“一元二次方程”教學(xué)設(shè)計及反思

祁榮圣

一、教學(xué)內(nèi)容

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第一章“一元二次方程”。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.會根據(jù)簡單的實際問題列出方程，能歸納一元二次方程的概念及一般形式。

2.通過類比，感知一元二次方程的基本內(nèi)容；初步感知將一元二次方程的求解轉(zhuǎn)化為一元一次方程解決。

3.通過探索實際問題中的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進(jìn)一步感受方程、函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。

三、教學(xué)重點

經(jīng)歷根據(jù)實際問題建立一元二次方程的過程，感知研究一元二次方程的基本思路和方法。

四、教學(xué)難點

發(fā)展符號意識、方程意識，培養(yǎng)提出問題的能力，滲透轉(zhuǎn)化、類比等基本的思想方法。

五、教學(xué)方法與手段

教學(xué)方法：問題引領(lǐng)、類比發(fā)現(xiàn)；教學(xué)手段：框圖板書、PPT投影。

六、教學(xué)過程

1.課前展示PPT。

PPT的內(nèi)容：在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比?！绽?/p>

2.版塊一：從實際問題到方程，歸納一元二次方程的定義。

（1）從實際問題到方程。

問題情景1：已知，正方形桌面的面積是2cm2。你能提出與正方形面積有關(guān)的數(shù)學(xué)問題嗎？正方形的邊長與面積之間有何數(shù)量關(guān)系？我們可以用什么樣的數(shù)學(xué)式子來描述它們之間的關(guān)系？

設(shè)計說明：根據(jù)題干提出問題，讓學(xué)生經(jīng)歷運用方程表示等量關(guān)系的過程，初步感受方程的作用，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力。

問題情境2：①矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長度是19m，花圃的面積是24m2。你能提出什么數(shù)學(xué)問題？（教師直接點名回答，注意分清兩種設(shè)法。）

②某校圖書館的藏書在兩年內(nèi)從5萬冊增加到9.8萬冊。假設(shè)這兩年圖書館的藏書平均年增長率為x。怎么理解平均年增長率x？怎樣列出關(guān)于x的方程？（小組交流討論年增長率的含義。）

③長5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離比梯子的頂端與地面的距離多1m。設(shè)梯子的底端與墻的距離是xm，怎樣用方程來描述其中的數(shù)量關(guān)系？依據(jù)是什么？（學(xué)生板演。）

設(shè)計說明：依據(jù)問題難度，教師采用不同形式組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次方程與之前所學(xué)的方程的區(qū)別，找出等量關(guān)系并運用方程解決實際問題，從而感知方程是解決實際問題的有效模型。

（2）歸納一元二次方程的定義。

問題1：你能給它們命名嗎？為什么？（教師列舉一些分式方程的反例，即容易誤認(rèn)為是整式方程的分式方程，突出學(xué)生的易錯點。）

問題2：回憶之前認(rèn)識的方程，一元二次方程應(yīng)該如何歸類？

問題3：類比數(shù)的分類、式的分類，方程如何分類？

問題4：回顧一元一次方程定義（一般形式），用語言歸納一元二次方程定義。

問題5：類比學(xué)習(xí)一元一次方程的過程，你覺得我們應(yīng)該怎樣研究一元二次方程？

設(shè)計說明：小組交流一元二次方程的特點，類比一元一次方程的定義，嘗試歸納一元二次方程的定義；類比一元一次方程的知識流程圖，構(gòu)建一元二次方程章節(jié)的流程圖，解決“學(xué)什么”的問題，整體感知章節(jié)內(nèi)容，建構(gòu)知識體系。

3.板塊二：歸納一元二次方程的一般形式，了解相關(guān)概念。

問題6：可以類似地用更一般的式子表示一元二次方程嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程，用字母表示數(shù)，從特殊到一般進(jìn)行思考。）

師生共同歸納一元二次方程一般形式：任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以化成 ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的一般形式。（教師引導(dǎo)學(xué)生注意辨析二次項、一次項、常數(shù)項、二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。）

問題7：a ≠0可以省略嗎？常數(shù)b、c有限制要求嗎？

問題8：板演練習(xí)，寫出板塊一的4個方程中的a、b、c。

設(shè)計說明：讓學(xué)生類比ax+b=0 （a、b是常數(shù)， a≠0）的一般形式，自主探究一元二次方程的一般形式；在ax2+b=0（a、b是常數(shù)，a≠0）處滲透反例，延伸一元二次方程一般形式的發(fā)展過程，讓學(xué)生在類比學(xué)習(xí)的過程中，感悟類比時既要注意相關(guān)事物的相同之處，又要在不同之處辨析，從而訓(xùn)練學(xué)生的思維。

4.板塊三：初步了解方程的解，感知如何解一元二次方程。

PPT投影：你會解一元二次方程嗎？①x2=2；②x2+4x=0。

問題9：方程①如何解？依據(jù)是什么？如何驗證方程的解？

問題10：你能解方程②嗎？

（教師注意預(yù)設(shè)情形：學(xué)生可能會看出一個解是0，或者嘗試用完全平方公式轉(zhuǎn)化，或者借助分式章節(jié)的ab=0的討論聯(lián)想因式分解。）

問題11：正方形桌面的面積是2m2，如何求它的邊長？

設(shè)計說明：（1）讓學(xué)生經(jīng)歷求解簡單一元二次方程的過程，感知一元二次方程解的定義，體會借助已有知識儲備如開方、平方等，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知一元一次方程的思想；（2）嚴(yán)格控制解方程的難度，不關(guān)注學(xué)生是否能掌握解法，重點讓學(xué)生在“走馬觀花”解方程的過程中體驗方程的解的內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)趣，留下懸念，完善對實際問題的解決。

問題12：歸納利用方程解決實際問題的思路。

設(shè)計說明：借助問題9、11，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，整體關(guān)聯(lián)教學(xué)，初步形成解決問題的基本思路。

5.板塊四：運用方程解決實際問題。

問題情景：一塊石頭從45m高的絕壁上落下，若時間x（s）分別取0，1，2，2.5 …可以發(fā)現(xiàn)石頭離海面高度h（m）對應(yīng)值為45，40，25，13.75 …

問題13：石頭下落的過程中，h和x之間是何種關(guān)系？（教師引導(dǎo)學(xué)生注意變量。）

問題解決：借助x和h的對應(yīng)值，溫故函數(shù)基本定義，得到石頭離海面高度h（m）和下落時間x（s）大致有關(guān)系h=-5x2+45。借助解析式，感知當(dāng) x確定，代入求函數(shù)值h的過程就是解一元二次方程。

問題14：石頭經(jīng)過多長時間落到海面？

問題15：可以換一種數(shù)學(xué)語言表述嗎？

（教師注意預(yù)設(shè)情形：實際就是令h=0，解一元二次方程0=-5x2+45。）

設(shè)計說明：呈現(xiàn)教材章頭圖中的一道實際問題，考慮學(xué)生的認(rèn)知能力，改變問題出現(xiàn)的順序，引導(dǎo)學(xué)生初步感知函數(shù)與方程的聯(lián)系與區(qū)別；扣住變量和未知常量，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程的區(qū)別與聯(lián)系，讓學(xué)生感知方程、函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)即“瞻前顧后思關(guān)聯(lián)”，架構(gòu)本章節(jié)所學(xué)內(nèi)容與未知的二次函數(shù)的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步設(shè)疑激趣。

6.板塊五：歸納總結(jié)。

問題16：分享交流本節(jié)課令你印象最深的地方。

設(shè)計說明：讓學(xué)生歸納學(xué)會的知識，梳理“會學(xué)”的方法。

7.板塊六：作業(yè)布置。

必做題：教材第8頁習(xí)題1；選做題：借鑒八年級上冊“一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式”的探究經(jīng)驗，嘗試類比解決下列問題：已知函數(shù)y=x2-6x+9，求該函數(shù)圖像與x軸交點坐標(biāo)。

設(shè)計說明：通過采用必做題、選做題的形式，分層布置作業(yè)，檢查學(xué)生學(xué)習(xí)效果的同時，使各個層次的學(xué)生得到發(fā)展。

七、教后反思

本節(jié)課采用單元教學(xué)課型，借助章頭圖設(shè)計整體關(guān)聯(lián)教學(xué)。本節(jié)內(nèi)容不僅是教材的第一課時，而且是全章內(nèi)容的整體建構(gòu)，重在引導(dǎo)學(xué)生為什么要學(xué)、將要學(xué)什么、如何學(xué)。筆者從以下3點入手，設(shè)計了本節(jié)課的教學(xué)。

1.體會學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性。列舉生活實例，讓學(xué)生充分感悟到方程是解決實際問題的一種常見數(shù)學(xué)模型；類比數(shù)、式的分類，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)一元二次方程是對方程學(xué)習(xí)的一次擴(kuò)充以及生產(chǎn)、生活的需要，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)一元二次方程的積極性。

2.類比了解一元二次方程的基本內(nèi)容。本節(jié)課的設(shè)計立足于“先行組織者”，要讓學(xué)生了解本章知識的基本框架與結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。教學(xué)中用實際問題進(jìn)行引領(lǐng)，類比一元一次方程，用“走馬觀花”的方式讓學(xué)生對一元二次方程的內(nèi)容有一個整體認(rèn)識，力爭使學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中能“見木見林”，為學(xué)習(xí)新知識做好準(zhǔn)備的同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并有效降低學(xué)習(xí)的難度。

3.歸納梳理一元二次方程解決實際問題的基本思路。讓學(xué)生通過類比一元二次方程，了解一元二次方程學(xué)習(xí)內(nèi)容：定義→解法→應(yīng)用（解決實際問題），再回歸到課前的實際問題中，歸納梳理用一元二次方程解決實際問題的思路。

（作者單位：江蘇省揚州市江都區(qū)浦頭中學(xué)）