自動(dòng)化多面函數(shù)GPS高程擬合在既有鐵路中的應(yīng)用

張 偉,花向紅,劉 偉，唐兆鵬,4,陳 鵬

(1.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院,湖北 武漢 430079；2.東華理工大學(xué) 江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013；3.株洲時(shí)代電子技術(shù)有限公司,湖南 株洲 412000；4.32022部隊(duì),湖北 武漢 430074)

近年來隨著國家經(jīng)濟(jì)建設(shè)的快速穩(wěn)步發(fā)展，鐵路運(yùn)輸承擔(dān)了大量的客運(yùn)需求[1-2]。據(jù)2016年國家鐵路局鐵道統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，近年來全國鐵路旅客發(fā)送量呈不斷上升趨勢，2016年全國鐵路旅客發(fā)送量完成28.14億人，比上年增加2.79億人，增長11.0%。經(jīng)濟(jì)發(fā)展和客運(yùn)需求的增加對(duì)客運(yùn)線路的運(yùn)輸效率提出了更高的要求。國家發(fā)展和改革委員會(huì)、交通運(yùn)輸部以及中國鐵路總公司印發(fā)的發(fā)改基礎(chǔ)〔2016〕1536號(hào)文件的附件《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中指出，到2020年實(shí)現(xiàn)鄰近大中城市1～4 h交通圈，城市群內(nèi)0.5～2 h交通圈，進(jìn)一步提升鐵路運(yùn)輸?shù)男?。除了高速鐵路的發(fā)展規(guī)劃外，普速鐵路網(wǎng)的建設(shè)也將進(jìn)一步加強(qiáng)，既有線規(guī)劃實(shí)施擴(kuò)能改造將達(dá)到2萬km。既有線的維護(hù)作業(yè)和改造提速的巨大工作量對(duì)線路控制網(wǎng)建設(shè)提出了更高的要求，傳統(tǒng)全站儀測量方式只能在軌道天窗時(shí)間進(jìn)行，測量效率較低[3-6]?？紤]GPS靜態(tài)測量的高精度，全天候優(yōu)勢，利用GPS靜態(tài)測量建設(shè)既有線控制網(wǎng)，成為既有線改造控制網(wǎng)建設(shè)的現(xiàn)實(shí)需求[7]。

由于GPS靜態(tài)測量的高程采用參考WGS84橢球的大地高，而施工建設(shè)通常采用基于似大地水準(zhǔn)面的正常高，因此國內(nèi)外學(xué)者和相關(guān)機(jī)構(gòu)對(duì)如何將GPS橢球高轉(zhuǎn)換大地高進(jìn)行了大量的研究[8-10]。大面積的GPS高程擬合中常常采用基于重力場的模型，例如基于EGM2008模型的GPS高程轉(zhuǎn)換[11-12]?？紤]到GPS高程轉(zhuǎn)換的重力場模型需要大量的重力場資料，同時(shí)既有線維護(hù)中存在大量現(xiàn)有水準(zhǔn)高程控制點(diǎn)的實(shí)際情況，大量學(xué)者針對(duì)基于數(shù)學(xué)模型的GPS高程轉(zhuǎn)換進(jìn)行了研究。張小紅等研究了基于Kriging統(tǒng)計(jì)的GPS高程擬合方法，該方法綜合了移動(dòng)法曲面模型和多面函數(shù)模型的優(yōu)勢[13]。吳迪軍等研究了二次曲面函數(shù)模型GPS高程擬合在跨海橋梁中的應(yīng)用[14]。于小平等研究了多項(xiàng)式擬合模型在GPS高程擬合中的應(yīng)用[15]。目前多面函數(shù)模型中的核心點(diǎn)多需要根據(jù)人員經(jīng)驗(yàn)選取[16]。本文針對(duì)多面函數(shù)核心點(diǎn)的自動(dòng)選取進(jìn)行研究，提出一種新的自動(dòng)化多面函數(shù)模型。通過既有鐵路的高程擬合實(shí)例證明，相比于二次曲面函數(shù)模型，新模型的擬合精度更高。

1 GPS高程擬合

近年來GPS高精度三維測量廣泛地應(yīng)用于工程控制網(wǎng)布設(shè)中，其中GPS三維坐標(biāo)的大地高是相對(duì)于WGS84參考橢球的橢球高。由于工程施工采用基于似大地水準(zhǔn)面的正常高，通常利用高精度的數(shù)學(xué)模型將GPS大地高轉(zhuǎn)換為工程施工的正常高。GPS高程擬合主要包括3個(gè)步驟：

1)通過研究區(qū)域內(nèi)已知控制點(diǎn)的GPS大地高和正常高獲取高程異常，計(jì)算式如下：

δ=h-H.

(1)

式中：δ表示高程異常，h表示GPS大地高，H表示正常高。

2)假定控制點(diǎn)的高程異常具有空間相關(guān)性，利用高程異常和控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)(GPS經(jīng)、緯度)或者工程平面坐標(biāo)建立高程異常的數(shù)學(xué)模型。常用的模型包括二次曲面函數(shù)模型和多面函數(shù)模型等。

3)通過數(shù)學(xué)模型擬合未知點(diǎn)的高程異常，利用式(1)反算出未知點(diǎn)的正常高。

1.1 二次曲面函數(shù)模型

將研究區(qū)域的高程異常假設(shè)為一個(gè)復(fù)雜曲面，其數(shù)學(xué)模型如下：

δ=a0+a1x+a2y+a3x2+

a4y2+a5xy+ε.

(2)

式中：ai(i=0,1,…,5)表示模型的待估計(jì)參數(shù)，ε表示誤差項(xiàng)，(x,y)表示已知點(diǎn)的坐標(biāo)，一般取中心化歸算后的坐標(biāo)。二次曲面函數(shù)模型對(duì)應(yīng)的誤差方程如下：

v=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+

a5xy-δ.

(3)

式中：v表示改正數(shù)。

假定測區(qū)內(nèi)存在n個(gè)已知控制點(diǎn)，則誤差方程的矩陣表達(dá)式如下：

(4)

(5)

利用最小二乘可以快速解算出(4)式中的待估計(jì)參數(shù)。解算二次曲面函數(shù)模型測區(qū)內(nèi)需要至少6個(gè)已知控制點(diǎn)。

1.2 自動(dòng)化多面函數(shù)擬合模型

假定研究區(qū)域的高程異常的數(shù)學(xué)模型由多個(gè)曲面函數(shù)構(gòu)成，其數(shù)學(xué)模型如下：

(6)

式中：αi表示待估計(jì)參數(shù);θ(x,y;xi,yi)表示核函數(shù)，這里采用正雙曲面函數(shù);m表示核心點(diǎn)個(gè)數(shù);(x,y)表示δ對(duì)應(yīng)控制點(diǎn)的坐標(biāo)，(xi,yi)表示選取的第i個(gè)結(jié)點(diǎn)。正雙曲面函數(shù)計(jì)算式如下：

(7)

式中：ε2表示光滑因子，這里選取為0。

假定測區(qū)內(nèi)存在n個(gè)已知控制點(diǎn)，選取其中m個(gè)點(diǎn)作為結(jié)點(diǎn)，則可以得到多面函數(shù)模型的誤差方程矩陣形式如下：

(8)

(9)

利用最小二乘可以快速計(jì)算出待估計(jì)參數(shù)建立高程異常的數(shù)學(xué)模型。

多面函數(shù)的模型中結(jié)點(diǎn)的選取是影響多面函數(shù)高程擬合精度的一個(gè)重要因素，為了滿足既有線改造的需求，本文提出了一種自動(dòng)循環(huán)選取結(jié)點(diǎn)的算法，其具體步驟如下：

2)對(duì)于第i個(gè)結(jié)點(diǎn)，查找與其最鄰近的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，按照下式計(jì)算控制點(diǎn)的質(zhì)量指標(biāo)Qi。

(10)

式中：δi表示第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的高程異常；δi1和δi2分別表示與第i個(gè)點(diǎn)最鄰近兩個(gè)點(diǎn)的高程異常；d1和d2分別表示第i個(gè)點(diǎn)與最鄰近兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。

3)刪除Qi最小的點(diǎn)，利用剩余的結(jié)點(diǎn)建立多面函數(shù)模型，其內(nèi)符合精度記作σ2；

2 實(shí)驗(yàn)分析

為了評(píng)估分析提出的自動(dòng)化多面函數(shù)模型的精度，本文利用既有線工程實(shí)例對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。測區(qū)內(nèi)已知控制點(diǎn)總共為21個(gè)，選取其中8個(gè)為外符合檢驗(yàn)點(diǎn)。試驗(yàn)中分別采用沿線路均勻選取和在線路一端均勻選取的兩種策略選取外符合檢驗(yàn)點(diǎn)。兩種不同情況下控制點(diǎn)和外符合檢驗(yàn)點(diǎn)的分布如圖1所示。

分別采用二次曲面函數(shù)模型和自動(dòng)化多面函數(shù)模型建立GPS高程擬合模型，兩種情況下高程擬合模型的內(nèi)符合精度和外符合精度如表1、表2所示。

圖1 兩種不同情況下控制點(diǎn)和外符合檢驗(yàn)點(diǎn)的點(diǎn)位分布圖

表1 外符合點(diǎn)沿線路均勻分布擬合模型的精度統(tǒng)計(jì)表 m

表2 外符合點(diǎn)沿一端均勻分布擬合模型的精度統(tǒng)計(jì)表 m

從表1和表2中可以看出，自動(dòng)化多面函數(shù)模型的內(nèi)符合精度明顯優(yōu)于二次曲面函數(shù)模型，其內(nèi)符合精度優(yōu)于0.000 5 m；自動(dòng)化多面函數(shù)的外符合精度約為0.01 m，而二次曲面函數(shù)模型的外符合精度約為0.1 m;自動(dòng)化多面函數(shù)的外符合精度約為二次曲面函數(shù)模型的1/10，明顯優(yōu)于二次曲面函數(shù)模型。同時(shí)在控制點(diǎn)大致均勻分布的情況下，兩種情況的自動(dòng)化多面函數(shù)模型的內(nèi)符合精度和外符合精度均相差不大。在兩種不同的外符合點(diǎn)分布情況下，兩種模型的外符合檢驗(yàn)誤差均值，最大值，最小值分別見表3和表4。

表3，表4給出了兩種模型外符合檢驗(yàn)誤差的均值，最大值，最小值。

表4 外符合點(diǎn)沿一端均勻分布的外符合誤差統(tǒng)計(jì)表 m

從表3和表4中可以看出自動(dòng)化多面函數(shù)模型的外符合誤差的均值相比于二次曲面函數(shù)模型更接近于0，即模型的外符合誤差更接近于0均值的誤差分布模型。同時(shí)自動(dòng)化多面函數(shù)模型的外符合誤差的最大值和最小值均明顯優(yōu)于二次曲面函數(shù)模型。工程實(shí)例表明新提出的自動(dòng)化多面函數(shù)相對(duì)于二次曲面函數(shù)模型，其GPS高程擬合的精度更高，更適用于既有線的控制網(wǎng)布設(shè)。

3 結(jié) 論

本文研究了既有線改造提速中線路控制網(wǎng)布設(shè)的問題，針對(duì)兩種不同的GPS高程擬合模型進(jìn)行了深入探討。利用已有既有線工程實(shí)例對(duì)新提出的自動(dòng)化多面函數(shù)模型進(jìn)行了精度評(píng)估分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新模型能夠?qū)崿F(xiàn)多面函數(shù)結(jié)點(diǎn)的自動(dòng)選取，同時(shí)確保了多面函數(shù)模型高程擬合的精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果的內(nèi)符合精度，外符合精度以及外符合誤差的均值，最大、最小值均表明新提出的自動(dòng)化多面函數(shù)模型明顯優(yōu)于二次曲面函數(shù)模型，其更適用于呈線狀的既有線的控制網(wǎng)布設(shè)。

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