分步突破精準(zhǔn)切入 策略總結(jié)典例探究
——以一道函數(shù)與幾何綜合題為例

?江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 張 玲

1 考題呈現(xiàn)

考題(2021年江蘇無錫市中考卷第27題)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象過B和C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交BC于點(diǎn)F，交二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象于點(diǎn)E.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)以C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度；

(3)已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N，F(xiàn)關(guān)于直線EC對(duì)稱，試求點(diǎn)N的坐標(biāo).

2 分步突破

圖1

本題目為函數(shù)綜合題，以拋物線與直線為背景，依托坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)建三角形，所設(shè)三問全面考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和綜合能力.第(1)問求函數(shù)的解析式，考查待定系數(shù)法；第(2)問由三角形相似，考查函數(shù)中的相似構(gòu)建；第(3)問則是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，考查對(duì)稱轉(zhuǎn)化.下面結(jié)合具體函數(shù)的圖象，分步突破.

2.1 第一步——待定系數(shù)法求解

二次函數(shù)y=ax2+2x+c中需求a和c的值，只需求拋物線上點(diǎn)B和C的坐標(biāo)即可.由于兩點(diǎn)是直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，故可直接求得.

2.2 第二步——構(gòu)建相似模型

該問探究以C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，需要關(guān)注問題中的兩點(diǎn)：①題干沒有給定相似對(duì)應(yīng)關(guān)系，需要分類討論；②關(guān)注兩三角形的角度關(guān)系.

圖2

2.3 第三步——對(duì)稱轉(zhuǎn)化推理

第(3)問是函數(shù)背景下的幾何對(duì)稱問題.求對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)，有兩點(diǎn)要求：(1)點(diǎn)N位于y軸上，則其橫坐標(biāo)的值為0；(2)點(diǎn)N和F關(guān)于直線EC對(duì)稱，則它們到直線EC的距離相等，可依托該特性構(gòu)建幾何關(guān)系.

圖3

3 解法探究

上文對(duì)一道拋物線綜合題進(jìn)行了分步突破，分別求解函數(shù)的解析式，探討三角形相似關(guān)系，分析點(diǎn)的對(duì)稱.從本質(zhì)上看，考題為函數(shù)與幾何綜合題，掌握函數(shù)背景中幾何圖形的探究方法是解題的關(guān)鍵.下面對(duì)問題解法進(jìn)行深入探究.

3.1 函數(shù)背景下的三角形相似

上述考題第(2)問探究三角形的相似問題，有兩大特點(diǎn)：一是沒有設(shè)定對(duì)應(yīng)關(guān)系，二是兩三角形含有特殊對(duì)應(yīng)角(45°角).故需要討論三角形的相似對(duì)應(yīng)，且只需求兩種情形.通常對(duì)于函數(shù)背景下的三角形相似問題，可以采用如下策略，分三步論證.

第一步，假設(shè)結(jié)論成立，分情形討論.

對(duì)于沒有明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的相似三角形問題，可先設(shè)定分類標(biāo)準(zhǔn)，再分析所涉三角形是否含有特殊對(duì)應(yīng)角.若有，則提取對(duì)應(yīng)角，再分類；若沒有，則分別討論三種對(duì)應(yīng)情形.

第二步，設(shè)未知，求線段或邊長(zhǎng).

對(duì)于三角形相似問題，可從角度和邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)視角突破，但在函數(shù)背景下，采用邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例更容易構(gòu)建等式.解析時(shí)，可設(shè)定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，推導(dǎo)相關(guān)線段或邊長(zhǎng).

第三步，建方程，精計(jì)算.

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)關(guān)系列比例式，將比例式中的線段用含點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)的線段替換，進(jìn)而構(gòu)建含有坐標(biāo)參數(shù)的方程，通過解方程精準(zhǔn)求解.

基于上述解題策略，下面對(duì)例1進(jìn)行進(jìn)一步探究.

圖4

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)D，連接OA，使以點(diǎn)A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，試求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)因?yàn)椤鰽OC為直角三角形，故以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形也必須為直角三角形.故點(diǎn)C始終對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，只有△OCA∽△ADP和△OCA∽△PDA兩種情形.同時(shí)需要分點(diǎn)P位于直線AD上方和下方兩種情形.

①若點(diǎn)P在直線AD上方，則

當(dāng)點(diǎn)P(0,0)時(shí)，也滿足△OCA∽△PDA.

3.2 函數(shù)背景下的點(diǎn)對(duì)稱

上述考題的第(3)問求兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)其中一點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于函數(shù)背景下的點(diǎn)對(duì)稱求坐標(biāo)的問題，相對(duì)于常規(guī)的幾何問題，函數(shù)背景為問題賦予了“數(shù)”的特性.通常可將問題分為三種情形：一是關(guān)于坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱；二是關(guān)于特殊直線對(duì)稱，如y=x；三是關(guān)于一般直線對(duì)稱.前兩種情形，對(duì)稱關(guān)系有著鮮明的坐標(biāo)規(guī)律，在數(shù)值和符號(hào)兩方面均有體現(xiàn).而對(duì)于情形三，則可以采用下面三大策略來解.

3.2.1 中點(diǎn)坐標(biāo)公式

圖5

連接兩對(duì)稱點(diǎn)，則兩點(diǎn)所在直線與對(duì)稱軸所在的直線為垂直關(guān)系，且兩直線的交點(diǎn)為兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)，三點(diǎn)坐標(biāo)滿足中點(diǎn)坐標(biāo)公式.以圖5為例，點(diǎn)C和D關(guān)于直線l2對(duì)稱，且位于直線l1上，則直線l1和l2的斜率之積為-1，B為線段CD的中點(diǎn)，則xD+xC=2xB，yD+yC=2yB.

3.2.2 點(diǎn)到直線的距離公式

根據(jù)對(duì)稱性可知，兩對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等.故對(duì)于已知曲線或直線上點(diǎn)的對(duì)稱問題，可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建方程求解.以圖5為例，若點(diǎn)D滿足方程y=kx+b，且已知點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線l2的方程，則可設(shè)點(diǎn)D(x，kx+b)，先求出點(diǎn)C到直線l2的距離，再利用距離公式構(gòu)建點(diǎn)D到直線l2的距離方程，進(jìn)而求解.

3.2.3 構(gòu)建全等模型

兩點(diǎn)關(guān)于某一固定直線對(duì)稱，則可依托直線上固定兩點(diǎn)構(gòu)建全等三角形，后續(xù)通過求線段長(zhǎng)求解.另外，也可通過幾何推導(dǎo)求線段長(zhǎng)確定所求點(diǎn)的坐標(biāo).

上述考題第(3)問在求解時(shí)就采用了該方法，下面結(jié)合一道例題進(jìn)一步強(qiáng)化鞏固.

圖6

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)A′是否位于該拋物線上.

圖7

4 寫在最后

上述對(duì)一道函數(shù)與幾何綜合題開展分步突破，并探究問題的解法，其中三角形相似與點(diǎn)的對(duì)稱屬于典型問題，問題的“數(shù)”“形”屬性十分突出.數(shù)形結(jié)合分析，幾何視角切入，運(yùn)算推理定位，是破題的有效策略.教學(xué)中，建議引導(dǎo)學(xué)生把握?qǐng)D象的特征，提取特殊圖形，結(jié)合特性推理，充分拓展學(xué)生的解題思維.