一個具有二階收斂速度的迭代法

吳江

摘要：Newton迭代法和弦截法是對非線性方程求根問題的常用方法。Newton迭代法需要計算一階導數(shù)值，具有二階收斂速度。弦截法只需要計算函數(shù)值，但它的收斂速度沒有Newton迭代法快。本文將給出一個不需要計算導數(shù)值且具有二階收斂速度的迭代法（新迭代法），并用數(shù)值實驗來驗證其有效性。

關鍵詞：迭代法；非線性方程；收斂速度

0引言

Newton迭代法具有二階收斂速度.具有收斂速度快且形式簡單等特點，具體有關Newton迭代法的內容可以參考文獻。Helley迭代和Chebyshev迭代具有三階收斂速度.并且它們只需要計算一階導數(shù)值。而弦截法可以避免計算一階導數(shù)值，而它是超線性收斂的，所以它的收斂速度沒有Newton迭代法快。具體有關弦截法的內容可以參考文獻。文獻考慮到牛頓迭代法需要計算函數(shù)的導數(shù)值，而有些函數(shù)的導數(shù)值計算復雜，于是提出了一種可以避免計算導數(shù)值并且具有二階收斂速度的迭代算法。本文從牛頓迭代法和文獻的迭代算法出發(fā)，構造一個簡單的迭代公式，該迭代法不必計算一階導數(shù)值，且與Newton迭代法一樣可以達到二階的收斂速度。

1新迭代法及證明

Newton迭代法是求解非線性方程最為經典的迭代法，許多專家和學者在構造新的迭代法時，都會以Newton迭代法為基礎。本文構造新的迭代法的依據(jù)是將Newton迭代法中用到的導數(shù)值用函數(shù)值的差商來替換，從而得到新的迭代法。Newton迭代公式為

從牛頓迭代公式可以看到.在迭代過程中.每一步迭代都需要計算函數(shù)值f（x）和導數(shù)值f（x），所以如果f（x）本身是較為復雜的函數(shù)，那么計算f（x）的計算也會相當復雜。于是文獻為了避免計算函數(shù)的導數(shù)值，提出了下面的迭代公式。

文獻迭代公式為其中A，B為任意實數(shù)。從該迭代公式可以看出，它在迭代過程中不涉及到f（x）的導數(shù)值，而該迭代法在實際的使用中，需要確定A，B的值，而文獻[5]在最后說明當A取1，B取0時計算效果較好。

考慮到文獻[5]迭代公式有待定參數(shù)，并且沒有一種方法可以確定最佳參數(shù)值，所以本考慮用不帶參數(shù)的來代替Newton迭代公式中的f（x）。這樣可以得到下面新的迭代公式。

本文新的迭代公式為

在迭代公式（1）中，只需要計算函數(shù)值，不需要計算導數(shù)值。

定理1方程f（x）=0的根為xo，函數(shù)f（x）在包含‰的某個開區(qū)間內有連續(xù)的二階導數(shù)，且廣（x）=0，則迭代公式（1）在此開區(qū)間至少以二階收斂速度收斂于xo。

證明設迭代誤差en=xn-xo.用泰勒公式將f（xn）在xo處展開，并且注意到.f（xo）=0，得

2數(shù)值實驗

下面將給出兩個非線性方程求根的數(shù)值實驗，來驗證新的迭代法的有效性。首先大致確定非線性方程實數(shù)根所在的區(qū)間范圍.然后在這個已確定的區(qū)間中，任取一個值作為迭代的初始值。輸出的控制條件設定為[Xk-k-1]≤0（10-15）。

例1

求方程f（x）=e3-1=0在區(qū)間[-1，1]上的根（精確根xo=0）。例1的數(shù)值實驗結果如表1所示。

例2求方程g（x）=x-e2=0在區(qū)間[0，1]上的根（精確根xo=0.56714329…）。例2的數(shù)值實驗結果如表2所示。

運用新的迭代法，即式（1）迭代來求解非線性方程的根具有收斂速度快的特點。在例1中新的迭代法只需要5次迭代就達到了所要求的精度：例2中只需6次迭代就達到了所要求的精度。所以可以看出，新的迭代法快速穩(wěn)定地收斂到非線性方程的實數(shù)根.且在迭代過程中只需要計算函數(shù)值，不需要計算導數(shù)值，從上面兩個數(shù)值試驗結果可以看出新的代法是非常有效的。

3結束語

本文新的迭代法具有簡單有效的特點.從式（1）可以看出新的迭代法的迭代公式簡潔明了，而且沒有待定參數(shù).所以在使用時不需要考慮參數(shù)的選擇。另一方面，它具有和牛頓迭代法一樣的二階收斂速度.而且無需考慮導數(shù)值的計算.這就說明本文迭代法在計算復雜函數(shù)的根時.要明顯優(yōu)于牛頓迭代法。與此同時，迭代公式簡單且無需計算導數(shù)也大大提高了計算機的使用效率，降低了編程的復雜度，體現(xiàn)出快速、有效、使用方便的特點。