一種基于二分法的快速目標點跡模擬方法

丁 春，姚 遠，王 奇

(中國船舶重工集團公司第七二四研究所，南京 211153)

0 引 言

在雷達研制過程中，為了提高目標跟蹤的可靠性，驗證自動起始和目標跟蹤算法是不可或缺的環(huán)節(jié)。一般是通過仿真模擬目標的點跡，作為自動起始和目標跟蹤算法的輸入。傳統(tǒng)的機械掃描雷達對于非徑向運動的目標波束掃過目標的時刻不是一個常數(shù)。特別是在多雷達目標跟蹤[1-3]中，同一目標被不同雷達觀測到的時機幾乎是隨機的，對多雷達目標跟蹤帶來了新的挑戰(zhàn)。本文通過建立數(shù)學模型模擬雷達對目標觀測的物理過程[4]，利用計算機仿真技術(shù)，建立了一種快速目標點跡模擬方法。

1 模 型

設(shè)一機械掃描兩坐標雷達在環(huán)掃工作方式下以180°/s的轉(zhuǎn)速進行掃描。天線方位與時間t的關(guān)系為

A(t)=(A(0)+180t)%360

(1)

其中A(t)表示t時刻時的天線方位。

在t時刻，目標在水平面中的位置是(x(t),y(t))，目標方位B(t)與時間t的關(guān)系為

B(t)=natan2(x(t),y(t))

(2)

其中

2 算 法

令式(1)等于式(2)：

(A(0)+180t)%360=natan2(x(t),y(t))

(4)

求解此方程即可得出天線掃過目標的時刻。因為式(4)中包含三角函數(shù)，沒有一般意義上的解析解，但是可以通過數(shù)值計算的方法獲得數(shù)值解。

2.1 天線旋轉(zhuǎn)模擬

將時間離散化為tk，k=1,2,…，Δtk=t1-t0表示離散時間間隔，將式(1)離散化，可得

A(k+1)=(A(k)+180Δtk)%360

(5)

其中，k和k+1分別表示第k個和第k+1個離散時刻。

設(shè)定A(0)后，即可依次計算出各離散時刻天線的方位。

2.2 目標運動模擬

將式(2)離散化，可得

{B(tk)}，k=1,2,…

(6)

2.3 方程(4)求解

令

f(t)=A(t)-B(t)

(7)

將求解方程(4)的問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f(t)零點的問題。

對于在10 km外運動速度且小于1 000 m/s的目標，設(shè)Δtk均為50 ms，將式(7)離散化，每50 ms進行一次天線是否掃過目標的判斷。當雷達的3 dB波束寬度與50 ms內(nèi)目標方位的變化相當或更大時，可以將目標方位B(t)在50 ms內(nèi)近似為線性的，則式(7)在50 ms內(nèi)也是單調(diào)的，從而可以應(yīng)用二分法[5]計算式(7)零點的數(shù)值解。

記無窮小ε=10-2，當前50 ms時間區(qū)間的起點和終點分別為tp和tq。用二分法執(zhí)行以下步驟:

(1) 若|f(tp) |<ε，則在時刻tp天線掃過目標，A(tp)是對應(yīng)的方位；若|f(tq)|<ε，則在時刻tq天線掃過目標，A(tq)是對應(yīng)的方位。

(2) 否則：

(a) 若f(tp)和f(tq)的符號相同，則此50 ms內(nèi)天線不能掃過目標，終止此次判斷。

(b) 若f(tp)和f(tq)的符號不同：

(ⅱ) 如果|f(tv) |<ε，則在時刻tv天線掃過目標，A(tv)是對應(yīng)的方位，退出。

(ⅲ) 否則，若f(tv)與f(tp)的符號相同，則令tp=tv；若f(tv)與f(tq)的符號相同，則令tq=tv。

(ⅳ) 依次執(zhí)行步驟(ⅰ)～(ⅲ)，直至滿足步驟(ⅲ)的條件為止。

在步驟(ⅰ)～(ⅲ)中，每執(zhí)行一次迭代就在步驟(ⅲ)中將搜索的時間區(qū)間長度減小一半?？梢宰C明，在方程(4)有解時，按照以上步驟，一定可以經(jīng)過有限次的迭代滿足步驟(ⅱ)的條件，找到方程(4)的數(shù)值解。

實際使用時還可以使用以下兩個原則進一步減少計算量：①1個天線周期內(nèi)天線最多掃過目標1次，②只在上1個天線周期內(nèi)天線掃過目標的方位附近執(zhí)行以上步驟。

2.4 點跡信息生成

在方程(4)有解時，在步驟(ⅱ)中獲得的數(shù)值解tv就是天線掃過目標的時刻。此時目標的距離為

(8)

方位為

natan2(x(t),y(t))

(9)

另外，還需要根據(jù)雷達在距離和方位上的觀測誤差分別在式(8)和式(9)的基礎(chǔ)上分別迭加服從正態(tài)分布的隨機數(shù)，才可以獲得目標點跡的距離和方位。

目標點跡的距離為

(10)

其中rd是一0均值、標準差為雷達的距離觀測誤差的隨機數(shù)。

目標點跡的方位為

natan2(x(t),y(t))+ra

(11)

其中ra是一0均值、標準差為雷達的方位觀測誤差的隨機數(shù)。

3 實驗及分析

設(shè)式(1)中A(0)=0，即天線從正北開始旋轉(zhuǎn)。式(2)中x(0)=80 km，y(0)=60 km，X軸方向的速度vx=-300 m/s，Y軸方向的速度vy=400 m/s。從0時刻起的8 s內(nèi)的天線和目標的方位如圖1所示，其中圓圈表示的就是天線掃過目標的時刻以及對應(yīng)的方位。

從0時刻起，按Δtk為50 ms將式(7)離散化，并按照以上方法求解。圖 1中所示的天線4次掃過目標時刻的主要數(shù)據(jù)如表1～4所示。

表1 求解天線第1次掃過目標的過程

表2 求解天線第2次掃過目標的過程

表3 求解天線第3次掃過目標的過程

表4 求解天線第4次掃過目標的過程

從表1～4中可以看出，①每一次迭代，搜索區(qū)間的長度就縮小一半；②區(qū)間中點tv的值f(tv)的符號在無規(guī)律地正負交替，以及|f(tv)|不是嚴格單調(diào)下降的，是由步驟(ⅲ)中搜索區(qū)間縮短的機制決定的；③只需6～9次迭代|f(tv)|就可以小于10-2，達到步驟(ⅱ)的要求，獲得方程(4)的數(shù)值解；④隨著搜索區(qū)間長度的縮小，區(qū)間中點tv對應(yīng)的天線方位和目標方位總體上也越來越接近，并且在搜索終止時兩者也趨于一致。

4 結(jié)束語

本文將沒有解析解的方程求解的問題轉(zhuǎn)化為求解方程零點的數(shù)值解的問題，避免了依次模擬天線旋轉(zhuǎn)，可快速定位到天線掃過目標的時刻。再根據(jù)目標運動模型，直接生成目標點跡。對于扇掃或者相控陣體制的雷達，根據(jù)掃描方式可以建立類似的模型，同樣可以快速模擬點跡。

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