解的過程中一般都不會將其分解成②的形式，一般在針對某些簡單的情況下，我們可以使用拼湊法的形式；而在比較麻煩的情況下，往往可以使用“分項比較法”的方式來完成實現(xiàn)結(jié)題的過程?；诖耍救苏J(rèn)為，對可積方程①的求解，首先是觀察方程①是不是能夠形式簡單并且便于記憶的方程，若不是再進(jìn)行考慮如②的分解方式，這樣可以為自己的結(jié)題提供一種比較簡單的并且簡捷的思路，從而不至于在拼湊的項目中難以找到相應(yīng)G（x）、F（x）以及b、c 的值。

2例題分析

例1：問題已知函數(shù) 是二線性齊次方程

xy"-（2x-1）y' +（x-1）y = 0的一個特解，求原方程的通解.

[分析] 這也是變系數(shù)線性方程問題，但跟人上方程的解法不屬于同一種類型。他的題意中已經(jīng)給出了一個特解，所以用的方法也就并不一樣。

根據(jù)二線性齊次方程[解的結(jié)構(gòu)理論] 可知，只要能求出與 線性無關(guān)的另一個特解 ，就可以得到其通解 了。而 與以線性無關(guān)的特征就是 ，不是常數(shù)。

[解] 設(shè)原微分方程有另一與y線性無關(guān)的特解口，則可設(shè) 即

= ，將其代入原方程，可得到一個關(guān)于以K（x）為未知函數(shù)的微分方程（過程非常簡單，從略）

xK" + K'= 0.

由于我們只要求出其“一個”特解，所以從上式中求 時，可以不必顧及任意常數(shù)，從而可得（過程很簡單，從略） K（x）=In |x|，即y2= e* In |x|，所以原方程的通解為

[注] 通常也把這種方法稱為“常數(shù)變易法”

這類問題，雖然方法較為簡單，但是基本運(yùn)算量還是比較大的，如果不冷靜地思考，仔細(xì)地演算，那么還是很容易出錯的，為此大家應(yīng)該更加注重對問題的思辨性。

3結(jié)語

綜上所述，經(jīng)過數(shù)十年我們對于二階變系數(shù)線性微分方程的研究已經(jīng)有了一個比較系統(tǒng)的解釋方法，但是在探究問題的過程中還會存在一定的問題有待我們進(jìn)一步的去解決。針對這些問題我們不應(yīng)該采取消極回避的態(tài)度而應(yīng)該積極的尋找其正確的解釋方法，從而為我們的學(xué)生們找到一個更加正確的解題方向；另外，現(xiàn)階段雖然我們已經(jīng)對此有了一個比較成熟的算法，但是隨著科技的發(fā)展和認(rèn)知的提升，也許在未來的某一天還會出現(xiàn)更加科學(xué)的算法，因此我們也不能采取保守陳規(guī)的態(tài)度，應(yīng)該積極進(jìn)取。

（作者單位：河套學(xué)院）