以“尺規(guī)作圖”深化數(shù)學(xué)理解
——“三角形的三邊關(guān)系”的教學(xué)實踐與思考

浙江杭州二中白馬湖學(xué)校（310053） 倪森鶴

一、課前思考

1.教材分析

人教版教材將“三角形的三邊關(guān)系”編排在四年級下冊的第五單元。對于“三角形的三邊關(guān)系”這一課程，理解其規(guī)律是一個難點，學(xué)生通常難以通過實際操作來領(lǐng)悟，因此會產(chǎn)生如“兩邊之和等于第三邊時，為什么不能構(gòu)成三角形”等疑惑。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在小學(xué)數(shù)學(xué)的“圖形與幾何”領(lǐng)域新增了“尺規(guī)作圖”板塊。盡管人教版教材將使用圓規(guī)的學(xué)習(xí)編排在六年級，但在四年級的教學(xué)中，教師也要充分發(fā)揮尺規(guī)的優(yōu)勢，利用“尺規(guī)作圖”來驗證構(gòu)成三角形的條件。學(xué)生在作圖時要經(jīng)歷猜測、嘗試、分析、思考、驗證等一系列過程，充分發(fā)揮直觀想象力和推理能力，以此更好地理解哪些三邊關(guān)系能夠構(gòu)成三角形，感受“尺規(guī)作圖”的趣味和魅力。

2.教學(xué)定位

根據(jù)前述思考，可以得出結(jié)論：在“圖形與幾何”領(lǐng)域中，三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)在于三角形邊的特性。因此，在教學(xué)這一課時，教師應(yīng)巧妙運(yùn)用“尺規(guī)作圖”，充分利用圓規(guī)的特點來引導(dǎo)學(xué)生深入研究三角形的三邊關(guān)系，使學(xué)生能夠體驗到構(gòu)成三角形的核心條件是“兩條短邊之和必須大于第三邊”，從而真正理解并掌握有關(guān)三角形的概念。通過學(xué)習(xí)這一內(nèi)容，學(xué)生能夠從邊的關(guān)系維度更深入地探索三角形的本質(zhì)，進(jìn)而形成更全面的認(rèn)知。同時，通過探索和應(yīng)用三角形的性質(zhì)，促使學(xué)生形成解決問題的能力。

二、教學(xué)過程

1.游戲情境，引發(fā)問題

師：今天我們將一起學(xué)習(xí)“三角形的三邊關(guān)系”。一個三角形是由三條邊圍成的?，F(xiàn)在，請兩位同學(xué)用黑板上的這些邊圍一個三角形。

（男生成功圍成了一個三角形，如圖1-1；女生沒有圍成，如圖1-2）

圖1-1

圖1-2

師：女生的算圍成了嗎？

生1：沒有，因為三條邊沒有首尾相接。

師：為什么圍不成？

生2（邊指邊說）：這兩根小棒太短了，第三根小棒太長了，所以沒能圍成三角形。

師：同樣是三根小棒，一位同學(xué)圍得成三角形，一位同學(xué)圍不成三角形，你有什么想法或者疑問嗎？

生3：為何男生的三根小棒圍得成？

生4：為何女生的三根小棒圍不成？

生5：到底怎樣的三根小棒才能圍得成？

生6：到底怎樣的三根小棒才會圍不成？

生7：對能圍成三角形的三根小棒有什么要求？

【思考：問題能夠驅(qū)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)，特別是在學(xué)習(xí)的初始階段。這種三角形構(gòu)建比賽的活動情境，可以激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心，引導(dǎo)他們主動思考和探究問題。學(xué)生在實際操作和交流中親身體驗到并理解了不是所有的三條線段都能構(gòu)成一個三角形。這種親身經(jīng)歷有助于激發(fā)學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的探索興趣，并讓他們開始思考：什么樣的三根小棒可以圍成（或圍不成）三角形？這樣的問題能引導(dǎo)學(xué)生主動思考和學(xué)習(xí)，提高他們的學(xué)習(xí)動力和主動性，有助于他們更深入地理解這一概念，為進(jìn)一步的探究活動奠定了堅實的基礎(chǔ)?！?/p>

2.提出猜想，逐步驗證

（1）提出猜想

師：到底怎樣的三根小棒圍得成三角形，怎樣的三根小棒圍不成三角形，圍成三角形的三根小棒的關(guān)系到底是怎樣的？

猜想1：較短兩邊的和小于第三邊時，圍不成三角形。

猜想2：較短兩邊的和大于第三邊時，圍得成三角形。

猜想3：較短兩邊的和等于第三邊時，圍不成三角形。（也有學(xué)生說圍得成三角形）

猜想4：任意兩邊的和大于第三邊時，圍得成三角形。

……

（2）操作實驗

師：要想驗證猜想是否正確，可以怎么做呢？該如何來證明自己的想法？

生1：可以擺小棒證明。

生2：可以畫圖證明。

師：為方便研究，老師給大家準(zhǔn)備了一個學(xué)具袋，里面有3、5、6、10 厘米的小棒各一根，大家可以用小棒邊擺邊思考。

實驗要求：

圍一圍：任選三根小棒圍一圍，看能不能圍成三角形。

想一想：圍三角形的過程中有什么發(fā)現(xiàn)。

議一議：在小組內(nèi)交流自己的發(fā)現(xiàn)。

（3）交流辨析

反饋猜想1：較短兩邊的和小于第三邊時，圍不成三角形。

生1：我選擇3、5、10 厘米的小棒，圍不成三角形。因為3 厘米+5 厘米=8 厘米，另一條邊是10 厘米小棒，兩根小棒的和還比它短了2 厘米，當(dāng)然無法圍成三角形。

生2：我選擇3、6、10 厘米的小棒，也圍不成三角形。一條短邊是3 厘米的小棒，另一條短邊是6厘米的小棒，還有一條邊是10厘米的小棒，因為3+6=9，9＜10，所以圍不成三角形。

生3：我選擇用尺規(guī)畫圖。在一條10 厘米線段的兩端畫5 厘米線段與3 厘米線段的運(yùn)動軌跡，它們沒有交點；在一條10厘米線段的兩端畫6厘米線段與3 厘米線段的運(yùn)動軌跡，它們沒有交點（如圖2）。因此，我們小組認(rèn)為“較短兩邊的和小于第三邊時，圍不成三角形”。

反饋猜想2：較短兩邊的和大于第三邊時，圍得成三角形。

生1：我選擇3、5、6 厘米的小棒，因為3+5＞6，所以圍得成三角形。

生2：我選擇5、6、10 厘米的小棒，因為5+6＞10，所以圍得成三角形。

生3：我們用尺規(guī)畫圖時發(fā)現(xiàn)，較短兩邊的和大于第三邊時，圍得成三角形。因為在10 厘米線段的兩端同時畫5厘米線段與6厘米線段的運(yùn)動軌跡，會得到一個交點，所以就會圍得成三角形。（如圖3）

圖3

師：為何會有一個交點？

生3：因為5+6＞10，所以它們的運(yùn)動軌跡肯定有重疊的地方。

生4：按照尺規(guī)作圖，在10 厘米線段的下方也有一個交點，上下兩個交點都是固定的。這樣，線段的端點與得到的兩個交點分別圍成一個三角形。

師：用5 厘米、6 厘米、10 厘米三條線段畫出的三角形都一樣嗎？

生5：一樣，因為長度都確定好了。

師：那在杭州畫和在美國畫，得出的三角形大小一樣嗎？

生6：一樣，因為長度確定了，三個頂點的唯一交點就確定了。因此，不管誰畫，在哪里畫，三角形的大小都是一樣的。

師：通過剛才擺與畫的研究，你得出了什么結(jié)論？

生7：我發(fā)現(xiàn)三角形中兩條短邊之和小于第三邊時，圍不成三角形；兩條短邊之和大于第三邊時，可以圍成三角形。

生8：當(dāng)三條邊確定了長度，圍成的三角形大小就是唯一的，形狀也是一樣的。

【思考：學(xué)生在前一個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中很容易得出“兩條短邊之和大于第三邊就能構(gòu)成三角形”的結(jié)論，然而，這樣的結(jié)論僅是形式上的。因此，通過動手操作、邏輯推理，并借助尺規(guī)作圖，學(xué)生的理解就會逐漸深入——從圖形的運(yùn)動角度深刻理解構(gòu)成三角形的數(shù)學(xué)原理，直觀感受到不同幾何圖形之間的變化和聯(lián)系。這種教學(xué)方法讓學(xué)習(xí)過程變得生動有趣，有助于推動學(xué)生思維的發(fā)展，使他們能夠更清晰地理解數(shù)學(xué)概念。這個環(huán)節(jié)為后續(xù)教學(xué)難點的突破提供了堅實的基礎(chǔ)。】

反饋猜想3：較短兩邊的和等于第三邊時，能否圍成三角形。

生1：圍不成。因為較短兩邊的和大于第三邊時才圍得成三角形，所以較短兩邊的和等于第三邊時是圍不成的。如3 厘米+5 厘米=8 厘米，所以3、5、8厘米的小棒圍不成三角形。

生2：我覺得3、5、8厘米的小棒能首尾相接，圍得成三角形。

師：現(xiàn)在有兩種“聲音”，怎么辦？讓我們通過繪圖來一探究竟?，F(xiàn)在請閉上眼睛，用想象力在腦海中構(gòu)思“一條較長的邊和兩條較短的邊，這兩條短邊的長度之和正好等于那條長邊。在這種情況下，這三條邊是什么樣的呢？”（稍作停頓）請不要睜開眼睛，繼續(xù)思考“假設(shè)這兩條短邊向上轉(zhuǎn)動，它們是否仍然能夠圍成一個三角形呢？”（再次稍作停頓）現(xiàn)在可以睜開眼睛了。請用清晰易懂的方式，將你在腦海中構(gòu)想的情景畫在紙上，以便讓其他人一看就明白這三條邊是能夠圍成三角形還是不能圍成三角形。

生3（出示圖4）：兩根小棒同時往上轉(zhuǎn)動，一動就分開，越往上分得越開，不可能圍成三角形。

圖4

生4（出示圖5）：兩條短邊和長邊重疊在一起時，正好有一個交點，要是兩條短邊往下轉(zhuǎn)動，它們就會分得越來越開。

圖5

生5（出示圖6）：兩條虛線就是兩條短邊運(yùn)動的路線，這幅圖說明它們往上轉(zhuǎn)動后就沒辦法再相交，圍不成三角形。

生6：我在一條長度為8 厘米的線段的兩端同時繪制了3 厘米和5 厘米的線段。我觀察到，只有當(dāng)這三條線段完全重疊時，3 厘米和5 厘米的線段才會出現(xiàn)交點。然而，如果將它們向上或向下轉(zhuǎn)動，它們根本無法相交。因此，這個觀察結(jié)果進(jìn)一步驗證了“兩條短邊之和等于第三邊時，不能構(gòu)成三角形”的原理。

師：分析三邊關(guān)系，較短兩邊之和小于第三邊時，圍不成三角形；較短兩邊之和等于第三邊時，也圍不成三角形；只有較短兩邊之和大于第三邊時，才圍得成三角形。

【思考：教師面對這個知識點時，往往會采取讓學(xué)生通過操作的辦法來得出結(jié)論，但操作時總有學(xué)生能“圍出”三角形。如何克服這一教學(xué)難點呢？一種方法是鼓勵學(xué)生基于之前的經(jīng)驗進(jìn)行想象。學(xué)生想象時，教師可以將非數(shù)學(xué)的干擾因素自然地排除（例如，小棒的粗細(xì)或精確度等），讓學(xué)生個性化的思維得以展現(xiàn)，這包括不同的思考方式和表達(dá)方式。同時，學(xué)生的思維在這個過程中會互相碰撞、吸納，最終形成一種共識。這種方法的好處在于，它能夠自然而然地突破難點，同時也促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。通過思維的碰撞和吸納，學(xué)生可以更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念，而不僅僅是機(jī)械地完成操作。這樣的教學(xué)方法在促進(jìn)思維發(fā)展方面有著顯著的潛力，能讓學(xué)習(xí)變得更具深度和活力?！?/p>

（4）質(zhì)疑思辨

師：我們通過探究得出了“三角形較短兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論，大家都做得非常出色！但是，我在查看教材時發(fā)現(xiàn)教材上的結(jié)論與我們的探究結(jié)果不太一樣。（出示課堂探究結(jié)論與教材結(jié)論對比圖，如圖7）請大家小聲讀一下教材上的這句話。你們能理解教材上的這個結(jié)論嗎？現(xiàn)在，請將教材上的結(jié)論與我們探究得出的結(jié)論進(jìn)行對比，有什么新的疑問或思考嗎？

圖7

生1：教材上為何寫的是“三角形任意兩邊的和大于第三邊”？

生2：這里的“任意”是什么意思？

生3：是“三角形較短兩邊的和大于第三邊”的說法好，還是教材上的說法好？

……

師：“任意”到底是什么意思？

生4：在這個三角形中，3+5＞6，且3+6＞5，5+6＞3。

師：到底哪一種說法更好呢？請小組討論。

生5：我們小組認(rèn)為，第一種說法，也就是“三角形較短兩邊的和大于第三邊”比較好。因為3+5＞6，那么3+6一定大于5，5+6也一定大于3。

生6：我們認(rèn)為教材上的說法比較好，因為比較全面地反映了三種關(guān)系。

生7：我們小組認(rèn)為“三角形較短兩邊的和大于第三邊”的說法比較好，因為這樣可以更快地判斷能否圍得成三角形。

生8：我們小組也認(rèn)為教材上的“任意”比較好，因為這個說法除了全面，還比較嚴(yán)謹(jǐn)。如果是等邊三角形，或者等腰三角形，就沒有“較短兩邊的和”的說法，所以用“任意”會更加完善和嚴(yán)謹(jǐn)。

師：“公說公有理，婆說婆有理”，在快速判斷不等邊關(guān)系是否能夠構(gòu)成三角形時，確實可以使用我們剛才探究出的“較短兩邊的和”來做決策。然而，要更加準(zhǔn)確和全面地表達(dá)三邊關(guān)系，教材上的表述會更嚴(yán)謹(jǐn)。具體來說，“三角形的三邊關(guān)系”可以表述為“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，這正是我們今天學(xué)習(xí)的核心概念。這種表達(dá)方式更加全面，能夠更好地涵蓋各種情況，確保了對三邊關(guān)系的準(zhǔn)確理解。

【思考：教材上的結(jié)論與學(xué)生的探究結(jié)果不太一樣，這個“不太一樣”給了學(xué)生一個強(qiáng)烈的刺激，讓學(xué)生關(guān)注到了“任意”這個詞。隨后的辨析和比較過程有助于學(xué)生更好地理解概念的同時，也激發(fā)了他們深入思考不同表述的差異。這樣的課堂情景圍繞學(xué)生的疑問展開，推動學(xué)生深入學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對知識有更深刻的理解。這種積極的學(xué)習(xí)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和解決問題的能力。】

（5）推理應(yīng)用

師（出示圖8）：小白想去海洋動物表演館，應(yīng)該怎么走？

圖8

生1：小白可以直接走路線BA，也可以先走路線BC到小馬家，再走路線CA。

師：如果你是小白，你會怎么走？為什么？

生2：走路線BA，因為兩點之間的所有連線中，線段最短。

生3：走路線BA，因為三角形任意兩邊的和大于第三邊。

師：如果用a、b、c來表示三條線段，可以得出怎樣的結(jié)論？

生4：a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a。

3.利用內(nèi)化，解決問題

出示練習(xí)：圖9 中的每組小棒都能圍成三角形嗎？（單位：厘米）

圖9

出示變式練習(xí)：

師：如圖10，在這組小棒里，如果把2厘米的小棒換掉，那么需要一根幾厘米的小棒，它們才能圍成三角形呢？

圖10

生1：5厘米的小棒，2+5＞6。

生2：6厘米的小棒，2+6＞6。

生3：7厘米的小棒，2+7＞7。

生4：只要是大于4 厘米、小于8 厘米的小棒都可以，有無數(shù)種答案。

師：大家表現(xiàn)得真棒。最后送大家一句話，想象比知識更重要，因為知識是有限的，而想象卻能概括世界上的一切。

三、課后啟示

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。在“三角形的三邊關(guān)系”這節(jié)課中，教師借助“尺規(guī)作圖”促使學(xué)生深刻理解概念，真正實現(xiàn)了核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)。

1.在材料對比中發(fā)現(xiàn)問題

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“課程理念”中強(qiáng)調(diào)，“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程”。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，善于在學(xué)生的困惑中提煉問題、設(shè)計問題。同時，在核心問題的指引下，教師要進(jìn)一步設(shè)計密切相關(guān)、前后呼應(yīng)的問題鏈，依靠問題驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生在活動中學(xué)會分析問題，進(jìn)而解決問題。在課堂引入環(huán)節(jié)，通過游戲操作情境和材料的對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題，而“怎樣的三根小棒圍得成三角形？”“怎樣的三根小棒圍不成三角形？”這一系列問題激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，并以此為核心問題驅(qū)動了整個課程的探究。在新的課程學(xué)習(xí)中，不論是在操作中觀察、在探究中思考、在“尺規(guī)作圖”中研究，還是在驗證中推理，學(xué)生始終圍繞著引入環(huán)節(jié)的幾個問題進(jìn)行思考。學(xué)生探究出“三角形較短兩邊的和大于第三邊”時，又發(fā)現(xiàn)其與教材上定義的“三角形任意兩邊的和大于第三邊”不一致，從而進(jìn)行了深刻的思辨，明確了“任意”的全面性和嚴(yán)謹(jǐn)性。整個教學(xué)過程中，學(xué)生在分析問題時經(jīng)歷了由淺入深、由表及里、從具體到抽象、從特殊到一般的思維過程。

2.在“尺規(guī)作圖”中理解本質(zhì)

在探究“三角形的三邊關(guān)系”時，首先，通過使用小棒進(jìn)行操作，學(xué)生初步感知能否圍成三角形與三角形三條邊的長度相關(guān)；接著，通過觀察和討論，學(xué)生開始思考“到底怎樣的三根小棒才能圍成三角形”；最后，通過“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生進(jìn)一步探究了“作圖痕跡”以及思考“這條弧表示什么意思”，并通過操作、觀察、思考等方式真正認(rèn)識和理解了三角形的三邊關(guān)系。

在研究“較短兩邊的和等于第三邊能否圍成三角形”時，教師要求學(xué)生先通過想象和繪圖來說明不能圍成三角形的情況，再通過“尺規(guī)作圖”直觀可視地說明“這樣的三條線段不能圍成三角形”的原理。同時，引導(dǎo)學(xué)生使用直尺進(jìn)行測量并繪制圖形，使問題更加清晰明了。這一過程流暢自然，一氣呵成，凸顯了“尺規(guī)作圖”的價值，有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理能力。

3.在想象操作中發(fā)展思維

在“圖形與幾何”的教學(xué)中，教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生的觀察和操作能力，還要初步培養(yǎng)他們的空間想象力。在探究“較短兩邊的和等于第三邊能否圍成三角形”時，教師沒有讓學(xué)生通過動手?jǐn)[放小棒來研究，而是要求學(xué)生閉上眼睛想象，最后再通過“尺規(guī)作圖”來進(jìn)行可視化驗證。這個過程使學(xué)生逐步形成空間想象力，對空間觀念有了更深的理解。

總之，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)不僅在于讓學(xué)生理解三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)，更在于讓學(xué)生在游戲情境中發(fā)現(xiàn)問題，在操作和想象中探究問題，在“尺規(guī)作圖”中深入理解本質(zhì)。通過這樣的教學(xué)方法，學(xué)生獲得了豐富而廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，包括思考與表達(dá)、想象與推理、理解與應(yīng)用等多個方面。從這個意義上說，學(xué)生獲得知識的過程不應(yīng)僅僅是被告知的過程，還應(yīng)是他們自己發(fā)現(xiàn)、重新構(gòu)建甚至“發(fā)明”的過程。