CDC—代數(shù)上中心化映射的刻畫(huà)

馬 飛，趙健堂，鄭 欣

設(shè)A是一個(gè)環(huán)或代數(shù)，若可加映射φ:A→A滿足 ?a,b∈A ，有 φ(ab)=φ(a)b(φ(ab)=aφ(b))，則稱(chēng) φ是一個(gè)左(右)中心化子。既是左中心化子又是右中心化子的映射稱(chēng)為中心化子；?a∈A,有φ(a)a-aφ(a)∈Z(A)(Z(A)為 A的中心)，則稱(chēng)φ是中心化映射;如果φ(a)a=aφ(a),則稱(chēng)映射φ可交換。

關(guān)于映射在哪些條件下是中心化子一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。如在文獻(xiàn)[1]中證明了半素環(huán)R上的映射φ既是左、右Jordan中心化子是中心化子；文獻(xiàn)[2]中研究了特征不為2的自由半素環(huán) R上的可加映射 φ若滿足 ?a∈R，有2φ(a2)=φ(a)a+aφ(a)，則 φ 是中心化子；文獻(xiàn) [3]中證明了特征不為2的素環(huán)上的可加映射φ,若滿足?a∈R,n≥2都有φ(an)=φ(a)an-1,那么φ是左中心化子；文獻(xiàn)[4-5]也研究了相關(guān)內(nèi)容，并最終得到了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上滿足φ(Am+n+1)-Amφ(A) An∈FI(其中m,n為正整數(shù))，則存在數(shù)域F中的常數(shù)λ,使得對(duì)任意的a∈A,有φ(a)=λa。我們?cè)谖墨I(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上中將齊霄霏的結(jié)果推廣到了任意的完全分配可交換子空間格代數(shù)上。

1預(yù)備知識(shí)

下面我們來(lái)介紹幾個(gè)與本文證明有關(guān)的引理：

引理2[10-11]設(shè)A lg L是Hilbert空間H上的不可約CDC-代數(shù)，則存在一個(gè)非平凡投影e∈L，使得e(A lg L) e⊥是忠實(shí)的A lg L-雙邊膜。即對(duì)于任意的 A∈A lg L，如 果 Ae(A lg L) e⊥={0} ，則 有Ae=0；如果e(A lg L) e⊥A={0} 成立，則有e⊥A=0。

從文獻(xiàn)[12]中可知，CDC-代數(shù)由其本身所包含的秩一算子弱*閉生成的；而文獻(xiàn)[10-11]分別探究了線性導(dǎo)子以及線性Lie導(dǎo)子、CDC-代數(shù)上的代數(shù)同構(gòu)。在CDC-代數(shù)A lg L中，設(shè)U(L)={e∈L：e≠0,e-≠H } ，若存在e1，e2，…，en∈U(L )，使得ei與ei+1可比，e0=e，en+1=e'(i=0，1，…，n )，那么就稱(chēng)U(L ) 中的e，e'是連通的。存在C?U(L)，如果C中的任意兩個(gè)元素都是連通的，并且C中的任意一個(gè)元素與U(L)C都不連通，那么就稱(chēng)C為U(L)的連通分支。令L是復(fù)可分的Hilbert空間H上的一個(gè)完全分配的交換子空間格。由于當(dāng)且僅當(dāng)A lg L的交換子是平凡的時(shí)候，A lg L是不可約的，即A lg L的一次換位是FI，也算子為I。

2主要定理及證明

下面我們先來(lái)研究比較簡(jiǎn)單的情形，即在不可約CDC-代數(shù)上的中心化映射的刻畫(huà)。因?yàn)椴豢杉sCDC-代數(shù)的中心是平凡的FI，因此我們有下面的結(jié)論。

定理1設(shè)Φ:A lg L→A lg L是復(fù)Hilbert空間H上的不可約CDC-代數(shù)，對(duì)于A,B∈A lg L，都有

證明：根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)與定義引理，我們分兩種情況討論。

本文主要研究完全分配可交換子空間格代數(shù)上的中心化映射。不失一般性，設(shè)所有的環(huán)和代數(shù)都是特征不為2的，并且記復(fù)Hilbert空間H中的恒等

可用A+I代替A得

即存在 λA+I，λA，λB∈F，使得

斷言1設(shè)Φ是滿足式(1)的可加映射，則存在λ∈F使得對(duì)任意的冪等元e∈A有Φ(e)=λe。

式(2)中，給 A，I取值為e，則存在 λe∈F，即

對(duì)式(5)兩邊分別乘以e，有

給上式兩邊同乘以e，可知λee=0。

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