多維體驗(yàn) 整體勾聯(lián) 智性思考

周敏

【摘要】平方千米對(duì)于五年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，抽象而難于直接感知，因此在實(shí)際教學(xué)中存在著不少問(wèn)題與教學(xué)困惑。在這樣的背景下，筆者帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)，緊扣教材，就地取材，開(kāi)發(fā)了具有鮮明地方特色的主題長(zhǎng)線實(shí)踐活動(dòng)，利用數(shù)學(xué)活動(dòng)生成的鮮活素材進(jìn)行課堂深度學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在面積單位概念的整體勾聯(lián)中建立觀念，發(fā)展思維，讓平方千米的認(rèn)識(shí)變得多維、厚重，充滿(mǎn)兒童的情趣和數(shù)學(xué)的理趣。

【關(guān)鍵詞】平方千米? 整體勾聯(lián)? ?多維體驗(yàn)? ? 智性思考

日常教學(xué)中，“平方千米”難教是老師們深有體會(huì)的，而翻閱各類(lèi)文獻(xiàn)，綜觀各種教研活動(dòng)，涉及“平方千米”的教學(xué)更是少之又少。

一、教學(xué)困惑

“公頃”和“平方千米”一般用于測(cè)量較大的土地面積，不同于之前學(xué)習(xí)的三個(gè)面積單位（平方米、平方分米和平方厘米），由于無(wú)法在課堂上直接感知，生活中也缺少相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)積累，學(xué)生很難建立起1公頃（1平方千米）實(shí)際大小的觀念。因此，教材在設(shè)計(jì)公頃的認(rèn)識(shí)時(shí)，編排了“28個(gè)同學(xué)在操場(chǎng)上手拉手圍一個(gè)100平方米的正方形”的實(shí)踐活動(dòng)，而對(duì)于“平方千米”的教學(xué)，則主要落實(shí)在“認(rèn)識(shí)1平方千米的實(shí)際含義，掌握平方千米與公頃、平方米之間的進(jìn)率”，而不把體會(huì)1平方千米的實(shí)際大小作為教學(xué)要求。

1.學(xué)生調(diào)研：

在這一單元教學(xué)完成之后，我們抽取兩個(gè)班（共98人）進(jìn)行了一次短平快的書(shū)面檢測(cè)。

（1）10平方千米= （? ? ?）公頃=（? ? ? ）平方米

（2）我國(guó)第三大島崇明島的面積大約是1040（? ? ?）。

平方米? ? ? ? ? ? ?公頃? ? ? ? ? ? 平方千米

（3）邊長(zhǎng)是1英寸（1英寸=2.54厘米）的正方形，它的面積是（? ? ? ）。

[ 正確人數(shù) 錯(cuò)誤率 典型問(wèn)題 第1題 65 33.67% 學(xué)過(guò)就忘了：混淆平方米、公頃、平方千米之間的進(jìn)率。 第2題 37 62.24% 61位學(xué)生選了“公頃”，因?yàn)楦杏X(jué)1040公頃已經(jīng)很大了，而1040平方千米大的無(wú)法想象，超出了他們已有的經(jīng)驗(yàn)積累。當(dāng)面積很大時(shí)，公頃和平方千米不能很好地進(jìn)行區(qū)分和選擇。 第3題 52 46.94% 不理解面積單位的含義，不能將“面積和對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系”進(jìn)行遷移和應(yīng)用。 ]

2.教師訪談：

教師1：我覺(jué)得這節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)都是一些規(guī)定，記牢就好了，沒(méi)有什么好探究的！

教師2：這節(jié)課內(nèi)容少，看似簡(jiǎn)單好教，但教學(xué)效果卻常常很差強(qiáng)人意。比如進(jìn)率的教學(xué)，明明講得很清楚了，但到用的時(shí)候，面積單位之間，面積單位和長(zhǎng)度單位的進(jìn)率關(guān)系就混淆厲害，真不知道問(wèn)題出在哪了？

教師3：如果是考試，這個(gè)內(nèi)容頂多一個(gè)填空或一個(gè)選擇題，所以并不是重要的知識(shí)點(diǎn)。不過(guò)，如果要上公開(kāi)課，還真不知道怎么上，也從來(lái)沒(méi)有聽(tīng)過(guò)，感覺(jué)挺難上的！

教師4：公頃的教學(xué)，因?yàn)橛幸恍┗顒?dòng)體驗(yàn)，孩子們對(duì)其實(shí)際大小的觀念還是自己的理解，能建立一些典型的參照進(jìn)行比較、推理和想象;但平方千米的教學(xué)，因?yàn)闆](méi)有相應(yīng)的活動(dòng)體驗(yàn)，學(xué)生學(xué)的枯燥，對(duì)知識(shí)缺少親近感，不能建立相關(guān)的參照系統(tǒng)進(jìn)行比對(duì)。因此，學(xué)生只知道大，但有多大呢，沒(méi)有概念。所以我覺(jué)得，這一課教得很空泛。是不是可以嘗試改變一下習(xí)以為常的教學(xué)方式？

……

二、分析與思考

從日常教學(xué)、學(xué)生調(diào)研和教師訪談來(lái)看，關(guān)于“平方千米”的教學(xué)，至少有以下幾個(gè)方面值得關(guān)注：

1.教學(xué)過(guò)程碎片化，重點(diǎn)狀輕整體勾聯(lián)，缺少靈動(dòng)

作為面積單位教學(xué)的最后一課，教師們更多地關(guān)注了這一節(jié)課，而缺少“把相關(guān)的幾節(jié)課”進(jìn)行整體審視的視角。因此，“平方千米”這一課的教學(xué)，既要注重延續(xù)和發(fā)展之前學(xué)習(xí)面積單位的經(jīng)驗(yàn)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu);又要讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)面積單位的新方法和途徑，獲得新的收獲。然而，日常教學(xué)中，在教學(xué)完“平方千米的含義和相關(guān)的進(jìn)率”之后，教師們就會(huì)將大量的新授時(shí)間花費(fèi)在完成練習(xí)，尤其是進(jìn)率的識(shí)記以及解決相關(guān)的面積計(jì)算和單位轉(zhuǎn)化上。碎片化的教學(xué)，使得教師只重視知識(shí)技能的目標(biāo)要求，學(xué)生學(xué)的被動(dòng)，缺少思考和感悟，教學(xué)也因此缺少了一份靈動(dòng)。

2.教學(xué)方式單一化，重識(shí)記輕活動(dòng)體驗(yàn)，缺少情趣

多媒體技術(shù)的發(fā)展，使得教師們更愿意采用圖片、課件演示等方式來(lái)替代學(xué)生的親身體驗(yàn)。那么，平方千米的教學(xué)有進(jìn)行活動(dòng)體驗(yàn)的必要嗎？

首先，讓我們回到教學(xué)中來(lái)分析一下。教材將公頃和平方千米分為兩個(gè)課時(shí)教學(xué)，但往往到接下來(lái)的練習(xí)課時(shí)時(shí)，學(xué)生才會(huì)突然間出現(xiàn)大量的錯(cuò)誤。究其原因，因?yàn)榍皟烧n時(shí)學(xué)生面對(duì)的練習(xí)都是本節(jié)課新學(xué)的，他們下意識(shí)地就會(huì)選擇剛學(xué)的單位;而練習(xí)課是綜合性的，需要學(xué)生比較、推算、估計(jì)和想象，于是學(xué)生就會(huì)因抽象、缺少生活經(jīng)驗(yàn)、進(jìn)率跨度大等困難而辨別不清了。我們的檢測(cè)題的第2題，也很好地說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題。

其次，同樣是大面積單位，公頃的大和平方千米的大有什么不同，如何幫助學(xué)生進(jìn)行溝通和區(qū)別？顯然，僅僅依靠死記硬背是不行了。只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷，體驗(yàn)活動(dòng)，在此過(guò)程中建立起自己熟悉的參照系統(tǒng)，讓抽象的概念得到實(shí)際直觀體驗(yàn)的支撐，學(xué)生的學(xué)習(xí)才會(huì)多一份情趣和智慧！

3.思想方法淺表化，重技巧輕思維參與，缺少厚重

教學(xué)中，我們常常會(huì)遇到這樣的尷尬：學(xué)生忘記了平方千米與公頃、平方米之間的進(jìn)率，但又不會(huì)回到知識(shí)的源頭，去重溫知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，去重新獲得結(jié)果?；蛘?，描述一個(gè)面積單位的大小，常常無(wú)從下手。知識(shí)從哪里來(lái)，到哪里去，教學(xué)要始終關(guān)注知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)方法。如此，學(xué)生在碰到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，才會(huì)主動(dòng)地運(yùn)用思想方法靈活解決問(wèn)題。

三、課堂重建

那么，“平方千米”一課又該如何教學(xué)，如何給教師們提供可供參考、學(xué)習(xí)的實(shí)施路徑呢？在本學(xué)期的卷入式校本教研中，我們進(jìn)行了如下的教學(xué)實(shí)踐：

（一）開(kāi)發(fā)長(zhǎng)線活動(dòng)課程，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行多維體驗(yàn)

1.長(zhǎng)線實(shí)踐活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)施：

以長(zhǎng)線浸潤(rùn)的方式開(kāi)展系列活動(dòng)體驗(yàn)，能有效延伸課堂教學(xué)的時(shí)空，整合各種學(xué)習(xí)資源，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)視野。

為期兩周的長(zhǎng)線體驗(yàn)活動(dòng)，我們不僅注重活動(dòng)形式的多樣性，如調(diào)查記錄、實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)、知識(shí)梳理、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)、自主探索等，也力求凸顯活動(dòng)體驗(yàn)的深刻性。通過(guò)已知和未知的勾聯(lián)，線上和線下的互補(bǔ)，課內(nèi)和課外的切換，家校的密切配合，為學(xué)生構(gòu)建起一個(gè)立體式的、生長(zhǎng)式的探究空間，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)定的內(nèi)在規(guī)律，知識(shí)之間的密切聯(lián)系，數(shù)學(xué)含義與直觀體驗(yàn)的呼應(yīng)等，把實(shí)踐、體驗(yàn)和思維三者有效地整合起來(lái)。

（二）進(jìn)行課堂教學(xué)研究，探索平方千米的教學(xué)密碼

【教學(xué)實(shí)踐】

1.著眼整體，在梳理溝通中理解1平方千米的數(shù)學(xué)含義

師：根據(jù)面積單位與它對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的關(guān)系（圖1），你知道比公頃更大一級(jí)的面積單位是什么？說(shuō)說(shuō)你的想法。

生1：表中相鄰邊長(zhǎng)的進(jìn)率是10，由此我可以推想出比公頃更大一級(jí)的面積單位對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)是1千米，邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)，那就是1平方千米。

生2：邊長(zhǎng)1千米，面積可以用“1000×1000=100 0000平方米”表示，所以平方千米與平方米之間的進(jìn)率是100 0000。

生3：平方千米和公頃之間的進(jìn)率是100，因?yàn)?平方千米=100 0000平方米，1公頃=10000平方米，100 0000÷10000=100。

生4：我還可以用圖（見(jiàn)圖2）來(lái)說(shuō)明。邊長(zhǎng)1千米，用邊長(zhǎng)100米的正方形去擺，一排正好10個(gè)，可以擺10排，也就是10×10=100，所有公頃和平方千米之間的進(jìn)率也是100，符合面積單位進(jìn)率是100的規(guī)律。

師：這張格子圖只能表示平方千米和公頃之間的進(jìn)率關(guān)系？

生：不是的，任何兩個(gè)相鄰面積單位之間的進(jìn)率都可以用這張圖表示……

這一板塊的教學(xué)，我們著力對(duì)接學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)梳理已有的面積單位，引導(dǎo)學(xué)生橫向觀察，找到邊長(zhǎng)與面積之間的命名規(guī)律;縱向觀察，發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)面積單位邊長(zhǎng)與面積的進(jìn)率規(guī)律;接著，利用規(guī)律推想出比公頃更大一級(jí)的面積單位是平方千米，并引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知，遷移定義方法，嘗試自己來(lái)解釋1平方千米，構(gòu)建平方千米與平方米、公頃之間的進(jìn)率關(guān)系;最后，利用幾何直觀，將相鄰面積單位的關(guān)系直觀化，模型化。通過(guò)以上三個(gè)層次的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察——推想——驗(yàn)證——模型化”的過(guò)程，知識(shí)從哪來(lái)，到哪去就清清楚楚了。

2.融合實(shí)踐活動(dòng)，借助直觀體驗(yàn)建立1平方千米的觀念

1平方千米究竟有多大呢？對(duì)于這個(gè)看不見(jiàn)摸不著的概念，我們想到了從前期的實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng)來(lái)尋求突破。

首先，利用學(xué)生手繪地圖再現(xiàn)1平方千米的區(qū)域，激活前期對(duì)1平方千米的直觀體驗(yàn);接著轉(zhuǎn)換視角，利用航拍俯視圖強(qiáng)烈的直觀沖擊力，強(qiáng)化1平方千米直觀感受;最后，通過(guò)衛(wèi)星地圖，找到1平方千米區(qū)域內(nèi)包含的住宅小區(qū)、房屋和居住人口的數(shù)據(jù)，來(lái)再一次體會(huì)平方千米的實(shí)際大小。

其次，利用前期實(shí)踐活動(dòng)中建立的參照，進(jìn)行比較、推算和想象，把抽象的概念具體化、量化和可感化。

以上兩個(gè)層次的教學(xué)，先立足于整體的、宏觀的感知;再利用學(xué)生熟悉的參照進(jìn)行比較、推算和想象。雖然教材并未有“體驗(yàn)1平方千米”的教學(xué)要求，但要突破抽象面積單位的“大小”，將“大”具體化、直觀化和層次化，需要學(xué)生有實(shí)實(shí)在在的直觀體驗(yàn)的支撐。因此，前期開(kāi)展的長(zhǎng)線實(shí)踐活動(dòng)不僅必要，而且值得鼓勵(lì)。在核心素養(yǎng)理念下，發(fā)揮師生的創(chuàng)造性，對(duì)教材做必要的補(bǔ)充和豐盈，是用課程超越課堂的具體體現(xiàn)。

3.綜合運(yùn)用，體會(huì)平方千米在生活中的應(yīng)用價(jià)值

（1）結(jié)合學(xué)生熟悉的家鄉(xiāng)本土素材，體會(huì)面積單位的適用性和選用合適單位表達(dá)信息的簡(jiǎn)潔性。

尚湖濕地公園，位于常熟城西，虞山之南，水域面積大約800 0000平方米，總占地面積大約2300 0000平方米。

800 0000平方米=8km2

2300 0000平方米=23km2

（2）交流課前查閱資料，了解學(xué)生所在省、市及國(guó)家的土地面積，發(fā)展用數(shù)學(xué)的眼光去觀察去思考的素養(yǎng);同時(shí)，利用不斷變化的參照，去比較和估算，感受平方千米應(yīng)用和價(jià)值。

（3）利用常熟第一條三環(huán)高速所圈出的核心生活休閑區(qū)域，用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，了解家鄉(xiāng)的建設(shè)成就，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

通過(guò)以上三個(gè)遞進(jìn)的練習(xí)應(yīng)用，我們充分發(fā)揮了本土素材的鮮活元素，讓學(xué)生在學(xué)以致用的過(guò)程中，拓展視野，增長(zhǎng)知識(shí)，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【教學(xué)反思】

1.整體勾聯(lián)，在知識(shí)體系中凸顯單位的個(gè)性特征

數(shù)學(xué)知識(shí)是整體的，也是有結(jié)構(gòu)的，面積單位也不例外。每個(gè)面積單位都有各自適用的“領(lǐng)地”，也有與其他單位乃至整個(gè)單位系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)。這種獨(dú)特性與融匯性，構(gòu)成了每個(gè)面積單位的屬性。平方千米的教學(xué)是面積單位教學(xué)的結(jié)束，一方面通過(guò)類(lèi)化與溝通，從不同處抓類(lèi)化，從相同處抓溝通，讓原本孤立的面積單位“拉幫結(jié)派”，展現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)樣態(tài)，有效擴(kuò)張學(xué)生的認(rèn)知視界;另一方面，由此及彼、由表及里的建構(gòu)過(guò)程，反過(guò)來(lái)又促進(jìn)了學(xué)生對(duì)平方千米的認(rèn)識(shí)，凸顯出平方千米的屬性特征，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感知更加清晰、豐富、飽滿(mǎn)。

2.調(diào)整思路，開(kāi)發(fā)長(zhǎng)線實(shí)踐活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生的多維體驗(yàn)

“平方千米”是比“公頃”更大的面積單位，在頭腦中建立“1平方千米”的概念實(shí)屬不易。為了幫助學(xué)生建立這樣的概念，必須要給學(xué)生尋找可供想象的“參照物”，以“實(shí)”才能構(gòu)建“實(shí)”。開(kāi)發(fā)長(zhǎng)線活動(dòng)課程，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)、創(chuàng)新和實(shí)踐的機(jī)會(huì)，變教材的“一”為學(xué)材的“多”，變教材的“遠(yuǎn)”為學(xué)材的“近”，變教材的“靜”為學(xué)材的“動(dòng)”，變教材的“他”為學(xué)材的“我”。多維體驗(yàn)，為概念的深度理解，提供了更為鮮活、厚實(shí)的學(xué)習(xí)背景。

3.智性思考，凸顯本質(zhì)，讓學(xué)習(xí)由知識(shí)走向智慧

鄭毓信教授認(rèn)為：“從數(shù)學(xué)教學(xué)或數(shù)學(xué)教育過(guò)程來(lái)看，應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維?！彼季S的根基越是牢固強(qiáng)大，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就越有“生長(zhǎng)”的力量。對(duì)于面積單位的認(rèn)識(shí)，我們認(rèn)為，以下三點(diǎn)需要引起注意：其一，不能僅僅停留于形成表象，還要能夠理解每一個(gè)面積單位的核心意義，即：邊長(zhǎng)是單位長(zhǎng)度的正方形。面積單位的命名方式里面蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)運(yùn)算，學(xué)生只有理解了面積單位名稱(chēng)里面蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)運(yùn)算，才能夠形成對(duì)面積單位的抽象理解。其二，學(xué)生對(duì)面積單位的進(jìn)率不能僅僅靠記憶，而應(yīng)該基于理解去把握得到相關(guān)進(jìn)率的過(guò)程，并最終創(chuàng)造出表達(dá)進(jìn)率的模型;其三，計(jì)量單位教學(xué)的目標(biāo)要關(guān)注思維的發(fā)展。隨著人們對(duì)客觀世界認(rèn)識(shí)的不斷深入和生產(chǎn)生活的需要，有些更大或更小的單位是無(wú)法通過(guò)實(shí)踐來(lái)體驗(yàn)的，但人們可以通過(guò)思維去把握。從已知認(rèn)識(shí)未知，通過(guò)有限認(rèn)識(shí)來(lái)探索無(wú)限，這些思想方法必須通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)向?qū)W生滲透。唯有如此，兒童數(shù)學(xué)才能走出狹隘、封閉，走向深刻、理性。

對(duì)“認(rèn)識(shí)平方千米”一課的研究雖然暫且告一段落，但如何在核心素養(yǎng)引領(lǐng)下，突破單一的傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式，落實(shí)素養(yǎng)培養(yǎng)，還需要我們不斷努力和嘗試。

（作者地址：江蘇省常熟市世茂實(shí)驗(yàn)小學(xué)）