混合地理加權(quán)回歸模型的理論及其應(yīng)用

趙 靜,蒲 越

(新疆財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830012)

在空間數(shù)據(jù)分析中，雖然普通的線性回歸模型作為一種最普通最常用的方法，可以用來分析自變量與應(yīng)變量之間的關(guān)系，但普通的線性回歸模型未能描述空間位置的特殊性——空間非平穩(wěn)性或空間異質(zhì)性，因而不能全面有效地反映出空間數(shù)據(jù)的真實屬性。[1]近年來，多名學(xué)者對混合地理加權(quán)回歸模型進(jìn)行了研究，混合地理加權(quán)回歸模型作為一種有效的探測空間數(shù)據(jù)分析法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在各個領(lǐng)域。例如，Pecci等研究15個歐盟國家的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)力，通過MCMC檢驗，以人口密度、GDP為全局變量，以失業(yè)率和林業(yè)面積為局部變量，通過MGWR基礎(chǔ)建立模型，得出區(qū)域農(nóng)業(yè)生產(chǎn)力的空間分異；[2]Helbich通過考察建筑和住宅對周圍環(huán)境的影響建立MGWR模型，對奧地利的房價進(jìn)行研究，認(rèn)為局部變量對房價的影響較大，房價會隨空間局部變量的變化而變化[3]；覃文忠等通過迭代算法，深入分析了混合地理加權(quán)回歸模型的參數(shù)，將模型的參數(shù)進(jìn)行了分類，并以上海市住宅小區(qū)樓盤銷售平均價格為例進(jìn)行驗證，最終得出混合地理加權(quán)回歸模型大于地理加權(quán)回歸模型，且擬合度更好，局部參數(shù)更穩(wěn)健。[4]本文主要通過兩步估計法對混合地理加權(quán)回歸模型的參數(shù)進(jìn)行有效的分類，得到混合地理加權(quán)回歸模型的常參數(shù)和變參數(shù)的表達(dá)式，選取國內(nèi)31個省(市、自治區(qū))的SO2排放量為例進(jìn)行研究分析。

一、混合地理加權(quán)回歸模型(MGWR)理論方法及估計

(一)混合地理加權(quán)回歸模型的理論

混合地理加權(quán)回歸模型是對地理加權(quán)回歸模型的進(jìn)一步擴(kuò)展。在混合地理加權(quán)回歸模型中，將部分因子在整體范圍中保持不變的量稱為全局變量，而另一部分因子會隨著空間地理的變化發(fā)生改變，稱為局部變量。模型表達(dá)式為

(1)

式中：i=1,2,…,n；βj(j=0,1,…,q)為未知常數(shù)，而βj(ui,vi)(j=q+1,q+2,…,p)為第i個觀測點(ui,vi)處的未知參數(shù)(ui,vi)的任意函數(shù)。

也可以寫成矩陣形式

(2)

其中：i=1,2,…,n；

滿足

地理加權(quán)回歸模型是對回歸模型中局部參數(shù)進(jìn)行研究，而混合地理加權(quán)回歸模型是針對回歸模型中參數(shù)進(jìn)行全局研究。因此，實際應(yīng)用中對于參數(shù)的估計問題，地理加權(quán)回歸模型參數(shù)估計并不適用于混合地理加權(quán)回歸模型中的參數(shù)估計。對于混合地理加權(quán)回歸模型的參數(shù)估計問題，通常選取兩步估計法和Back-Fitting估計法。[5]本文采用后一種估計方法。

(二)混合地理加權(quán)回歸模型的兩步估計法

混合地理加權(quán)回歸模型(MGWR)由兩部分構(gòu)成：常系數(shù)部分和變系數(shù)部分。若用地理加權(quán)回歸模型估計這兩個部分，將會產(chǎn)生兩個新的因變量的估計值Yc和Yg，[6]表達(dá)式為

Yc=Yc(Y-Yg)，

(3)

式中Yc和Yg分別為

假定βc=(β0,β1,…,βq)T是對常參數(shù)的估計值，將Yc=Xcβc代入，得出

從而得到

最終解出

(4)

可知因變量的估計值為

(5)

其中

(6)

由于式(6)為已知，通過地理加權(quán)回歸模型可計算變參數(shù)的部分，常參數(shù)部分通過用最小二乘法估計，分別獲取參數(shù)的估計值及因變量的擬合值?？蓪⒒旌系乩砑訖?quán)回歸模型寫為

(7)

式中：i=1,2,…,n。

矩陣形式表示

(8)

變參數(shù)在地理位置(ui,vi)的估計值為

(9)

將式(7)轉(zhuǎn)化為

得出

(10)

可得出常系數(shù)的估計值為

(11)

因而得出

(12)

其中

二、實證分析

(一)數(shù)據(jù)選取

選取國內(nèi)31個省(市、自治區(qū))，對經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和空氣環(huán)境指標(biāo)進(jìn)行分析，其中樣本選取的變量有：人均第一產(chǎn)業(yè)額SO2排放量、就業(yè)率、人口密度以及人均電力消費(fèi)。具體設(shè)計如表1所示，數(shù)據(jù)來源于《中國統(tǒng)計年鑒》和《中國環(huán)境統(tǒng)計年鑒》。

表1 模型指標(biāo)設(shè)計

(二)空間自相關(guān)分析

首先，在建立模型之前進(jìn)行自相關(guān)檢驗。空間自相關(guān)分析出空間異質(zhì)性和依賴性，通過Moran′sI指數(shù)反映出空間鄰近區(qū)域之間的相似程度，取值介于-1和1之間，大于零表示正相關(guān)，小于零表示負(fù)相關(guān)，等于零表示不存在空間相關(guān)性或各個要素之間差異性較小。計算式為

(13)

對于Moran′sI指數(shù)的計算結(jié)果，有漸進(jìn)分布和隨機(jī)分布兩種檢驗方法。對Moran′sI進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化通常采用標(biāo)準(zhǔn)化的Z統(tǒng)計量

(14)

通常統(tǒng)計量Z值服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，同時顯著性也由正態(tài)分布判斷。根據(jù)空間單元的數(shù)量和分布的特征可以計算標(biāo)準(zhǔn)化Moran′sI期望值

(15)

對2015年國內(nèi)31個省(市、自治區(qū))SO2排放量在空間上的自相關(guān)、空間依賴性及集聚性方面進(jìn)行檢驗，基于對距離的空間權(quán)重矩陣，利用全局Moran′sI指數(shù)計算SO2排放量的集聚情況，結(jié)果見表2。

表2 全局Moran′sI指數(shù)

國內(nèi)31個省(市、自治區(qū))SO2排放量的Moran′sI指數(shù)為0.338，Z值大于正態(tài)分布函，即在1%水平下的臨界值(1.96)，表明各省之間SO2的排放量在地理位置上具有一定的正自相關(guān)(即空間依賴性)，說明SO2在空間的分布并不是隨機(jī)的，而是呈現(xiàn)出一種較強(qiáng)的集聚現(xiàn)象。此外，均值和方差數(shù)值較小，表明結(jié)論可靠。

表3 Moran′sI值及P值

由表3可知，變量人口密度和人均第一產(chǎn)業(yè)額的P值均小于0.05，說明具有明顯的空間異質(zhì)性和空間集聚性，因而可作為局部變量；人均電力消費(fèi)和就業(yè)率的P值均大于0.05，但并不顯著，空間異質(zhì)和集聚性表現(xiàn)不夠明顯。

(三)混合地理加權(quán)回歸模型兩步估計法應(yīng)用分析

通過上述檢驗，可將混合地理加權(quán)回歸模型參數(shù)進(jìn)行分類，見表4。

表4 混合地理加權(quán)回歸模型參數(shù)分類

建立混合地理加權(quán)回歸模型，用兩步法估計出模型各個參數(shù)的P值及擬合值，計算式為

lnyi=β0+β1lnx1i+β2lnx2i+
α(u1i,v1i)lnZ1i+α(u2i,v2i)lnZ2i

(16)

表5 兩步法參數(shù)估計的檢驗P值

由表5可以看出，兩步法估計得到的參數(shù)P值均小于0.05，擬合優(yōu)度R2為94.2%，說明兩步法對混合地理加權(quán)回歸模型的估計更加精確，且擬合度很好。

通過GWR軟件進(jìn)一步有效描述出變量對SO2排放量的影響，對比圖見圖1。從圖1中可以看出，(b)與(a)基本吻合，只是有部分地區(qū)不一樣。新疆、黑龍江等地殘差較低，說明測量值與真實值較為接近；對于少部分地區(qū)，如天津、青海等地，原始的SO2排放量屬于輕度污染，而在回歸擬合圖中屬于中度污染，這與事實基本符合。說明兩步估計法能夠更好地驗證變量對SO2排放量的影響。[7-9]

圖1 SO2排放量對比圖

三、結(jié)論與建議

混合地理加權(quán)回歸模型中既有局部參數(shù)(變參數(shù))，也有全局參數(shù)(常參數(shù))，本文主要用兩步估計法分別對這兩部分進(jìn)行計算。為了能夠較好地應(yīng)用混合地理加權(quán)回歸模型參數(shù)估計問題，本文以國內(nèi)31個省(市、自治區(qū))為研究對象，通過對選取的變量進(jìn)行空間自相關(guān)的檢驗和驗證，將選取的變量進(jìn)行分類，有效地驗證了兩步法對模型的顯著性和擬合值。根據(jù)所選擇的變量，可以看出空氣污染主要是由于電力消費(fèi)和第一產(chǎn)業(yè)所引起的。為保護(hù)環(huán)境，在綠色種植的過程中，要增加防火意識，防止發(fā)生火災(zāi)，減少因火災(zāi)帶來大量的廢氣污染，同時，在使用電能過程中也需要提高防火意識。另外，要鼓勵發(fā)展高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)，通過不斷發(fā)展高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)，從而有效降低大氣污染，改善環(huán)境。

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