淺析n維歐氏空間上Borel集的構(gòu)造*

曾小林，黃一緣

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400067；2.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

0 引 言

Borel可測(cè)集(簡(jiǎn)稱Borel集)是在高等概率論、實(shí)變函數(shù)、測(cè)度論等課程中經(jīng)常遇到的一個(gè)基本概念.簡(jiǎn)而言之，Borel集是Borel代數(shù)的任一成員的稱呼，它被冠以測(cè)度論的開(kāi)創(chuàng)人——Lebesgue的老師Borel的名字，顯示其在測(cè)度論發(fā)展歷史上的重要性.從數(shù)學(xué)史知道，概率論在柯?tīng)柲缏宸虻墓砘w系下由于有了測(cè)度論的工具而得以深入發(fā)展[1].而B(niǎo)orel集和Lebesgue集是測(cè)度論最基本的概念，關(guān)于后者，許多文獻(xiàn)已有詳盡論述[2-3].也許是涉及Borel集的過(guò)多討論會(huì)削弱Lebesgue集在測(cè)度論里的重要地位，一般文獻(xiàn)對(duì)n維Borel集的構(gòu)造問(wèn)題涉及并不多，即使有少量討論，也多是在一維情形下展開(kāi)，且著眼于Borel集與Lebesgue集的關(guān)系進(jìn)行的[4].為了加深對(duì)測(cè)度論基本思想的認(rèn)識(shí)，改變初學(xué)者對(duì)有關(guān)測(cè)度論概念“晦澀難懂”的刻板印象，針對(duì)n維歐氏空間上Borel集的構(gòu)造問(wèn)題，提出幾個(gè)具有測(cè)度論特色的結(jié)果加以詳細(xì)討論.主要是采用一種新的途徑證明文獻(xiàn)中已知的下述結(jié)果[5]：n維歐氏空間中任一開(kāi)集都可表示成至多可數(shù)無(wú)限多個(gè)兩兩不交的n維左開(kāi)右閉區(qū)間之并，然后以此為工具，給出n維歐氏空間上Borel代數(shù)的幾個(gè)較小生成元.從某種意義上來(lái)說(shuō)，本文可以作為“結(jié)構(gòu)-目標(biāo)”教學(xué)思想的一種實(shí)踐[6].此外，文中引理2證明采用的分情形討論的方法以及定理1證明采用的反證法比較淺顯地例釋了測(cè)度論和隨機(jī)泛函分析中常用的方法，尤其是這些方法在隨機(jī)賦范模上的分析學(xué)中也被經(jīng)常使用[7].

以N表示正整數(shù)全體，Z表示整數(shù)全體.n維歐氏空間的概念是眾所周知的，回憶如下：

定義1[8]定義映射ρ：Rn×Rn→R如下：

則(Rn，ρ)形成一個(gè)度量空間，稱為n維歐氏空間，且度量ρ常常略而不提.

這里yi-xi稱為該區(qū)間第i條邊的邊長(zhǎng).類似地，還可給出Rn中的開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、左閉右開(kāi)區(qū)間等區(qū)間的定義，見(jiàn)文末注記1. 為了與一維的情形相區(qū)分，有時(shí)這些區(qū)間稱為n維區(qū)間.

1 主要結(jié)果及其證明

定理1n維歐氏空間Rn中的任一開(kāi)集都可表示成至多可數(shù)無(wú)限多個(gè)兩兩不交的n維左開(kāi)右閉區(qū)間之并.

命題1Al中任意兩個(gè)不同成員的交集為空集.

命題2 對(duì)任意l∈N，Rn可表示為Al中所有成員的并.

由x的任意性得

證畢.

為了證明定理1，需要下面3條引理.

引理1 對(duì)每個(gè)l∈N，集類Al都是Rn的一個(gè)可數(shù)無(wú)限劃分.

證明由命題1，2立即得證.

引理2 設(shè)l1，l2∈N且l1

(i=1，2，…，n)都成立.等價(jià)地，

注意這兩個(gè)不等式中l(wèi)1，l2，mi均為已知，由此得到si必須且只需滿足下列不等式：

(1)

下面用構(gòu)造的方法來(lái)證明滿足式(1)的整數(shù)si總是存在的.

對(duì)每個(gè)i=1，2，…，n，按上述方法構(gòu)造si，必可使得D?E，證畢.

引理3 設(shè)G為Rn中的開(kāi)集，x∈G，則對(duì)充分大的正整數(shù)l，Al中包含x的那個(gè)成員必定包含于G.

證明首先由引理1知對(duì)每個(gè)l∈N，Al中必有一個(gè)成員包含點(diǎn)x.下證對(duì)充分大的l∈N，該成員包含于G.

定理1的證明：設(shè)G為Rn中的任一開(kāi)集，要證G可表示為Rn中至多可數(shù)無(wú)限多個(gè)兩兩不交的左開(kāi)右閉區(qū)間之并.

由l0的定義知D?G是顯然的.

注記1 用B(Rn)表示Rn中開(kāi)集生成的σ-代數(shù)，稱為Borelσ-代數(shù)(簡(jiǎn)稱Borel代數(shù))，且集類B(Rn)中的成員稱為Borel集.以定理1為基礎(chǔ)，利用σ-代數(shù)對(duì)可數(shù)交、可數(shù)并、取余集運(yùn)算封閉的性質(zhì)，可以證明下列集類生成的σ-代數(shù)都是B(Rn)：

常稱C1，C2，…，C8為Borel代數(shù)B(Rn)的較小生成元.

C1={(a，b)：a，b∈Rn且a

C2={(a，b]：a，b∈Rn且a

C3={[a，b)：a，b∈Rn且a

C4={[a，b]：a，b∈Rn且a

C5={(-∞，b)：b∈Rn}

C6={(-∞，b)：b∈Rn}

C7={[a，∞)：a∈Rn}

C8={(a，∞)：a∈Rn}

2 結(jié) 論

利用n維歐氏空間中左端點(diǎn)形如mi/2l(其中mi為整數(shù)，l為正整數(shù))且長(zhǎng)度均為1/2l的那些特殊的左開(kāi)右閉區(qū)間形成的集類Al的優(yōu)良結(jié)構(gòu)，綜合運(yùn)用實(shí)數(shù)域上的分區(qū)間討論、不等式與拓?fù)浼记?，首先證明了Al是n維歐氏空間的可數(shù)無(wú)限劃分，且隨著l變得越大Al變得越精細(xì)，以及對(duì)n維歐氏空間中任意開(kāi)集中的任意一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，當(dāng)l充分大時(shí)Al中包含該點(diǎn)的那個(gè)成員必定包含于該開(kāi)集中.然后，在此基礎(chǔ)上用反證法證明了n維歐氏空間中任一開(kāi)集都可表示成至多可數(shù)無(wú)限多個(gè)兩兩不交的n維左開(kāi)右閉區(qū)間之并.最后以此結(jié)論為工具，介紹了n維歐氏空間上Borel代數(shù)的幾個(gè)較小生成元.需要強(qiáng)調(diào)的是，本文證明定理1的方法不同于文獻(xiàn)[4]中給的證明，與后者比起來(lái)，本文的證明由于采用了集類Al而顯得更加直觀，更具有可讀性.

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